Диссертация (Автоматизация и управление процессом принятия решений при многокритериальном проектировании пильного блока лесопильного станка), страница 7

Однако, из-затрудоёмкости в реализации и ограничений возможности расчётных средств,задача устойчивости плоской формы стержня в случае комбинированных трехсиловых факторов и более до сих пор полностью ещё не решена. Тем не менее,имеется общая идея для нахождения критического значения силовых факторовв данной задаче.

Она заключается либо в непосредственном решении системынелинейных дифференциальных уравнений (СНДУ) по отношению к функциямпрогибов стержней u(z), v(z) и угла скручивания φ(z) (Рис. 3.1), либо виспользовании энергетического подхода [96, 97]. Отметим, что СНДУ решаетсятакже двумя способами, либо с помощью однородных линеаризованныхуравнений [106], либо через приближённый ряд [96, 97, 104]. Однако не всегдаданная идея могла быть успешно реализована. Например, в [98], автор привелобобщённую СНДУ, теоретически позволяющую решить любую задачу.

Но вслучае комбинированных нагрузок, приведенная общая система42дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, оказываетсядостаточно громоздкой, поэтому её решение в явном виде весьма трудоемко.Вследствие чего,комплексное исследование реальных изделий, таких какпильные полотна, нагруженные комбинированными нагрузками, остаетсянедостаточно изученной.В последнее время, Magnucka К. в своих работах [105, 113] успешноустановил соотношение между прогибами v(z), u(z) и угла скручивания φ(z) спомощью дифференциальных формул упругой кривой и техники проведенияпроекции радиуса кривизны оси стержня в двух взаимно-перпендикулярныхплоскостях.

Данный шаг значительно упростил трудоёмкость в решенииобобщённой СНДУ, что позволило интегрировать и находить искомые функцииv(z), u(z), φ(z) быстрее и легче по сравнению с подходом непосредственногорешения СНДУ. Наследуя данный прогресс, Magnucka-Blandzi E. в своем труде[114] пыталась решить задачу устойчивости плоской формы стержня с тремянагрузками. Однако, для определения прогиба u(z) автор не учитывал влияниеосевой силы, поэтому результат, к сожалению, приемлемым только при маломзначении F.Таким образом, обобщённое решение v(z), u(z), φ(z) в явном виде нельзянайтиисходя из СНДУ. Поэтому для нахождения значений критическихнагрузок,кромедополнительноприёмаоднородныхиспользуетсялинеаризованныхэнергетическийподход,уравнений,которыйимеетследующую процедуру: в первую очередь, задаётся упрощённая функция u(z)так, чтобы u(z) максимально соответствовать экспериментальным данным играничным условиям, после чего определяется φ(z), v(z) из дифференциальныхуравнений.

Из отслеживания изменения полной потенциальнойэнергиисистемы при переходе из одной формы равновесии в другую, находятсякритические нагрузки. Они будут соответствовать нулевому значениюприращения суммарной потенциальной энергии.Таким образом, в работе автора предлагается новая процедура длярешения задачи устойчивости плоской формы полосы при комбинированных43нагрузках[115].аналитическомиПолученныеграфическомрезультатывидахинагляднопредставленыиспользованыдляввыборарационального варианта балансировки пильного модуля.3.1.1. Устойчивость плоской формы изгиба полосы под действиемкомбинации трех силовых факторовРассмотрим полосу длиной L под действием изгибающего момента М,осевой силы F, и распределенной перерезывающей нагрузки q на центральнойчасти полосы αL (Рис.

3.1). В общем случае, пусть нагрузка q действует толькона центральную часть полосы с длиной αL и обозначаем с – возвышение точкиприложения q над центром тяжести поперечного сечения полосы. Перемещенияи углы поворота поперечного сечения полосы считаются малыми. За началокоординат принимается центр тяжести левого концевого сечения.

Ось xперпендикулярна плоскости наибольшей жесткости, ось y – вертикально вверх,Ось z направляется по оси стержня. Кроме главной системы координат x, y, zпри выводе основных уравнений для искривленной формы равновесияиспользуется еще вспомогательная система ξ, η, ζ. Начало этой системырасполагается в центре тяжести рассматриваемого поперечного сечения. Оси ξи η направляются по главным осям инерции поперечного сечения, ось ζсовпадает с направлением касательной к искривленной оси стержня.Обозначаем u и v прогибы полосы соответственно по направлениям x и y.Концевые сечения полосы (согласно схеме закрепления пильного полотна) немогут поворачиваться относительно осей, параллельных y и z.

В таком случаена концах не только смещение по оси u, но и первая производная смещения u’обращаются в нуль. Свободный поворот вокруг оси, параллельной оси y,возможен.Через Мξ, Мη, Мζобозначены моменты внешних сил относительносоответствующих осей. Система дифференциальных уравнений, определяющихнеплоскую форму изгиба имеет следующий вид [96, 97]:44d 2vM   B1 2dz(3.1)d 2uM  B2 2dz(3.2)d,dz(3.3)M  Cгде C - жесткость полосы при кручении,жесткость на изгиб,– наибольшая– наименьшая жесткость на изгиб, φ – уголповорота поперечного сечения при выпучивании изгибаемой полосы, М0 –опорный момент в плоскости xOz, отличный от нуля при этом случаезакрепления.Значение моментов M  , M , M  при малых искривлениях могут бытьнайдено с помощью матрицы преобразования K M M x  M   K   M y  , M   M z (3.4)где матрица преобразования K равна [96, 97]: 1K 1 dd u  v dzdzd udz d vdz 1 (3.5)илиd MMxy u Mz dz  M d   M       M x  M y   dz v   M z M   d d   u   M x   v   M y  M z  dz   dz (3.6)45Благодаря симметричности нагрузок, рассекая полосу на две частисоставляется уравнение уравнения равновесия для одной половины.Рис.

3.1. Расчетная схема полосыТак как рассматриваются лишь малые искривления и предполагается, чтоотношенияB2- малая величина. При этом входящими в системе уравненийB1(3.6) членами с множителемdv можно пренебречь [96, 97]. Имеется:dzd M x   M y   u Mz  M  dz  MMMxy  M  d  u Mx  Mzdz( 3.7)Получены следующие уравнения равновесия полосы:d 2vd M x    M y   u   M z  B2 2dz dz (3.8)46Так какd 2u  M x  M y  B2 2dz(3.9)dd  u Mx  Mz  Cdz dz (3.10)B2- очень малая величина, то прогиб полосы в плоскости yOzB1обусловлен в основном за счет кручения, а не из-за изгиба. Поэтому уравнение(3.8) не будет использовано. С учетом малости перемещения, кривизны осиполосы в плоскостях xOz и yOz соответственно составляютd 2u 1dz 2 Ru(3.11)d 2v 1dz 2 Rv(3.12)Из связи между кривизнами полосы определяется соотношение прогибовоси полосы в двух плоскостях [113, 114, 115]:Ru  Rv (3.13)из чего следует соотношение:d 2 v d 2udz 2 dz 2(3.14)Данная задача может быть решена энергетическим методом.Для обеспечения граничных условий в первом приближении, задаётсяфункцияв следующем виде:()(3.15)Необходимо составить выражения для моментов Мx, Мy, Мz.

Видно, чтовыражения Мx и Мz в областях OE и EB определяются разными формулами. Вобласти OE изгибающий момент внутренних сил Мx определяется формулой[96, 97]:L L1LM x1  M    q  (  z )  q(  q   z )22 222(3.16)47а в области EB:(3.17)L LM x2  M    q  (  z)2 2Аналогично определяется момент Мz:L2L2LLM z1   q  u( z )  dz    q  u( z )   q  u( z )  u(t )  dz; при 0  z   2200M z1 L2LL q  u( z )  dz    q 2  u( z ); при 0  z    2(3.18)(3.19)0Формула изгибающего момента внутренних сил Мy по всей длине полосыодинакова и определяется таким образом:My Изуравнения(3.10),(3.20)1F u  M02сграничными L 1    02условиямии L  L   2  , найдены функции угла скручивания в областях OE и EB: 2  2 1 ()( )[()()(())()( )()(3.21)(())()(3.22)()]48Рис.

3.2. Полоса при потери устойчивости плоской формыВнутренняя энергия деформации всей полосы [96, 97, 114, 115]:L2L2L2d uddU  B2  ( 2 )2  dz  C  ( 1 ) 2  dz  C  ( 2 ) 2  dzdzdzdzL002(3.23)2Работа внешних нагрузок q, M определяется работой через работувнутренних моментов. Обозначаем dθ – угол поворота поперечного сеченияэлемента полосы dz (Рис. 3.2). Из (3.14) имеем:dWMq  M x d  M x v '' dz  M x u '' dz(3.24)Отсюда, работа внешних нагрузок q, M вычисляется формулой:L2L2(3.25)L2WMq  2  dWMq 2  ( M x1u ''  )  dz  2  ( M x 2u ''  )  dz00L2Дополнительное смещение точек приложений q по направлению y отповорота поперечного сечения полосы равноc 1  cos    c  2sin 22 c22(3.26)Поэтому дополнительная работа, учитывающая повышение точекприложения нагрузки q, определяется формулой:L2L2Wd  2  qc 1  cos    dz  2  q00c dz22(3.27)49Работа осевой силы F определяется формулой:(3.28)L2duWF  F  ( )2  dzdz0Работа всех внешних сил W определяется формулой:W  WMq  Wd  WF(3.29)Учитывая соотношения (3.25), (3.27) и (3.28) в (3.29)(3.29), получаем(3.30d ud uc 2du 2W  2  ( M x1 2 1 )  dz  2  ( M x 2 2  2 )  dz  2  ( q 1 )  dz  F  ( )  dz )d zd z2dzL000L22L22L2L22Согласно теореме Лагранжа, состояние равновесия консервативноймеханической системыустойчиво тогда и только тогда, когда ее полнаяэнергия потенциальная энергия минимальна [106].