glv_1 (Фикс, Терехина Высшая математика 1)
Описание файла
PDF-файл из архива "Фикс, Терехина Высшая математика 1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве ТПУ. Не смотря на прямую связь этого архива с ТПУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
gLAWA1.1.1.linejnaq algebraoPREDELITELI I IH WY^ISLENIE1.1.1.pONQTIE OPREDELITELQo P R E D E L E N I E. ~ISLOWYM OPREDELITELEM PORQDKA n NAZYWAETSQ ^ISLO, ZAPISANNOE W WIDE KWADRATNOJ TABLICY I WY^ISLQEMOEIZ \LEMENTOW \TOJ TABLICY PO OPREDELENNOMU PRAWILU.oPREDELITELX OBOZNA^AETSQ SIMWOLAMI n A ILI det A:sTROKI I STOLBCY OPREDELITELQ NAZYWA@TSQ EGO RQDAMI w OPREDELITELE RAZLI^A@T GLAWNU@ I POBO^NU@ DIAGONALI.gLAWNAQ DIAGONALX OBRAZOWANA \LEMENTAMI, STOQ]IMI NA LINII,SOEDINQ@]EQ LEWYJ WERHNIJ \LEMENT S PRAWYM NIVNIM.pOBO^NAQ DIAGONALX OBRAZOWANA \LEMENTAMI, STOQ]IMI NA LINII,SOEDINQ@]EQ LEWYJ NIVNIJ \LEMENT S PRAWYM WERHNIM.o P R E D E L E N I E.
mINOROM \LEMENTA aij OPREDELITELQ PORQDKAn NAZYWAETSQ OPREDELITELX PORQDKA n ; 1 POLU^ENNYJ IZ \LEMENTOWDANNOGO POSLE WY^ERKIWANIQ IZ NEGO STROKI S NOMEROM i I STOLBCAS NOMEROM j NA PERESE^ENII KOTORYH STOIT \TOT \LEMENT.mINOR OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Mij . nAPRIMER, W OPREDELITELE4 ;5 33 :A = 2 0 ;1M = ;44 ;75 : M = ;75 12;4 7 12zAMETIM, ^TO OPREDELITELX 3-GO PORQDKA IMEET 9 MINOROW 2-GO PORQDKA..2321o P R E D E L E N I E. aLGEBRAI^ESKIM DOPOLNENIEM \LEMENTAaij OPREDELITELQ NAZYWAETSQ MINOR \TOGO \LEMENTA, WZQTYJ SOSWOIM, ILI PROTIWOPOLOVNYM ZNAKOM SOGLASNO PRAWILUAij = (;1)i j Mij :eSLI SUMMA NOMEROW STROKI I STOLBCA DANNOGO \LEMENTA ^ETNAQ, TOALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE I MINOR \LEMENTA SOWPADA@T, A ESLI \TA+3SUMMA NE^ETNAQ, TO ALGEBRAI^ESKOE DOPOLNENIE I MINOR IME@T ODINAKOWU@ WELI^INU, NO RAZNYE ZNAKI.
nAPRIMER, DLQ RASSMOTRENNOGOWYE OPREDELITELQA = (;1) M = ; ;44 ;57 A = (;1) M = ;50 ;13 :232+3231.2.313+131sWOJSTWA PREDELITELEJo: oPREDELITELX MATRICY NE IZMENITSQ PRI EE TRANSPONIROWANII.det A = det AT :tRANSPONIROWANIE - PEREMENA ROLQMI STROK I STOLBCOW MATRICY.|TO SWOJSTWO GOWORITO RAWNOPRAWNOSTIMATRICY.010 STROK I STOLBCOW1BB 5 ;1 4 CBB 5 7 2 CCCTA = B@ 7 ;4 5 CA A = B@ ;1 ;4 0 CA :2 0 94 5 9oPREDELITELI \TIH MATRIC RAWNY, TAK KAK STOLBCY MATRICY AT QWLQ@TSQ STROKAMI MATRICY A:1: eSLI PERESTAWITX W OPREDELITELE MATRICY DWA PARALLELXNYHRQDA, TO OPREDELITELX SMENIT ZNAK NA PROTIWOPOLOVNYJ5 ;1 4;1 5 47 ;4 5 = ; ;4 7 5 :2 0 90 2 93: mNOVITELX, OB]IJ \LEMENTAM KAKOGO-LIBO RQDA, MOVNO WYNESTIZA ZNAK OPREDELITELQ:7 14 421 2 6;1 ;8 3 = 7 (;2) ;1 ;8 3 :;8 ;18 04 9 0iLI OBRATNOE: ^TOBY UMNOVITX OPREDELITELX NA ^ISLO, NUVNO UMNOVITX NA \TO ^ISLO \LEMENTY ODNOGO IZ RQDOW OPREDELITELQ.2: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI WSE \LEMENTY KAKOGOLIBO RQDA RAWNY NUL@ (a)5: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI MATRICA SODERVITDWA ODINAKOWYH RQDA (b)44: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI MATRICA SODERVITDWA RQDA, \LEMENTY KOTORYH PROPORCIONALXNY (c)67 0 47 3 321 ;15 18a) ;1 0 3 = 0: b) ;1 5 5 = 0: c) 0 2 4 = 0:;5 0 2;5 ;8 ;8;7 5 ;6wIDNO, ^TO \LEMENTY 1-OJ STROKI POLU^A@TSQ UMNOVENIEM \LEMENTOW 3-EJ STROKI NA (;3).: oPREDELITELX MATRICY RAWEN NUL@, ESLI W MATRICE ESTX RQD,\LEMENTY KOTOROGO PREDSTAWLQ@T SOBOJ LINEJNU@ KOMBINACI@ SOOTWETSTWU@]IH \LEMENTOW DRUGIH RQDOW.pOQSNIM \TO SWOJSTWO I PONQTIE LINEJNOJ ZAWISIMOSTI NA PRIME7RE OPREDELITELQ1 2 34 5 6 = 0:7 8 9eSLI WSE \LEMENTY 1-OJ STROKI UMNOVITX NA (;1) I SLOVITX SSOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI 2-OJ STROKI, PREDWARITELXNO UMNOVENNYMI NA 2, TO POLU^ATSQ \LEMENTY 3-EJ STROKI.
|TO ZNA^IT, ^TOTRETXQ STROKA ESTX LINEJNAQ KOMBINACIQ DWUH DRUGIH.kONE^NO, TAKU@ LINEJNU@ KOMBINACI@ SRAZU NE WIDNO, NO ESLIW REZULXTATE WY^ISLENIQ OPREDELITELQ POLU^ITSQ NOLX, TO MOVNOUTWERVDATX, ^TO EGO RQDY LINEJNO ZAWISIMY, T.E. KAKOJ-LIBO RQDMOVNO PREDSTAWITX W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII OSTALXNYH.w ^ASTNOSTI, LINEJNO ZAWISIMYMI QWLQ@TSQ DWA ODINAKOWYH RQDA, A TAKVE DWA RQDA, SOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY KOTORYH PROPORCIONALXNY (SWOJSTWA (5) I (6)).: eSLI WSE \LEMENTY KAKOGO-LIBO RQDA OPREDELITELQ PREDSTAWITXW WIDE SUMMY DWUH SLAGAEMYH, TO OPREDELITELX MOVNO ZAPISATX W WIDE SUMMY DWUH OPREDELITELEJ.8: oPREDELITELX MATRICY NE IZMENITSQ, ESLI WSE \LEMENTY KAKOGOLIBO RQDA UMNOVITX NA OTLI^NOE OT NULQ ^ISLO I PRIBAWITX K SOOT95WETSTWU@]IM \LEMENTAM DRUGOGO RQDA.
nAPRIMER:7 ;4 57 ;457 ;4 58 ;1 0 = j;3 S + S j = ;21 + 8 12 ; 1 ;15 + 0 = ;13 11 ;15 :2 3 12312 3 1zAPISX (;3 S + S ) OZNA^AET, ^TO MY UMNOVILI WSE \LEMENTY 1OJ STROKI NA (;3) I PRIBAWILI K SOOTWETSTWU@]IM \LEMENTAM 2-OJSTROKI. pRI \TOM \LEMENTY 1-OJ STROKI NE IZMENQTSQ, A IZMENQTSQTOLXKO \LEMENTY 2-OJ STROKI.w REZULXTATE POLU^ILSQ NOWYJ OPREDELITELX, NO PO SWOJSTWU (9) EGOWELI^INA RAWNA WELI^INE ISHODNOGO OPREDELITELQ.|TO SWOJSTWO QWLQETSQ O^ENX WAVNYMI PRI UPRO]ENII WY^ISLENIQ OPREDELITELQ PORQDKA RAWNOGO ILI WYE TREH.1122: oSNOWNOE PRAWILO WY^ISLENIQ OPREDELITELEJ.10oPREDELITELX KWADRATNOJ MATRICY RAWEN SUMME PROIZWEDENIJ \LEMENTOW KAKOJ-LIBO STROKI (STOLBCA) MATRICY NA SOOTWETSTWU@]IEIM ALGEBRAI^ESKIE DOPOLNENIQ.|TO PRAWILO NAZYWAETSQ RAZLOVENIEM OPREDELITELQ PO \LEMENTAMKAKOGO-LIBO RQDA.
rEZULXTAT WY^ISLENIQ OPREDELITELQ NE ZAWISIT OTWYBORA RQDA, PO KOTOROMU WEDETSQ RAZLOVENIE.: sUMMA PROIZWEDENIJ \LEMENTOW KAKOJ-LIBO STROKI (STOLBCA) MATRICY NA ALGEBRAI^ESKIE DOPOLNENIQ \LEMENTOW DRUGOJ STROKI (STOLBCA) RAWNA NUL@.111.1.3.1.wY^ISLENIE PREDELITELEJoPREDELITELX GO PORQDKA RAWEN SAMOMU \LEMENTUo A=ja12.1-11j=a11:oPREDELITELX GO PORQDKA WY^ISLQETSQ PO PRAWILU2- A = aa aa1112212226=a a1122;a12a :21tAK:3.15;32 = 1 2 ; 5 (;3) = 2 + 15 = 173 5 = ;3 ; 10 = ;132 ;1oPREDELITELX GO PORQDKA WY^ISLQETSQ PO UNIWERSALX3-NOMU PRAWILU (RAZLOVENIEM PO \LEMENTAM KAKOJ-LIBO STROKI, ILISTOLBCA.
rASSMOTRIM PRIMERY.4 ;3 2zAPIEM RAZLOVENIE OPREDELITELQ 1: ;5 1 7 = PO \LEMENTA 2 ; GO STOLBCA=2 ;1 3=a A +a A +a A == (;3) (;1) ;52 73 +1 (;1) 42 23 +(;1) (;1) ;54 27 =12121+22222322+2323+2= 3(;5 3 ; 2 7)+(4 3 ; 2 2)+(4 7 ; 2 (;5)) = 3(;29)+8+38 = ;41:o^EWIDNO ^TO NAIBOLEE WYGODNYMQWLQETSQ RAZLOVENIE OPREDELITELQ7 ;4 2PO \LEMENTAM 2 ; OJ STROKI 2: 0 3 0 = TAK KAK W RAZLOVENII OSTANETSQ =5 ;1 ;8TOLXKO ODNO SLAGAEMOE=0A +3A +0A =212223 ;;41 ;28 + 3 (;1) 75 ;28 + 0 (;1) 75 ;;41 == 0 + 3 (7 (;8) ; 2 5) + 0 = 3 (;56 ; 10) = 3 (;66) = ;198:= 0 (;1)345eSLI W ISHODNOM OPREDELITELE NET NULEJ, TO IH MOVNO POLU^ITX,WYPOLNQQ S RQDAMI OPREDELITELQ RAZLI^NYE LINEJNYE OPERACII, AIMENNO: UMNOVITX \LEMENTY KAKOGO-LIBO RQDA NA ^ISLO I SLOVITXS SOOTWETSTWU@]IMI \LEMENTAMI DRUGOGO RQDA TAK, ^TOBY PRI \TOMKAKOJ-LIBO \LEMENT STAL RAWEN NUL@.
sOGLASNO SWOJSTWU (9) WELI^INA OPREDELITELQ PRI \TOM NE IZMENITSQ. tAKIE DEJSTWIQ MOVNOPROWODITX NEOBHODIMOE ^ISLO RAZ.731 ;2 3;4S+S5 ;6 = I 7 S + S = 0 13 ;18 =8 90 ;6 3013 ;18 = 6 (65 ; 18) = 282:= 1 (;1) ;136 ;18=630;1 5zAMETIM, ^TO WSEGDA LEGKO POLU^ITX NULI, ESLI W OPREDELITELE ESTX1 ILI (;1): eSLI VE TAKIH \LEMENTOW NET, TO PUTEM ANALOGI^NYHLINEJNYH OPERACIJ NAD RQDAMI MOVNO SNA^ALA POLU^ITX 1 ILI (;1)WMESTO KAKOGO-LIBO \LEMENTA, A ZATEM POLU^ATX NULI, KAK W PRIWEDENNOM WYE PRIMERE.1 3: 4;7;2121324.oPREDELITELI PORQDKOW WYE GO WY^ISLQ@TSQ TAKVE PO3-UNIWERSALXNOMU PRAWILU, NO S PREDWARITELXNYM ZANULENIEM \LEMENTOW KAKOGO-LIBO RQDA, KROME ODNOGO. tOGDA, NAPRIMER, WY^ISLENIEOPREDELITELQ 4-GO PORQDKA MOVNO SWESTI K WY^ISLENI@ ODNOGO OPREDELITELQ 3-GO PORQDKA.rASSMOTRIM PRIMERY.2 ;5 1 2pOLU^IM NULI1S +S;37;14 4: 5 ;9 2 7 = W TRETXEM(;2) S + S =STOLBCE PUTEM: (;1) S + S4 ;6 1 22 ;5 1 2;1 2 6;1206= 1 1 0 3 = 1 (;1) 1 1 3 = ;92 ;1 02 ;1 0 03 ;5 2 ;4pREDWARITELXNO POLU^IM (;1);34;53 5: ;5 7 ;7 5 = EDINICU W ^ETWERTOM=STOLBCE WMESTO ; 4: S = S + S8 ;8 5 ;60 ;1 ;3 ;1pOLU^IM NULI S = 3 S + S;34;53= ;5 7 ;7 5 = W ^ETWERTOMS =5S +S =STOLBCE PUTEM: S = ;6 S + S8 ;8 5 ;61213144011202121314030480 ;1 ;3 ;1;3 1 ;14;31;140= ;5 2 ;22 0 = (;1) (;1) ;5 2 ;22 =8 ;2 238 ;2 23 0= (;3)(46 ; 44) ; 1(;115 + 176) ; 14(10 ; 16) = 1751 2 3 4;2 S + S pOLU^IM NULI2341= 6: 3 4 1 2 = ;3 S + S = W PERWOM;4 S + S STOLBCE:4 1 2 31 2 3 4pOLU^IM1 ;2 ;7 = ;2 S + S = NULI WO == 00 ;;2 ;8 ;10;7 S + S WTOROM0 ;7 ;10 ;13STOLBCE:1 2 3 41 2 3 42 ;7 = S + S = 0 ;1 ;2 ;7 == 00 ;10 ;;4 40 0 ;4 40 0 4 360 0 0 40pOLU^ILI OPREDELITELX TAK NAZYWAEMOJ WERHNEJ TREUGOLXNOJ MATRICY, W KOTOROJ WSE \LEMENTY, STOQ]IE NIVE GLAWNOJ DIAGONALI,RAWNY NUL@.
oPREDELITELX TAKOJ MATRICY RAWEN PROIZWEDENI@ \LEMENTOW, STOQ]IH NA GLAWNOJ DIAGONALI.= 1 (;1) (;4) 40 = 160:1213143pRIMERY DLQ SAMOKONTROLQ1 1 1 11) 11 ;11 ;11 11 = ;8:1 1 1 ;12324462) ;43;28 9 ;126 ;6 ;9 = 55:;4 6 8;3 4 691.2.mATRICY I DEJSTWIQ NAD NIMIo P R E D E L E N I E. ~ISLOWOJ MATRICEJ RAZMERA (m n) NAZYWAETSQ PRQMOUGOLXNAQ TABLICA ^ISEL, SOSTOQ]AQ IZ m STROK In STOLBCOW:01 a n CC a n CCC = jjaijjj CAam am amnBB aA = BBBB a@11211aa1212222GDE i { PERWYJ INDEKS, POKAZYWA@]IJ NOMER STROKI, A j { WTOROJINDEKS UKAZYWAET NA NOMER STOLBCA.sTROKI I STOLBCY MATRICY NAZYWA@TSQ EE RQDAMI.1.2.1.wIDY MATRIC.rASSMOTRIM OSNOWNYE WIDY ^ISLOWYH MATRIC, S KOTORYMI MY BUDEM IMETX DELO W DALXNEJEM.1.pRQMOUGOLXNYE MATRICY RAZMERA (0m n) :101BB 4 ;3 CC4;321@AB@ 3 ;8 CA :3 ;8 0 5 1 7RAZMER (2 4)RAZMER (3 2)mATRICA - STROKA RAZMERA (1 n) :0 ;4 6 : : : 1 :tAKAQ MATRICA SOSTOIT IZ ODNOJ STROKI I n STOLBCOW I ^ASTO NAZYWAETSQ "WEKTOR-STROKA".2.3.10mATRICA- STOLBECRAZMERA (m 1) :01tAKAQ MATRICA SOSTOITBB 3 CCBB ;5 CIZ ODNOGO STOLBCABB 2 CCC:I m STROK:BBCCB@ : : : CI ^ASTO NAZYWAETSQA;8"WEKTOR ; STOLBCOM"kWADRATNAQ MATRICA PORQDKA n = 3 :012;57BCA = BB@ 3 ;4 1 CCA :1 2 ;35.
