Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай, страница 7

. , [hS ◦ α],[h01 ◦β], . . . , [h0S 0 ◦β], [γ1 ], . . . , [γ2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами из условия. Он определен корректнов силу условия настоящего утверждения и замечания 5.9. Тогда выполнены формулыиз свойства03 теоремы, в силу доказанных выше формул ψ ρ (hi )(q) = (kl)ni (q) и ψ ρ (h0j )(r) = (kl)nj (r) и условияkl(r) = r (по условию 1). Требуемое условие эквивариантности для c1 , . .

. , c2g следует из условия 5.Заметим, что если симметрия, являющаяся произведением нечетного числа образующих x, y, z исохраняющая клетку e0 , не меняет ее ориентации, то r2 = 1. В силу этого, а также того, что m = k17и ρ̄([h0j ◦ β]) := ψρ (h0j )(r) = r = (k(r))−1 = (l(r))−1 = (m(r))−1 , см. выше, получаем требуемыеусловия эквивариантности для 1 ≤ j ≤ S 0 . Если kl = idH , то ρ̄([hi ◦ α]) := ψ ρ (hi )(q) = (kl)ni (q) =q = (k(q))−1 = (l(q))−1 = (m(q))−1 , откуда получаем требуемые условия эквивариантности для1 ≤ i ≤ S. Пусть теперь kl 6= idH , а потому l(q) 6= k(q) (см.

доказательство свойства 4 на шаге2). На шаге 1 мы показали, что сопоставление любой белой клетке hi (e) атома Y автоморфизмаψ ρ (hi ) ∈ {idH , kl} ⊂ Aut(H) задает двудольное разбиение белых клеток. Поэтому сопоставлениелюбой белой клетке hi (e) элемента ρ̄([hi ◦ α]) := ψ ρ (hi )(q) = (kl)ni (q) ∈ {q, kl(q)} ⊂ H тожезадает двудольное разбиение белых клеток.

При этом симметрии x, z переводят множество всехбелых клеток hi (e) со свойством ρ̄([hi ◦ α]) = q в себя, а множество всех белых клеток hi0 (e) сосвойством ρ̄([hi0 ◦ α]) = kl(q) в себя (см. шаг 1). Поэтому ρ̄([x ◦ hi ◦ α]) = ρ̄([z ◦ hi ◦ α]) = ρ̄([hi ◦ α]),1 ≤ i ≤ S. На шаге 1 мы также показали, что симметрия y переставляет эти два множества, откудаρ̄([y ◦ hi ◦ α]) = kl(ρ̄([hi ◦ α])), 1 ≤ i ≤ S.4) По построению гомоморфизма ψ ρ (см.

доказанное выше условие 6 теоремы) и условию l(r) =k(r), имеем ψ ρ (h0j )(r) = r, 1 ≤ j ≤ S 0 . По доказанному в предыдущем пункте, множество элементовψ ρ (hi )(q) ∈ {q, kl(q)}, 1 ≤ i ≤ S, совпадает с {q, kl(q)}. По условию 3 настоящего утверждения,элементы q, kl(q), r порождают группу H. Это дает требуемое свойство 4 теоремы.2) Как показано в доказательстве условия 4, ψ ρ (hi )(q) ∈ {q, kl(q)}, ψ ρ (h0j )(r) = r. Если kl = idH ,то!  S0ÃS2g2gPS 0YYYPS0 Y0cνt t = q i=1 µi r j=1 µjψ ρ (hi )(q µi ) ψ ρ (h0j )(rµj )cνt t = 1 ∈ H.j=1i=1t=1t=1по условию 2 настоящего утверждения и потому, что ψ ρ — гомоморфизм. Условие 2 теоремы дляориентируемого атома является частным случаем этого условия по замечанию 5.9.Если kl 6= idH , то по условию 4 атом допускает альтернирующую ориентацию.Пусть Y ориентируем.

Тогда он двудолен по замечанию 2.4, следовательно число его белыхклеток S четно, и альтернирующая ориентация на половине из них (ei , i ∈ Λ, #Λ = S/2) совпадаетс глобальной, а на половине (ej , j ∈ Λ0 ) отличается. Следовательно, ψ ρ (hi )(q) = q при i ∈ Λ и kl(q)при i ∈ Λ0 ,ÃS!  S02gYYY00cνt t = rS q S/2 (kl(q))S/2 = 1 ∈ Hψ ρ (hi )(q µi ) ψ ρ (h0j )(rµj )i=1t=1j=1по условию 2 настоящего утверждения.Если атом неориентируем, то можно считать, что на нем задана альтернирующая ориентация,тогда симметрии h1 , . .

. , hS , h01 , . . . , h0S 0 сохраняют эту ориентацию. Тогда ψ ρ (hi )(q) = (kl)n (q) = qпо доказанному выше условию 6 и потому, что симметрия kl меняет альтернирующую ориентацию,и условие 2 теоремы выполняется аналогично случаю kl = idH . I6Примитивные атомы. Отображение примитивизации.Пусть X — максимально симметричный атом. Фиксируем некоторый тип клеток, для определенности белый.Определение 6.1. Максимально симметричный ориентированный атом X назовем примитивным, если выполнено одно из двух условий:1.

атом содержит не менее двух белых клеток, и любые две его различных белых клетки имеютне более одной общей вершины;2. в атоме есть лишь одна белая клетка, и атом неприводим (см. определение 4.5).18Атом называется ориентируемо примитивным, если в нем лишь одна белая клетка и атомориентируемо неприводим.Пример 6.2. Все сферические атомы, отвечающие платоновым телам, а также атомы C1 , D1 иDn при n > 2 примитивны; атомы C2 = D2 и Cn при n > 2 непримитивны.

Среди них нет атомовс одной белой клеткой кроме C1 , потому понятие приводимости для них совпадает с понятиемориентируемой приводимости.Пример 6.3. На проективной плоскости примитивны следующие атомы:• C̃1 = D̃1 — в них ровно одна белая и одна черная клетка и они неприводимы;• D̃n при n > 2 — в них n двуугольных клеток, любые две имеют не более одной общейвершины;• P̃i , i = 3, 4, 5.Остальные атомы непримитивны:• C̃n при n > 1 — в них одна белая клетка и они все приводимы над C̃1 ;• D̃2 — в ней две белые клетки, имеющие две общие вершины;• P̃2 — проекция усеченного куба имеет три белых четырехугольника, любые два из которыхимеют общую вершину.Следующие рассуждения повторяют аналогичные рассуждения для ориентируемых симметрий.Пусть атом X не является примитивным и содержит не менее двух белых клеток.

В силумаксимальной симметричности любые две смежные белые клетки X имеют k > 1 общих вершин.Возьмем некоторую белую клетку — d-угольник e ⊂ X и пусть a = xy ∈ Aut(X) — вращение клеткиe. Занумеруем вершины клетки e в циклическом порядке: A0 , . . . , Ad−1 , тогда a(Ai ) = Ai+1 . Пустьei — белая клетка, примыкающая к клетке e в i-ой вершине. e0 = eq для некоторого 0 < q ≤ d − 1— можно считать, что q — наименьший положительный период, и d = kq. В силу симметричности,ei = ei+q для всех i.Рассмотрим преобразование aq ∈ Aut(X). Так как aq (e) = e и aq (ei ) = ei , то aq есть вращение клетки ei : aq = (aqi )li , где ai = xi yi ∈ Aut(X) — вращение клетки ei .

Порядок элемента aqравен k, следовательно li взаимно просто с k. Из-за симметричности l0 ≡ . . . ≡ lq−1 ≡ l (mod k).Аналогично, aqi = (aq )l , откуда l2 ≡ 1 (mod k).Заметим, что равенство (a0 )q = (a00 )ql выполнено для любых двух смежных белых клеток e0 и00e . Поскольку X связно, рассуждая по индукции, мы получаем, что (a0 )q = aq либо (a0 )q = aql длялюбой клетки e0 ⊂ X.Рассмотрим циклическую подгруппу H = haq i ⊂ Aut(X).

Пусть g ∈ Aut(X) и g(e) = e0 . Тогдаgag −1 = a0 и gaq g −1 = (a0 )q , что равно aq либо (aq )l . Следовательно, gHg −1 = H, т.е. H — нормальная подгруппа. Так как элементы подгруппы H действуют как вращения на каждой белой клеткеи поэтому не оставляют никакую вершину неподвижной, то H действует свободно на вершинах.Таким образом, мы можем рассмотреть симметричное накрытиеpX : X → X/H.Для любого разложения k = k1 k2 , где k1 , k2 ∈ N, рассмотрим циклическую подгруппу H1 =hak2 q i ⊂ H порядка k1 .

Аналогично рассуждению выше получаем, что подгруппа H1 нормальна вAut(X). Следовательно, мы можем рассмотреть симметричное накрытие pX, k1 : X → X/H1 .19Определение 6.4. Назовем накрытие X → Y отображением примитивизации, если оно является композицией накрытия pX и изоморфизма X/H → Y , а атом Xprim = Y назовем примитивизацией атома X. Назовем накрытие X → Y отображением типа примитивизации, еслионо является композицией накрытия pX, k1 и изоморфизма X/H1 → Y .Отображение примитивизации называется ориентируемым, если оно является композициейориентируемого накрытия и ориентируемого изоморфизма.Пример 6.5.

Примитивизациями сферических непримитивных атомов (см. пример 6.2) будутследующие атомы: (B2 )prim = (C2 )prim = (D2 )prim = (Cn )prim = B1 = C1 при n > 2;Пример 6.6. Примитивизациями непримитивных атомов на проективной плоскости (см. пример6.3) будут следующие атомы:• C̃1 = (C̃n )prim = (D̃2 )prim при n > 2;• D̃3 = (P̃2 )prim .Следующие утверждения полностью повторяют сооветствующие утверждения для ориентируемых примитивизаций и приведены без изменений; их доказательства приводиться не будут.Утверждение 6.7. Пусть X — максимально симметричный атом, содержащий не менее двухбелых клеток. Тогда1. Xprim — примитивный максимально симметричный атом;2.

если f : X → Y — симметричное накрытие и Y примитивен, то существует единственноенакрытие f¯: Xprim → Y , такое что f = f¯ ◦ pX ;3. накрытие f : X → Y является отображением примитивизации тогда и только тогда, когда fявляется отображением типа примитивизации и Y примитивен.Следствие 6.8. Максимально симметричные атомы X и Y , содержащие не менее двух белыхклеток, изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны атомы Xprim и Yprim и изоморфныотображения примитивизации pX и pY .Утверждение 6.9.

Пусть X — примитивный максимально симметричный атом. Тогда1. любые его белая и черная клетки имеют не более одного общего ребра;2. если две белые клетки e1 , e2 ⊂ X являются смежными и инвариантны при некоторой симметрии g ∈ Aut(X), т.е. g(e1 ) = e1 и g(e2 ) = e2 , то g = idX .7ЗаключениеДанная работа не исчерпывает тему классификации максимально симметричных атомов в неориентируемом случае. Открытыми остаются вопросы классификации атомов с данной примитивизацией и отыскания примитивных атомов; описание максимально симметричных атомов в частныхслучаях.Тем не менее начало исследований в этой области положено — введены необходимые определения и доказаны базовые факты, касающиеся накрытий максимально симметричных атомов,описаны основные отличия неориентируемых симметрий от ориентируемых и пути их решения.20Список литературы[1] Е. А.

Кудрявцева, И. М. Никонов, А. Т. Фоменко, Максимально симметричные клеточныеразбиения поверхностей и их накрытия, Матем. сб., 199:9 (2008)[2] Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1,2. Ижевск, Изд.дом “Удмуртский университет”, 1999.[3] H.R. Brahana, Regular maps and their groups. Amer. J. Math. 49 (1927[4] M.D.E. Conder, P.

Dobcsányi, Determination of all regular maps of small genus, J. Combinat.Theory, Ser. B, 81 (2001),[5] H.S.M. Coxeter, Self-dual configurations and regular graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950),413–455.[6] Коровина Н.В., Максимально симметричные бифуркации функций Морса на двумерных поверхностях, Вестник МГУ, Серия матем., 1998.[7] J. Širáň, Regular maps on a given surface, in: Topics in discrete mathematics, 591–609, AlgorithmsCombin. 26 (2006), Springer, Berlin.21.