Курс лекций дисциплины вариативной части математического и естественнонаучного цикла, страница 8

Дискретизация и квантованиеОбработка сигналов в самом общем случае классифицируется на двабольших класса: обработка аналогового сигнала (сигналы – аналитическиефункции времени, определенные во всех моментах времени по значению) иобработка цифровых сигналов: дискретные функции, как по времени, так и поуровню (амплитуде). Однако можно встретить случаи, когда непрерывныйсигнал разделяется на участки (интервалы) по времени (дискретизируется),оставаясь аналоговым по значению (не квантованным).Цифроваяобработкасигналовподразумеваетдискретизациюиквантование сигнала. Эти две операции являются ключевыми. Цифровойсигнал представляет собой последовательность чисел, которые являютсязначениями сигнала в определенные моменты времени и называютсяотсчетами.

Как правило, отсчеты берутся через равный интервал времени,называемый периодом дискретизации ts – рис. 2.1.АналоговыйДискретныйЦифровойbБесконечномногозначенийatБесконечномного значенийтtsКонечноечислозначенийКонечное числозначенийтtsКонечное числозначенийРис. 2.1 – Процессы дискретизации и квантованияОчевидно, что при представлении непрерывного сигнала дискретнымиотсчетами происходит потеря информации, т.к.

в моменты времени междуотсчетами дискретизированного сигнала о его значениях ничего неизвестно.Кроме того, для представления сигнала в «цифре», т.е. в виде двоичных чиселконечной длины, происходит квантование сигнала по уровню (округления кближайшемууровню,напримервида2k).Соответственно,процесспреобразование отсчетов в числа называют квантованием по уровню, аокругления, которые неизбежно при этом возникают, называются шумомквантования.Квантованиерассматриваюткакслучайныйпроцесс,подчиняющийся равномерному распределению (математическое ожидание58равно нулю).

Дисперсия ошибок округления при равномерном квантовании:2=, где12=U max2K– «цена» младшего разряда двоичного словаразрядностью K.На практике число уровней квантования (разрядность представлениячисел) выбирают так, чтобы уровень шума квантования был пренебрежимомал (или шум квантования по уровню был ниже других видов шумов).Поэтому будем рассматривать цифровые сигналы с нулевым шумомквантования, если не оговорено иное.В общем случае, процесс дискретизации может выполняться спеременным периодом дискретизации, т.е. когда «расстояние» междусоседними отсчетами не является константой, а изменяется по какому-либозакону (правилу). Например, при сигналах в виде коротких импульсов на фонемедленно изменяющихся процессов выполнять дискретизацию с малымпериодом (с высокой частотой) не рационально, т.к.

соседние отсчеты впределе будут фактически отличаться только шумовой составляющей, а прибыстро изменяющемся процессе – во время импульса, на длительностикоторого получится один отсчет или импульс возможно будет пропущен –рис.2.2. Поэтому если известны моменты появления коротких импульсов –можно увеличивать частоту дискретизации на необходимый период времени.ПропущенныйимпульсРис.

2.2 – Пример дискретизации составного сигналаПроцесс оцифровки (дискретизации и квантования) аналоговых сигналоввыполняется с помощью аналогово-цифровых преобразователей (АЦП). В59первом приближении дискретизацию сигнала s(t) можно представить в видеидеального ключа – рис. 2.3, который включается и выключается с частотойдискретизации fs. Математически процесс можно представить в виде:1, при (t − kt s ) = 0s(k ) = s(t )(t − kts ) , где (t − kt s ) = 0, иначеs(t)s(kts)ключfsРис.

2.3 – Идеология процесса дискретизацииНапример, на рис. 2.4 показан результат равномерной дискретизациисинусоидальногоs(t ) = 0.5 + sin (t + 0.1 ) .сигнала:Посколькумеждуотсчетами (обозначены красными кружочками) информации о сигнале нет, тообычно соседние отсчеты соединяют (линейная интерполяция) или считают,чтозавремяпериодадискретизациисигналнеизменяется(такаяинтерпретация показана зеленым цветом).ss(t)s(k)02468101214161820Рис. 2.4 – Дискретизация аналогового сигнала и графического представлениедискретного сигнала60Такимобразом,дискретныйсигналs (k ) = 0.5 + sin (kt s + 0.1 )представляется последовательностью чисел:{0.809016994375; 1.112907053653; 1.344327925502; 1.475916761939;1.492114701314; 1.391006524188; 1.184547105929; 0.897147890635;0.562790519529; 0.221008893961; -0.087785252292; -0.327080574275;-0.468583161129; -0.495561964603; -0.404827052466; -0.207106781187;0.074220708435; 0.405891686681; 0.748689887165; 1.062083377852}.Посколькуравномернуюдискретизациювыполнитьтехническисущественно проще, то ее и применяют на практике.

В то же время задачудискретизации сигналов рис. 2.2 выполняют иначе – например, разделяютсигнал на составляющие: медленно меняющуюся и быстро меняющуюся.Соответственно осуществляют дискретизацию каждой составляющей сподходящей частотой дискретизации.Как и процесс дискретизации, квантование также может выполнятьсяравномерно или неравномерно. В случае равномерного квантования сигнала(рис. 2.5), изменяющегося от минимального уровня xmin до максимального xmax,определяют шаг квантования:q=xmax − xmin, где N – число уровнейN −1квантования.xmin+qxminxmin+2qnxmin+nqxmin+(N-2)qxmin+(n+1)qx(k)xmaxРис. 2.5 – Процесс равномерного квантования сигнала x(k)Тогда каждое значение сигнала принадлежит интервалу n, границы которогопропорциональны величине q, т.е.

равны одному из элементов множествачисел xmin+nq, n – целое число из интервала [0, N-1]. Считая, что попаданиезначения сигнала в интервал квантования n есть случайная величина сравномерным распределением на интервале [-0.5q, 0.5q] можно записать:xкв (n ) = xmin + (n + 0.5)q , ошибка квантования x(n ) − xкв (n ) ≤ 0.5q ,q2математическое ожидание рано нулю, дисперсия (шум квантования):.1261На рис.

2.6 представлена оцифровка синусоидального сигнала и, вчастности, образование шума квантования (при представлении отсчетов в пятиразрядной сетке со знаком).амплитудаАналоговый сигналsin (ω t)время – tамплитудаДискретный сигналsin (ω ts k)дискретное время – индекс kамплитудаЦифровой сигналsin (ω ts k)дискретное время – индекс kОшибка квантования(4 бита на амплитуду)13/16=0.8125 ВЗначение 0.8 В(0.8·24=12.8)12/16=0.75 ВРис. 2.6 – Дискретизация и квантование аналогового сигнала62В случае неравномерного разбиения интервала значений сигнала науровни квантования возникает вопрос об оптимальном способе разбиения.Произвольно разобьем интервал значений сигнала [xmin, xmax] на Nнеравномерных уровней квантования: n=[tn, tn+1). Очевидно t0= xmin и tN-1= xmax.Тогда любое значение отсчета сигнала принадлежит интервалу n, асоответствующее квантованное значение отсчета равно некоторому dn(определяемому внутри n).

Поставим вопрос определения границ tn изначений dn таких, чтобы ошибка квантования была минимальна всреднеквадратичном смысле:[]N −1t k +1 = M (x − d k ) = ∑2(x − d k )2 f (x )dx ,∫k =0tkгде f(x) – функция плотности распределения вероятности попадания величиныx в интервал tk.Экстремум функции многих переменных достигается в точке, гдечастные производные по каждой переменной одновременно обращаются вноль:t j +1∂  N −1tk +12 ∑ ∫ ( x − d k ) f ( x )dx  = −2 ∫ (x − d j ) f ( x )dx = 0∂t j  k =0 tktjj = 0,, N − 1Решение полученной системы уравнений определяет квантователь ЛлойдаМакса (P. Lloyd 1982, Joel Max 1960):dj =t j +1t j +1tjtj∫ xf (x )dx ∫ f (x )dxj = 0,, N − 1В частности, если f(x) – равномерное распределение: f ( x ) =xmax1, то− xmind j = 0.5(t j +1 + t j ) – равномерный квантователь оптимален в смысле минимумасреднеквадратичной ошибки.Неравномерное квантование находит применение приречевыхсигналов–применяетсяэкспоненциальноеобработкеквантование(рекомендации ITU-T G.711).632.1 Дискретизация низкочастотных сигналовРассмотрим два дискретных сигнала:x1 (kt s ) = sin (t s k ) и x 2 (kt s ) = sin (t s k ) + 0.2 sin (11t s k ) .На рис.

2.7 сигналы представлены: x1 – синяя кривая, x2 – красная кривая.Отметим, что значения отсчетов в моменты времени kt s абсолютно одинаковы(отмеченынарисункезеленымикрестиками).Такимобразом,последовательность чисел {x(0), x(1), x(2), ….} не дает однозначногопредставления аналогового сигнала (можно указать сколь угодно многоамплитударазличных сигналов проходящих через наперед заданные точки kt s ).дискретное время – отсчеты kРис.

2.7 – Неопределенность представления гармонических колебанийнабором дискретных отсчетовРассмотрим причину неоднозначности. Пустьx(k ) = sin (2f 0 kt s ) –искусственно созданный сигнал единичной амплитуды с частотой колебаний f0и периодом дискретизации ts. Определим одинаковые значения синусоиды(при равных аргументах с учетом периодичности тригонометрической n  kt s  ,функции): sin (2f 0 kt s ) = sin (2f 0 kt s + 2n ) = sin  2 f 0 +kts  где k, n – любые целые числа.Очевидно, можно указать кратные значения чисел n и k, тогда m =целоечислоитогдаsin (2f 0 kt s ) = sin (2( f 0 + mf s )kt s ) ,гдеn–kчастотадискретизации f s = t s−1 .