ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (А.А. Федотов, П.В. Храпов - Численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и задач оптимизации)

Московский государственный технический университетимени Н. Э. БауманаА.А. Федотов, П.В. ХраповЧисленные методыинтегрирования, решениядифференциальных уравненийи задач оптимизацииУчебное пособие1УДК 517.518.12ББК 22.193Ф34Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ruпо адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1280.htmlФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Высшая математика»Рекомендовано Редакционно-издательским советомМГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособияФ34 Фетодов, А. А.Численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и задач оптимизации : учебное пособие / А. А.

Федотов, П. В. Храпов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 76, [2] с.: ил.ISBN 978-5-7038-4235-5Рассмотрены численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и оптимизации. Изложены методы решения задачи Коши и краевой задачи для обыкновенных дифференциальныхуравнений и систем дифференциальных уравнений. Приведены вариантыиндивидуальных заданий к лабораторным работам.Для студентов 2-го курса факультетов «Машиностроительные технологии», «Специальное машиностроение» и «Робототехника и комплексная автоматизация» МГТУ им.

Н.Э. Баумана, а также для студентовдругих факультетов.УДК 517.518.12ББК 22.193ISBN 978-5-7038-4235-52  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 Оформление. ИздательствоМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015ПредисловиеПособие содержит теоретический материал и варианты заданий к лабораторным работам по курсу «Численные методы».В первой главе представлены численные методы для приближенного вычисления однократных интегралов, в частности, квадратурные формулы средних прямоугольников, формулы трапеций,Симпсона и Гаусса.Во второй главе рассмотрены численные методы вычислениядвойных интегралов: метод ячеек и метод последовательного интегрирования.В третьей главе излагаются приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первогопорядка.

Изучается метод Эйлера, приводятся расчетные формулыметодов Рунге — Кутты второго и четвертого порядков точности,дается изложение метода Адамса. Обсуждается распространение рассмотренных методов на случай задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.В четвертой главе изучаются приближенные методы решениякраевой задачи для линейного обыкновенного дифференциальногоуравнения второго порядка: решение разностной задачи методомпрогонки и методом стрельбы.В пятой главе представлены численные методы одномернойи многомерной оптимизации. Изложены методы покоординатногоспуска, наискорейшего спуска, методы сопряженных градиентови проекции градиента.Литература, рекомендуемая для более полного ознакомления срассмотренными в работе вопросами, приводится в конце пособия. 31.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛАПостановка задачи. Требуется вычислить приближенно интегралbI   f ( x ) dx,aгде f ( x ) — непрерывная на отрезке [a, b] функция.1.1. Квадратурные формулыВ качестве приближенного значения интеграла I рассматривается числоnI n   qi f ( xi ),(1.1)i 0где f ( xi ) — значения функции f ( x ) в точках xi , i  0, 1, ..., n;qi — числовые коэффициенты.

Формула (1.1) называется квадратурной формулой. Точки xi называются узловыми точками, илиузлами, квадратурной формулы, а числа qi — весовыми коэффициентами, или весами, квадратурной формулы. Разностьbbnaai 0I   f ( x) dxRn  I  I n   f ( x) dx   qi f ( xi )называется погрешностью квадратурной формулы.

Погрешностьзависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.Говорят, что квадратурная формула точна для многочленовстепени s , если при замене f ( x ) на произвольный алгебраиче4ский многочлен степени не выше s приближенное равенствоI  I n становится точным.Введем некоторые понятия, которые будут использоватьсяв дальнейших рассуждениях.Определение 1. Будем говорить, что функция f ( x ) принадлежит классу C k [a, b], и писать f  C k [a , b], если функция f ( x )определена на отрезке [a, b] и имеет на нем непрерывные производные до порядка k включительно.Определение 2.

Пусть ( h ) — некоторая функция переменнойh с конечной областью определения D на полуоси h  0, причемh  D может принимать сколь угодно малые значения. Тогда еслисуществуют положительные числа h0 , c, k такие, что при всехh  D , удовлетворяющих условию 0  h  h0 , выполняется неравенство ( h )  ch k , то пишут ( h )  O ( h k ) и говорят, что ( h ) естьO большое от h k (при h  0 ).Согласно данному определению, выполняются следующиеочевидные свойства. Если ( h )  O ( h k ), ( h )  O ( h k ), причемD  D , то ( h )  ( h )  O ( h k ) , т.

е. O ( h k )  O ( h k )  O ( h k ).Если k  m  0, то O ( h k ) в то же время есть O ( h m ). Наконец,если ( h )  O ( h k ), то ( h )  O ( h k ), где  — постоянная, независящая от h .Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы.1.1.1. Формула средних прямоугольниковh hДопустим, что f  C 2   ,  , h  0. Положим приближенно 2 2 h2If ( x )dx  hf 0 ,(1.2)h 2где f 0  f (0) .Формула (1.2) означает, что площадь криволинейной трапеции,ограниченной сверху графиком функции f ( x ), аппроксимируется5площадью закрашенного прямоугольника (рис.

1.1, a), высота которого равна значению f0 функции f ( x ) в средней точке x  0h hотрезка   ,  . Формула (1.2) называется формулой средних 2 2 прямоугольников.Рис. 1.1. Формула средних прямоугольников (а), формула трапеций (б)Получим формулу средних прямоугольников с остаточнымчленом. ПустьxF ( x )   f (t ) dt.0Так как F (0)  0, F (0)  f 0 , F (0)  f 0, F ( x )  f ( x ), то, согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа,имеемhhh2h3F     F (0)  F (0)  F (0)  F ( ),2848 2илиhhh2h3F      f 0 f 0 f ( ),2848 2где  ,  — некоторые точки, причем 6hh   0    .22(1.3)С учетом (1.3) получаемh2h 2hhh 3 f ( )  f ( )f ( x )dx  F    F     h f 0 .2422 2Далее нам понадобится следующая лемма.Лемма.

Пусть f  C [a , b ], i  [ a , b] — произвольные точки,i  1, 2, ..., n. Тогда существует такая точка   [a , b], что f ( 1 )  f ( 2 )  ...  f ( n )  n  f ( ).Эта лемма вытекает из очевидных неравенствmin f ( x )   f ( 1 )  f (  2 )  ...  f (  n )  n  max f ( x )x [ a , b ]x [ a , b ]и теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.Формулу средних прямоугольников с остаточным членомh2f ( x)dx  hf 0 h 2h3hf (),  242получаем, используя лемму.1.1.2. Формула трапецийПусть f  C 2 [0, h ] .

ПолагаемhI   f ( x )dx  h0f 0  f1,2(1.4)где f 0  f (0), f1  f ( h ). Из формулы (1.4) видно, что искомоезначение интеграла приближенно заменяется величиной площадитрапеции, закрашенной на рис. 1.1, б.Формулу трапеций с остаточным членомh0f ( x ) dx  hf 0  f1 h3f (),  [0, h].212можно получить аналогично тому, как это было сделано вп.

1.1.1.71.1.3. Формула СимпсонаПредположим, что f  C 4 [  h, h ] и требуется вычислить интегралhIf ( x ) dx.hРис. 1.2. Формула СимпсонаЗначение этого интеграла приближенно заменяем величиной площади закрашенной криволинейнойтрапеции (рис. 1.2), ограниченнойсверху параболой p ( x ), проходящейчерез точки (  h , f 1 ), (0, f 0 ), ( h , f1 ),где fi  f (ih), i  1, 0, 1. Эта парабола задается уравнениямиf fp( x )  f 0  1 1 x 2hf1  2 f0  f1 2x2h2иhh p( x) dx  3  f 1  4 f0  f1  .hСледовательно,hhhf ( x ) dx   f 1  4 f 0  f1  .3(1.5)Формула Симпсона с остаточным членом имеет вид:hhhh5 (IV)f ( x) dx   f 1  4 f 0  f1  f(),  [h, h].390Рассмотренные квадратурные формулы средних прямоугольников (1.2), трапеций (1.4) и Симпсона (1.5) назовем каноническими.81.1.4.

Составные квадратурные формулыНа практике, если требуется вычислить приближенно интеграл,обычно делят заданный отрезок [a, b] на n равных частичных отрезков [ xi 1 , xi ], где xi  a  ih , i  0, 1, ..., n; x0  a , x0  b,h  ( b  a ) n . На каждом частичном отрезке используют каноническую квадратурную формулу и суммируют полученные результаты.При применении формул средних прямоугольников и трапецийдлину частичных отрезков удобно принять за h, а при использовании формулы Симпсона — за 2 h. В результате получаются следующие формулы, которые будем называть составными.Составная квадратурная формула средних прямоугольников(рис. 1.3) записывается в видеb f ( x)dx  h  fc1 f c2  ....