Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«Национальный исследовательский университет «МЭИ»Курс лекцийдисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла Б.1«Цифровая обработка сигналов»Направление подготовки 09.03.01 Информатика и вычислительная техникаПрофили: Автоматизированные системы обработки информации и управления,Вычислительные машины, комплексы, системы и сети,Системы автоматизированного проектированияВычислительно-измерительные системыАвторский коллектив:Доцент кафедры ЭФИС, к.т.н.«01» февраля 2016 г._________________ С.Н. МихалинЗАДАЧИ КУРСАЦифровая обработка сигналов (ЦОС) – раздел науки, посвященныйтеоретическомуобоснованиюметодованализа(синтеза)сигналовиалгоритмов их обработки.Сигнал – есть функция, связывающая и характеризующая какие-либофизические параметры.

Сигнал, как функцию, отождествляют с каким-либофизическим процессом и, соответственно, его параметрами (например:скорость,ускорение,температура,напряжение,сопротивление,масса,влажность, давление и т.п.). Таким образом, сигнал содержит некоторуюинформацию о физическом процессе, который он характеризует. Кромеполезной информации в сигнале присутствуют ненужные составляющие –помехи, происхождение которых имеет разную природу. Именно задачивыделения, преобразования, передачи полезной информации из сигнала (илиих группы) являются предметом ЦОС.Обычно реальные сигналы представляют собой функцию напряжения отвремени: u (t ) и содержат помехи и шум (помехи можно рассматривать какненужные сигналы, шумы – это свойство реальных объектов).Типичные задачи ЦОС:1) обнаружение и анализ сигнала при воздействии помех (шумов) –радиолокация, дефектоскопия, прием данных (информации) и т.п.;2) помехоустойчивость, сжатие и кодирование сигнала – передача данных ибезопасность;3) реализация интерфейсов «человек-машина» – распознавание объектов(видеоизображений), анализ и синтез речевых сигналов;4) распределенные системы управления и сбора информации.На сегодняшний день маловероятно найти область науки, где ЦОС ещене нашла своего применения.

Поэтому ЦОС, как область знаний, никогда непотеряет своей актуальности и значимости.2Задачами данного курса являются:− введение терминологии свойственной предмету цифровой обработкисигналов;− ознакомлениесвидамисигналов,способамиихполучения,математического описания, операциями с ними;− изучение основных преобразований и операций, широко используемых напрактике, рассмотрение их свойств;− ознакомление с основными методами обработки цифровых сигналов;− ознакомление с самыми распространенными алгоритмами цифровойобработки сигналов;− ознакомлениесосновнымипроблемамитехническойреализацииалгоритмов на практике;− ознакомление с программной средой Matlab как средством моделированиясистем обработки сигналов.3Раздел 1.

Элементы теории сигналовРеальные физические сигналы почти всегда описываются непрерывнойфункцией (или кусочно-непрерывной функцией). Такие сигналы называютсяаналоговыми. Если функция существует только в определенные моментывремени (ее аргумента), то множество значений такой функции называетсядискретным сигналом.

Цифровым сигналом будем называть дискретныйсигнал, который может принимать значения только из конечного множествачисел.Конечной длительности(финитные)Бесконечной длительностиДетерминированные– полностью известнаяфункция (значениефункции известно длялюбого аргумента)СлучайныеСигналыПериодические(при любом t выполняетсяs(t)=s(t+nT), T – период, n– целое число)Сигналы синтегрируемымквадратом:∫s2(t)dt<∞– значение функции длякаждого аргумента естьслучайная величина,устанавливающаяся снекоторой вероятностьюСтационарныеНепериодическиеНестационарныеРис.

1.1 – Классификация сигналовДополнительно сигналы можно подразделить на одномерные (функцииодной переменной) и многомерные (функции многих переменных). Примерыдетерминированных одномерных сигналов представлены на рис. 1.2.периодДетерминированный,финитный,непериодическийДетерминированный,бесконечный, непериодическийДетерминированный,бесконечный,периодическийРис. 1.2 – Примеры детерминированных сигналов4Детерминированный сигнал это детерминированная функция, значениякоторой в любой точке области определения можно рассчитать заранее, знаяматематическую модель сигнала (имеется в виду формула, таблица, закон ит.п.).

В частности, для переменного напряжения u (t ) = A sin (t ) можнополучить значение сигнала в любой момент времени t (здесь модельопределяется словами переменное синусоидальное напряжение с частотой ω иамплитудой A).Надо отметить, что детерминированные сигналы в «чистом виде» немогут существовать в природе, т.к. на реальные сигналы всегда оказываетвлияние окружающая среда, поэтому реальный сигнал всегда содержитслучайную составляющую. Однако понятие «детерминированный сигнал»облегчает математическое описание сигналов. На практике же реальныйсигнал представляют как сумму «идеального» детерминированного сигнала ислучайного сигнала.Случайный сигнал это функция, значение которой невозможнопредсказать (вычислить заранее), т.е. значение функции для каждогоаргумента есть случайная величина, устанавливающаясяс некоторойвероятностью.

Случайность сигнала, или говорят процесса, проявляется в том,что значение функции изменяется от одного опыта к другому. Полученная врезультате каждого опыта функция называется реализацией случайногопроцесса, т.е. это то, что мы регистрируем в ходе наблюдения (измерения)случайного сигнала. На рис. 1.3 представлен случайный сигнал.Рис. 1.3 – Реализации случайного финитного процесса5В каждый момент времени существует бесконечно много реализацийслучайного процесса. Осуществляя измерения такого сигнала, получаютконкретную, одну из многих, реализацию.Примером периодического случайного сигнала может служить сигнал,состоящийизпериодическиповторяющихсяодинаковыхфрагментов,значения которых на каждом периоде заранее не известны, но каждаяреализация содержит повторяющийся сигнал.

Например: электрическийсигнал (с камеры наблюдения) развертки строк экрана – получая сигнал, мы незнаем наперед о цвете каждого пикселя изображения – сигнал случайный.Однако, если изображение статично, то пиксели не изменяются и получаемыестроки повторяются с частотой кадров – сигнал периодичен. Предсказатькакая будет «картинка» в целом (т.е. кадр) в следующий момент времениневозможно – значит рассматриваемый сигнал случайный и периодичный.Источниками сигналов являются:− генераторы сигналов (обычно зависимость напряжения от времени) этоустройства, предназначенные для генерации сигналов с заданнымипараметрами;− датчики (преобразователи физических величин в зависимость, как правило,напряженияотвремени)этоустройства,дающиевозможностьконтролировать неэлектрические процессы (температура, давление и т.п.);− искусственно созданные сигналы: табличная форма, генераторы случайныхчисел, формула и т.п.

(обычно применяются при математическоммоделировании).Например: зависимость окружающей температуры во времени (за час,день, неделю, год и т.п.), зависимость скорости автомобиля в единицувремени, зависимость яркости свечения лампы во времени, зависимость массыобъекта во времени, зависимость давления во времени и т.п. – все этифизические параметры приводятся к зависимости напряжения от времени спомощью соответствующих датчиков (сенсоров): термопара, пьезоэлемент,фотоэлемент, катушка, открытый конденсатор и т.п.6Параметры сигналов.Сигналы описываются математическими моделями, которые имеют рядпараметров. При этом сигналы можно представлять во временной области – ввиде функций от времени или в частотной области – в виде функций отчастоты (также можно представлять и в других координатах, если это будетиметь смысл).• Амплитуда – максимальное значение (по модулю) смещения или измененияпеременной величины от среднего значения при колебательном иливолновом движении (изменении функции).• Периодповторения(обратнопропорционаленчастоте)сигнала–расстояние между одинаково колеблющимися точками колебательного иливолнового изменения сигнала.• Максимальное (минимальное) значение – величина отклонения илиизменения функции f (t ) от нулевого значения, такая, что для любойвеличины t из области существования функции выполняется: f (t ) ≤ Fmax( f (t ) ≥ Fmin ).• Среднее значение – величина, определяемая в соответствии с формулой:1TM = ∫ x(t )dt , где T – интервал наблюдения функции или ее период.T0Среднее значение для периодических сигналов называют постояннойсоставляющей.• Среднеквадратическое значение – величина, определяемая в соответствии с1T 2выражением: rms =∫ x (t )dt , где T – интервал наблюдения функции илиT0ее период (совпадает по смыслу с действующим значением напряжения,если x(t ) – переменное напряжение на участке электрической цепи).• Полоса сигнала – разность верхней и нижней границ частотной области(спектра), в пределах которых существует (представляется) сигнал.7• Эффективная полоса сигнала (эффективная ширина спектра) F=  эф –полоса частот, в пределах которой заключается основная доля энергии эфсигнала, обычно: 90%, т.е.∞2∫ S ()d = 0.9 ∫ S ()d , S(ω) – спектральная200плотность сигнала (частотное представление).S(ω)ωωэф90% энергии сигнала• Длительностьсигнала–интервалвремени,впределахкотороголокализован (представлен) сигнал.• Эффективная длительность сигнала T=tэф – отрезок времени, в пределахкоторого заключена основная доля энергии импульса, обычно: 90%.s(t)ttэф90% энергии сигнала• База сигнала B =  эф t эф (например: наименьшее значение базы имеетгауссов импульс B=1.353, у прямоугольного импульса B=4.59).• Отношение сигнал шум (ОСШ) равно отношению мощности полезногосигнала к мощности шума (часто приводится в логарифмических единицах).• ДинамическийдиапазонестьотношениеPмощности сигнала к наименьшей: D = 10 lg max Pminнаибольшеймгновенной .8u (t ) = 1.5 + A sin(t ) + (t )(t )UmaxAUд (rms)Uср-A2 2.96 D = 10 lg ≈ 15.4 дБ 0 .5  2.75 ОСШ = 10 lg ≈ 23.6 дБ 0.0121 UminωtРис.

1.4 – Графическое представление основных параметров сигнала (A=1 В) 1 (*) 2.75 = 1.5 +  22291.1 Детерминированные сигналы1. Дельта функция (функция Дирака)∞, t = 0, при этом (t ) = 0, t ≠ 0δ(t)∞∫ (t )dt = 1t−∞∞Фильтрующее свойство дельта функции:∫ f (t )(t − t0 )dt = f (t0 )−∞2. Функция единичного скачка (функция Хевисайда)σ(t)1, t ≥ 0 (t ) = 0, t < 0t3. Гармонический сигнал (Um – амплитуда, ω – круговая циклическая частота,Ψ – начальная фаза)u (t ) = U m sin (t +  )4. Экспоненциальный сигнал (Um – амплитуда, α – коэффициент затухания)u (t ) = U m e − tГауссов импульс: u (t ) = U m e −tОстальныесигналы2/ 2.можнопредставитькомбинациейосновныхсигналов. Например:1) c помощью суперпозиции функций Хевисайда, например – прямоугольныйсигнал длительностью tи: x(t ) =  (t ) −  (t − t и ) .2) с помощью разложения сигналов в тригонометрические ряды,x(t)например: представление меандра x(t)Aс амплитудой A в виде бесконечногоtтригонометрического рядаx(t ) =4A 111sin (t ) + sin (3t ) + sin (5t ) +  + sin (kt ) +  35k3) с помощью алгебраических операций над сигналами:положим x1(t), x2(t), y(t) – непрерывные вещественные сигналы3.1) сложение (вычитание):y(t)=x1(t)±x2(t)x1(t)y(t)+x2(t)103.2) умножение на вещественную константу (c):x1(t)3.3) Задержка сигнала x1(t) на время τ:y(t)cy(t)=сx1(t)Задержкаx1(t)y(t)= x1(t-τ)y(t)3.4) умножение сигналов: y(t)= x1(t) x2(t)(если частоты сигналов существенноразличны – то имеет место амплитуднаямодуляция)y(t)×x1(t)x2(t)+∞3.5) свертка сигналов: y (t ) = x1 (t ) * x2 (t ) = ∫ x1 ( ) x2 (t −  )d , операция линейна−∞∞3.6) скалярное произведение: s(t ), v(t ) = ∫ s(t )v(t )dt−∞u(t), ВПроизведение:u1 (t ) u 2 (t )22.