ФедотовА.А. Численные методы интегрирования .. 2015 (А.А. Федотов, П.В. Храпов - Численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и задач оптимизации), страница 7

3.5№вариантаНачальныеусловияОтрезок[a , b]Функцииf1 ( x , u1 , u2 )f 2 ( x , u1 , u 2 )ab73u1  2u2  x3u1  4u2028u1  5cos x2u1  u2092u1  u2  2e xu1  2u2  3e 4 x103u1  2u2  3e 2 x11u1,0132181u2,01131840202u1  2u2  e 2 x0202u2  cos x1  u1010,5125u1  u2  e xu1  3u2  e 2 x0211990021190013u2  cos xu1  sin x011142u1  u2023152u1  4u2  4 e 2 x200e4u1  2u2 5e x sin x2u1  2u2Таблица 3.6Ответы к вариантам задачи Коши для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений первого порядка№вариантаu1 ( x )u2 ( x )12e x 2x  ex2e x 2e x1352134 3 x 2  12x 1 x51 x2ex  1 x263e 2 xe2 x72 e 2 x  e 3 x 325x318 3 x 2  12x 1 xe 2 x  3e 3 x x 12 12Окончание табл.

3.6№вариантаu1 ( x )u2 ( x )8e  x  e2 x  2sin x  cos xe  x  2e 2 x  sin x  3cos x9e3 x  xe2 x  e4 xe 3 x  (1  x ) e 2 x  2e 4 x10e x  e2 xe x  e2 xx1  cos x24 x 1 2xe  e2536x1 sin x  cos x221 x 7 2xe  e253613sin x  e xe x14e x (2cos x  sin x )e x (3cos x  sin x )150e2x1112Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядкаu  p ( x )u  q( x )u  g ( x ),u ( x0 )  A, u ( x0 )  B ,(3.26)x  [ a , b], x0  aрешается сведением к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка.Пусть u1 ( x )  u ( x ) , а u2 ( x)  u ( x ).

Тогда для u1 ( x ) и u2 ( x )из (3.26) получаем следующую задачу Коши: u1  u2 , u1 ( x0 )  A, u2  g ( x )  q( x )u1  p ( x )u2 ,  u2 ( x0 )  B.(3.27)Постановка задачи Коши и расчетные формулы для системы,состоящей из двух обыкновенных дифференциальных уравнений,приведены выше (см. (3.20)–(3.25)).534.

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ОБЫКНОВЕННОГОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯВТОРОГО ПОРЯДКАПостановка задачи. Требуется найти функцию u ( x ) , котораяявляется решением следующей краевой задачи:u  p ( x )u  q( x )u  f ( x ), a  x  b,(4.1)u( a )  A, u (b)  B.(4.2)Задачу (4.1), (4.2) называют краевой, поскольку дополнительные условия (4.2) задаются на концах отрезка [ a , b ].4.1. Численные методы решения краевой задачи4.1.1. Разностная аппроксимация производныхВведем на отрезке [a, b] равномерную сетку h (3.2). Записываяуравнение (4.1) во внутренних узлах сетки h , получим(n – 1)-е уравнение для определения 3( n  1) неизвестных ui , ui и ui :(4.3)ui  pi ui  qi ui  f i , i  1, 2, ..., ( n  1),гдеui  u ( xi ), ui  u ( xi ), ui  u ( xi ), pi  p ( xi ), qi  q ( xi ), f i  f ( xi ).Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений относительно u i , необходимо первые и вторые производные функцииu ( x ) в узловых точках выразить через значения u ( x ) в этих точках.

Будем предполагать, что функция u ( x ) имеет все необходимые по ходу рассуждения непрерывные производные. Выразимзначения ui 1 и ui 1 по формуле Тейлора, беря точку xi в качестветочки разложения:54h2h3ui  ui O ( h 4 ),2!3!2hh3ui 1  ui  hui  ui  ui O ( h 4 ).2!3!ui 1  ui  hui (4.4)Отсюда, учитывая свойства величины O(hk) (см. гл. 1), можнополучить следующие выражения для точного значения первойпроизводной функции u ( x ) в точке xi :ui 1  ui O ( h ),hu uui  i i 1  O ( h ),hu uui  i 1 i 1  O ( h 2 ),2hui (4.5)а также выражение для точного значения второй производнойфункции u ( x ) в той же точке xi :ui ui 1  2ui  ui 1 O(h2 ).h2(4.6)Отношенияui 1  ui ui  ui 1 ui 1  ui 1,2hhhв (4.5) называются правой разностной производной, левой разностной производной и центральной разностной производной соответственно.

Отношениеui 1  2ui  ui 1h2в (4.6) называется второй разностной производной.Из (4.5) следует, что левая и правая разностные производныеаппроксимируют производную u( x ) с первым порядком точностиотносительно шага h, а центральная разностная производная — совторым порядком точности относительно h. Из (4.6) следует, чтовторая разностная производная аппроксимирует производнуюu ( x ) со вторым порядком точности относительно h.554.1.2. Решение задачи методом прогонкиПусть, как и ранее, yi — приближенное значение, соответствующее точному значению u i функции u ( x ) в точке xi .

Заменим ui и ui в (4.3) второй разностной производной и первой центральной разностной производной соответственно, подставляя вних вместо u i величины yi . В результате вместо дифференциальной задачи (4.1), (4.2) получим следующую разностную задачу:yi 1  2 yi  yi 1y y pi i 1 i 1  qi yi  fi ,22hhi  1, 2, ..., (n  1),(4.7)y0  A, yn  B.(4.8)Подставляя краевые условия (4.8) в (4.7), получим относительно значений yi , i  1, 2, ..., ( n  1) систему линейных алгебраических уравнений (n – 1)-го порядка с трехдиагональной матрицей:hh(h 2 q1  2) y1   1  p1  y2  h 2 f1  A  1  p1  ; 2  2  1  h p  y  (h 2 q  2) y   1  h p  y  h 2 f ,i  i 1iii  i 1i 2  2 i  2, ..., (n  1);(4.9) 1  h p  y  ( h 2 q  2) y  h 2 f  B  1  h p  .n 1  n 2n 1n 1n 1n 1 2 2Система (4.9) решается методом прогонки.4.1.3. Решение задачи методом стрельбыИдея метода.

Как известно из курса дифференциальных уравнений, общее решение (4.1) записывается в видеu ( x )  u0 ( x )  c1u1 ( x )  c2u2 ( x ),(4.10)где u0 ( x ) — частное решение (4.1), а u1 ( x ) и u2 ( x ) — линейнонезависимые частные решения соответствующего (4.1) однородного уравнения56u  p ( x )u   q( x )u  0.(4.11)Краевые условия (4.2), используя (4.10), можно представитьв видеu0 ( a )  c1u1 ( a )  c2u2 ( a )  A,(4.12)u0 (b)  c1u1 (b)  c2u2 (b)  B.Пусть u0 ( x ) — такое частное решение (4.1), что u0 ( a )  A, ачастные решения u1 ( x ) и u2 ( x ) уравнения (4.11) пусть удовлетворяют условиям u1 ( a )  0 и u 2 ( a )  0 соответственно.

Тогда изпервого уравнения (4.12) следует равенствоA  c1  0  c2u2 ( a )  A,т. е. c2  0, а выражение (4.10) приобретает видu ( x )  u0 ( x )  c1u1 ( x ).(4.13)Константу c1 находим из второго краевого условия (4.12):u ( b )  u0 (b )  c1u1 ( b )  B. Следовательно, c1  ( B  u0 ( b )) u1 ( b ) .Будем считать, что u1 (b )  0. Описанный способ решения задачиназывают методом стрельбы, или методом пристрелки.Реализация метода. Итак, в соответствии с (4.13), для приближенного решения y ( x ) в узлах равномерной сетки h можем записатьyi  y0,i  c1 y1,i , i  0,1, ..., n.(4.14)Будем искать такие численные решения y0,i и y1,i , для которых в нулевом и первом узлах сетки h выполняются следующиеусловия:y0,0  A, y0,1  D0 ,(4.15)y1,0  0, y1,1  D1  0,(4.16)где D0 и D1 — константы.Формально алгоритм применим при произвольных значенияхD0 и D1 ( D1  0), однако с целью уменьшения влияния вычислительной погрешности рекомендуется брать D0  A  O ( h )и D1  O ( h ).57Записываем для y0,i и y1,i разностные уравнения, соответствующие неоднородному (4.1) и однородному (4.11) уравнениям:y0,i 1  2 y0,i  y0,i 1y0,i 1  y0,i 1 pi qi y0,i  fi ;22hhy1,i 1  2 y1,i  y1,i 1yy pi 1,i 1 1,i 1  qi y1,i  0, i  1, ..., (n  1).22hhОтсюда находим выражения для y0,i 1 и y1,i 1:hh 2 fi   1  pi  y0,i 1  (h 2 qi  2) y0,i 2 ;y0,i 1 (4.17)h1  pi2h  1  pi  y0,i 1  ( h 2 qi  2) y1,i, i  1, ..., (n  1).y1,i 1   2 h1  pi2Заданные значения (4.15) и (4.16) позволяют по формулам (4.17)найти последовательно решения y 0 ( x ) и y1 ( x ) во всех оставшихсяузлах xi i  2, ..., n.

Постоянную c1 находим по формуле:c1  ( B  y0, n ) y1, n . Однако может оказаться так, что y1,n  0. Поскольку выбор констант D0 и D1 в (4.15) и (4.16) находится в распоряжении вычислителя, то, меняя значение D1 в (4.16), можно найтирешение y1 ( x ), для которого y1, n  0. Решение всей задачи (4.1),(4.2) находится по формуле (4.14).4.2. Задание к лабораторной работеДля предложенного варианта лабораторной работы решитькраевую задачу либо методом прогонки, либо методом стрельбы.Для задания краевого условия в точке b предварительно решитьаналитически соответствующую задачу Коши:u   p ( x )u   q ( x )u  f ( x );u ( x0 )  A, u ( x0 )  C ;x  [a , b ], x0  a.58Значение B находится подстановкой точки b в точное решение u ( x ) задачи Коши: B  u (b).

Варианты задачи Коши приведены в табл. 4.1. Значения a и b во всех вариантах равны 0 и 1, соответственно, [a, b]  [0,1].Таблица 4.1Варианты задачи Коши для линейного обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка№вариантаФункцииНачальные условияCAp( x)q( x )f ( x)12345678272282122216140e x sin x5xe  xx2e4 x2e x  x 28ch (2 x)2100,5023032200114091011121314151617182000401620301100180114042824e x ( x 2  x  3)2410001100,2523103,562531210001611110, 2192021222324252600121204467x4e2  x2e2 x6 x2  116 xe2 x2 x  1102xsin (2 x)  12sin x2sh xcos x  3sin x3sin xex214122130559Окончание табл.

4.1№варианта27282930 60Функцииp( x)0400Начальные условияq( x )f ( x)AC94416cos(3x )1122320,7505e 2 x3sin(2 x )4 xe x5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИК минимизации функций сводятся многие задачи управленияотраслями промышленности, сельского хозяйства, транспорта,распределения ресурсов и других областей жизни общества.Решение задач оптимизации складывается из следующих элементов:1) создание математической модели явления;2) определение целевой функции и важнейших параметров,подлежащих оптимизации;3) непосредственная минимизация некоторой функции обычно большого числа переменных;4) внедрение результатов исследования.5.1. Одномерная оптимизацияОпределение.

Функция F(x) называется унимодальной на отрезке[a, b], если она имеет на этом отрезке единственный экстремум.Будем считать, что это минимум, в противном случае рассмотрим –F(x).Пусть F *  min F ( x)  F ( x ), где x — точка минимума.[a ,b]Утверждение. Если функция унимодальна на некотором интервале, то по значениям функции F ( x ) в любых двух точкахx1 , x2  [ a , b] можно указать интервал, в котором заключен минимум x* (интервал неопределенности), причем этот интервалменьше, чем первоначальный (рис.