glv_1 (847680), страница 3
Текст из файла (страница 3)
oSTANUTSQ DWE LINEJNO NEZAWISIMYH STROKI,^TO PODTWERVDAETSQ NALI^IEM MINORA 2-GO PORQDKA, NE RAWNOGO NUL@:M = 10 ;11 6= 0:wSE MINORY 3-GO I 4-GO PORQDKA RAWNY NUL@. wYWOD: Rang A = 2.21.3.sISTEMY LINEJNYH URAWNENIJsISTEMOJ m LINEJNYH URAWNENIJ S n NEIZWESTNYMI NAZYWAETSQSISTEMA WIDA8>> a x +a x + +a nxn = b>< a x +a x + +a nxn = b:112111>>>: am x11122222am x2211 + +amnxn = bm22w MATRI^NOJ FORME SISTEMU MOVNO ZAPISATX AX = B , GDE mATRICAKO\FFICIENTOW PRI NEIZWESTNYH (OSNOWNAQ MATRICA SISTEMY) A, MATRICA{STOLBEC NEIZWESTNYH X I MATRICA{STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW B0aBBA = BBBB a@ a n 1CC a n CCC : CAam am amn01aaabnBBCBB a a a n b CCCA= BB CC :@Aam am amn bmSISTEMY.aa11211121222211121121222210 1BB x CCX = BBBB x::: CCCC :@ A12xn0 1BB b CCb CC :B = BBBB :::C@ CA12bmNAZYWAETSQ RASIRENNOJ MATRICEJ2rEENIEM SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX ^ISEL c c : : : cn , KOTORAQ PRI PODSTANOWKE W KAVDOE URAWNENIE SISTEMY WMESTO NEIZWESTNYH x x : : : xn OBRA]AET \TIURAWNENIQ W WERNYE ^ISLOWYE RAWENSTWA.121219sOWMESTNOJ NAZYWAETSQ SISTEMA, IME@]AQ HOTQ BY ODNO REENIE.nESOWMESTNOJ NAZYWAETSQ SISTEMA, NE IME@]AQ REENIJ.oPREDELENNOJ NAZYWAETSQ SOWMESTNAQ SISTEMA, IME@]AQ EDINSTWENNOE REENIE.nEOPREDELENNOJ NAZYWAKTSQ SOWMESTNAQ SISTEMA, IME@]AQ BESKONE^NOE MNOVESTWO REENIE.tAKIM OBRAZOM, PRI ANALIZE I REENII SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ STAWQTSQ I REA@TSQ SLEDU@]IE WOPROSY:1.
qWLQETSQ LI SISTEMA SOWMESTNOJ ?2. eSLI SISTEMA SOWMESTNA, QWLQETSQ LI ONA OPREDELENNOJ ILINEOPREDELENNOJ ?3. w SLU^AE OPREDELENNOJ SISTEMY NEOBHODIMO NAJTI EDINSTWENNOE REENIE.4. w SLU^AE NEOPREDELENNOJ SISTEMY SLEDUET ZAPISATX WSE MNOVESTWO REENIJ SISTEMY.nA WOPROS O SOWMESTNOSTI SISTEMY OTWE^AET SLEDU@]AQ TEOREMA.t E O R E M A kRONEKERA - kAPELLI. sISTEMA LINEJNYH URAWNENIJSOWMESTNA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA RANG OSNOWNOJ MATRICYSISTEMY RAWEN RANGU RASIRENNOJ MATRICYRang A = Rang A= R:dLQ TOGO, ^TOBY OTWETITX NA WTOROJ WOPROS, NUVNO SRAWNITX RANG R MATRICY A S ^ISLOM NEIZWESTNYH SISTEMY n.eSLI RANG MATRICY A RAWEN ^ISLU NEIZWESTNYH (R = n), TO SISTEMA IMEET EDINSTWENNOE REENIE.eSLI RANG MATRICY A MENXE ^ISLA NEIZWESTNYH (R < n), TO SISTEMA IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO REENIJ.oTMETIM, ^TO OBY^NO PRI REENII KONKRETNYH SISTEM LINEJNYHURAWNENIJ OTDELXNO WOPROS O SOWMESTNOSTI SISTEMY NE RASSMATRIWAETSQ, TAK KAK OTWET NA NEGO POLU^AETSQ W PROCESSE REENIQ SISTEMY.20rASSMOTRIM METODY REENIQ SISTEM LINEJNYH URAWNENIJ.1.3.1.mETOD kRAMERAsISTEMA n LINEJNYH URAWNENIJ S n NEIZWESTNYMI IMEET EDINSTWENNOE REENIE TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA OPREDELITELX OSNOWNOJMATRICY OTLI^EN OT NULQ.
nEIZWESTNYE SISTEMY NAHODQTSQ PO FORMULAM kRAMERA xk = k GDE ; GLAWNYJ OPREDELITELX SISTEMY,T.E. OPREDELITELX OSNOWNOJ MATRICY A, k ; OPREDELITELX NEIZWESTNOGO xk , KOTORYJ POLU^AETSQ PRI ZAMENE STOLBCA S NOMEROM k WGLAWNOM OPREDELITELE NA STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW (k = 1 2 : : : n):iTAK, METODOM kRAMERA MOVNO REATX KWADRATNYE SISTEMY S OTLI^NYM OT NULQ OPREDELITELEM.8>>< 2x ;x +x = 4 rEITX METODOM kRAMERA SISTEMU >>: x +x ;x = 2 :2x ;x +3x = 6rEENIE. sISTEMA IMEET ODINAKOWOE ^ISLO URAWNENIJ I NEIZWESTNYH. nAJDEM GLAWNYJ OPREDELITELX.2 ;1 1 = 1 1 ;1 = 6 6= 0:2 ;1 3zAMETIM, ^TO, W \TOM SLU^AE (KAK I W PREDYDU]EM), RANG OSNOWNOJMATRICY SISTEMY RAWEN ^ISLU NEIZWESTNYH, PO\TOMU SISTEMA IMEETEDINSTWENNOE REENIE.sOSTAWIM I WY^ISLIM OPREDELITELX DLQ PERWOGO NEIZWESTNOGO x .dLQ \TOGO W GLAWNOM OPREDELITELE PERWYJ STOLBEC, SOOTWETSTWU@]IJ KO\FFICIENTAM PRI x , ZAMENIM STOLBCOM SWOBODNYH ^LENOW:4 ;1 1 = 2 1 ;1 = 12:6 ;1 3aNALOGI^NO, ZAMENIW WTOROJ STOLBEC W GLAWNOM OPREDELITELE STOLBCOM SWOBODNYH ^LENOW, ZAPIEM I WY^ISLIM OPREDELITELX , A,111232323111221ZAMENIW TRETIJ STOLBEC GLAWNOGO OPREDELITELQ STOLBCOM SWOBODNYH^LENOW, POLU^IM OPREDELITELX :2 4 12 ;1 4 = 1 2 ;1 = 6 = 1 1 2 = 6:2 6 32 ;1 6nAHODIM REENIE SISTEMY = 6 = 1 x = = 6 = 1:x = = 12=2x=6 6 6pOLU^ILI EDINSTWENNOE REENIE SISTEMY.323112323zAME^ANIE.
pRI REENII METODOM kRAMERA SISTEMY 3-H URAWNENIJ S TREMQ NEIZWESTNYMI POTREBOWALOSX WY^ISLITX 4 OPREDELITELQ3-GO PORQDKA. pRI REENII SISTEM, NAPRIMER, 4-GO PORQDKA UVE POTREBUETSQ WY^ISLQTX PQTX OPREDELITELEJ 4-GO PORQDKA, ^TO GROMOZDKO I NERACIONALXNO. pO\TOMU CELESOOBRAZNO REATX METODOM kRAMERA SISTEMY NE WYE 3-GO PORQDKA.1.3.2.mATRI^NYJ METODsISTEMA LINEJNYH URAWNENIJ MOVET BYTX KRATKO ZAPISANA W WIDEMATRI^NOGO URAWNENIQA X = B:w \TOM NETRUDNO UBEDITXSQ, PEREMNOVIW MATRICY A I X SISTEMY I PRIRAWNQW K MATRICE B: (mATRICY RAWNY, ESLI RAWNY IHSOOTWETSTWU@]IE \LEMENTY.)rEENIE TAKOGO MATRI^NOGO URAWNENIQ RASSMOTRENO W DANNOM POSOBII.
iTAK:X = A B:tAKIM OBRAZOM, REENIE SISTEMY SOSTOIT IZ DWUH \TAPOW.1. nAHOVDENIE MATRICY, OBRATNOJ OSNOWNOJ MATRICE SISTEMY2. uMNOVENIE POLU^ENNOJ OBRATNOJ MATRICY NA MATRICU-STOLBECSWOBODNYH ^LENOW.;122tAK KAK NAHOVDENIE OBRATNOJ MATRICY SWQZANO S WY^ISLENIEMOPREDELITELQ, TO MATRI^NYM METODOM MOVNO REATX SISTEMY, IME@]IE NEWYROVDENNU@ OSNOWNU@ MATRICU.rASSMOTRIM PRIMER REENIQ SISTEMY MATRI^NYM METODOM.8>>< x +x +2x = ;1 >>: 2x ;x +2x = ;4 :4x +x +4x = ;2rEENIE: a) wYPISYWAEM OSNOWNU@ MATRICU SISTEMY I NAHODIMOBRATNU@ EJ 01112BCA = BB@ 2 ;1 2 CCA :4 1 4nE OSTANAWLIWAQSX NA PODROBNYH WY^ISLENIQH, ZAPIEM REZULXTATYOSNOWNYH \TAPOW NAHOVDENIQ OBRATNOJ MATRICY.011 1 2;606BC1) det A = 2 ;1 2 = 6 6= 0: 2) A = BB@ ;2 ;4 3 CCA :0 4 1 4 10 4 2 ;3 1;6 ;2 4 C;6 ;2 4 CBB1BCB3) A T = B@ 0 ;4 2 CA :4) A = 6 B@ 0 ;4 2 CCA :6 3 ;36 3 ;3b) nAHODIMMATRICU1 X0 ; REENIE010 SISTEMY1 :0 X 1= A B =BB ;6 ;2 4 CC BB ;1 CC 1 BB 6 CC BB 1 CC1= 6 B@ 0 ;4 2 CA B@ ;4 CA = 6 B@ 12 CA = B@ 2 CA :6 3 ;0 3 1 ;2;12;2BB 1 CC:E: x = 1 x = 2 x = ;2 :oTWET: X = B@ 2 CA : tEDINSTWENNOEREENIE SISTEMY:;2pODSTAWIW POLU^ENNOE REENIE W KAVDOE URAWNENIE SISTEMY, UBEVDAEMSQ W PRAWILXNOSTI POLU^ENNOGO REENIQ.123123123;1;1123zAME^ANIE.
rEENIE SISTEM MATRI^NYM METODOM NECELESOOBRAZNO PROWODITX DLQ SLU^AQ n > 3, TAK KAK PRI NAHOVDENII OBRATNOJMATRICY, UVE DLQ MATRICY 4-GO PORQDKA, PRIDETSQ WY^ISLQTX 16OPREDELITELEJ 3-GO PORQDKA. kROME TOGO, SISTEMA DOLVNA IMETX ODI23NAKOWOE ^ISLO URAWNENIJ I NEIZWESTNYH I OTLI^NYJ OT NULQ OPREDELITELX OSNOWNOJ MATRICY. t.E. MATRI^NYJ METOD IMEET TE VE PREIMU]ESTWA (PROSTOTA REENIQ SISTEM NEWYSOKOGO PORQDKA) I TE VENEDOSTATKI, ^TO I METOD kRAMERA.rASSMOTRIM METOD REENIQ LINEJNYH SISTEM S L@BYM ^ISLOMURAWNENIJ I NEIZWESTNYH (KOTORYJ QWLQETSQ UNIWERSALXNYM); METOD POSLEDOWATELXNOGO ISKL@^ENIQ NEIZWESTNYH ILI METOD gAUSSA.1.3.3.mETOD gAUSSAsUTX METODA SOSTOIT W TOM, ^TO PUTEM \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ IZ WSEH URAWNENIJ SISTEMY, KROME PERWOGO, ISKL@^AEM NEIZWESTNOE x DALEE IZ WSEH URAWNENIJ, KROME PERWOGO I WTOROGO,ISKL@^AEM NEIZWESTNOE x I T.D.
nA PRAKTIKE PRINQTO WSE \TIDEJSTWIQ PROWODITX NE NAD URAWNENIQMI SISTEMY, A NAD STROKAMIRASIRENNOJ MATRICY. k \LEMENTARNYM OTNOSQTSQ SLEDU@]IE PREOBRAZOWANIQ:1) UMNOVENIE (DELENIE) NA ^ISLO, OTLI^NOE OT NULQ, \LEMENTOWKAKOJ-LIBO STROKI2) SLOVENIE \LEMENTOW KAKOJ-LIBO STROKI S SOOTWETSTWU@]IMI\LEMENTAMI DRUGOJ STROKI, PREDWARITELXNO UMNOVENNYMI NA NENULEWOE ^ISLO2) PERESTANOWKA STROK MATRICY3) WY^ERKIWANIE IZ MATRICY NULEWYH STROK, ODNOJ IZ DWUH ODINAKOWYH STROK, ODNOJ IZ DWUH PROPORCIONALXNYH STROK, WY^ERKIWA@TSQ STROKI, LINEJNO-ZAWISIMYE OT DRUGIH STROK.12w REZULXTATE \LEMENTARNYH PREOBRAZOWANIJ POLU^AETSQ MATRICA,\KWIWALENTNAQ ISHODNOJ, T.E.
MATRICA, IME@]AQ TAKOJ VE RANG. nAEE OSNOWE SOSTAWLQETSQ SISTEMA, \KWIWALENTNAQ ISHODNOJ, NO BOLEEPROSTAQ W REENII I ANALIZE, TAK KAK W POSLEDNEM URAWNENII OSTANETSQ TOLXKO ODNO NEIZWESTNOE, W PREDPOSLEDNEMDWA I T.D. |TOT PROCESS NAZYWAETSQ PRQMYM HODOM METODA gAUSSA.oTMETIM, ^TO PARALLELXNO PRI \TOM REAETSQ WOPROS O SOWMESTNOSTI SISTEMY I KOLI^ESTWE REENIJ (EDINSTWENNOE ILI BESKONE^NOEMNOVESTWO.)24oBRATNYJ HOD SOSTOIT W SLEDU@]EM: IZ POSLEDNEGO URAWNENIQ NAHODIM EDINSTWENNOE WHODQ]EE W NEGO NEIZWESTNOE, PODSTAWLQEM POLU^ENNOE ZNA^ENIE W PREDPOSLEDNEE URAWNENIE I NAHODIM WTOROE NEIZWESTNOE I T.D. POKA NE DOJDEM DO PERWOGO URAWNENIQ, W KOTOROM UVENAJDENY WSE NEIZWESTNYE, KROME ODNOGO. tAKIM OBRAZOM POLU^IM SOWOKUPNOSTX ZNA^ENIJ NEIZWESTNYH, OBRAZU@]IH REENIE SISTEMY.rASSMOTRIM PRIMERY REENIQ SISTEM METODOM gAUSSA.8>2x +x ;5x +x = 8>>< x ;3x 1: >> 2x ;x ;+26xx == ;95 :>: x +4x ;7x +6x = 0rEENIE.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
