Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИМ.В.ЛОМОНОСОВАМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ПРИЛОЖЕНИЙДИПЛОМНАЯ РАБОТАстудентки 505 группы Пономаренко Юлии ИгоревныМАКСИМАЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЕ РАЗБИЕНИЯПОВЕРХНОСТИ. НЕОРИЕНТИРУЕМЫЙ СЛУЧАЙНаучный руководитель - академик РАН Фоменко А.Т.1Введение.В сентябре 2008 года в “Математическом сборнике” была опубликована статья Кудрявцевой Е.А.,Никонова И.М., Фоменко А.Т.

“Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей иих накрытия” [1]. Эта фундаментальная работа посвящена описанию классификации ориентируемых атомов на двумерных поверхностях.Атом - понятие, возникающее в классификации функций Морса на двумерных многообразиях и описаниях симметрий интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы;однако у него существуют естественные описания на языке теории групп, графов, теории узлови других разделов математики. В частности, атомы взаимно однозначно соответствуют клеточным разбиениям поверхности, а максимально симметричные атомы — правильным разбиениям, иследовательно их классификация даст естественную классификацию разбиений.Статья [1] не затрагивает описания неориентируемых атомов, а также отображений ориентируемых атомов, не сохраняющих ориентацию.

В своей работе я рассмотрела некоторые утвержденияэтой статьи, проверила их выполнимость либо переформулировала и передоказала так, чтобы онибыли верны для неориентируемого случая. Большая часть определений расширена; некоторые переопределены — в основном это касается отображений. Например, в [1] накрытием называетсяотображение, сохраняющее ориентацию. Для удобства употребления я называю эти отображенияориентируемыми накрытиями и распространяю понятие накрытия на отображения, не сохраняющие ориентацию.

Все отличия оговариваются в каждом случае.В работе я буду часто ссылаться на [1]. Всюду, где говорится об аналогичных утвержденияхдля ориентирумых симметрий, подразумеваются утверждения, приведенные в этой статье. Доказательства, дословно повторяющие доказательства в [1], будут опущены.2Понятие атома.Рассмотрим двумерное гладкое компактное замкнутое многообразие без края M и некоторуюфункцию Морса f : M → R. Пусть x ∈ M — критическая точка этой функции. Назовем c = f (x)критическим значением функции f , а полный прообраз f −1 (c) ⊂ M — критическим уровнем(или слоем) функции f на многообразии M .Заметим, что полный прообраз любого регулярного значения является объединением непересекающихся окружностей, то есть устроен очень просто.

Таким образом, изучение функции Морсасводится к изучению ее поведения в окрестности критических уровней.Функции Морса мы рассматриваем с точностью до гладкой замены координат в образе и прообразе.Пусть c — некоторое критическое значение, а ε — достаточно маленькое число, такое, что наинтервале (c − ε, c + ε) нет других критических значений (так как функция морсовская, такое εвсегда существует).Рассмотрим полный прообраз f −1 (c − ε, c + ε), а точнее некоторую его компоненту связности P .Это гладкое компактное двумерное многообразие с краем, распадающимся на непересекающиесяокружности, в которое вложен граф Γ = f −1 (c) ∩ P , обладающее следующими свойствами:• граф Γ связен и либо состоит ровно из одной вершины, либо все вершины имеют степень 4;• при выбрасывании графа из P многообразие распадается на кольца;• кольца можно разбить на черные и белые так, чтобы к каждому ребру графа подходило одночерное и одно белое кольцо.Определение 2.1.

Пара X = (P, Γ)# с фиксированной раскраской, удовлетворяющая этим свойствам, называется атомом. Атомы мы также рассматриваем с точностью до диффеоморфизмов,сохраняющих граф, раскраску и, возможно, ориентацию (см. ниже).1В дальнейшем мы будем рассматривать только седловые атомы, т.е. те, у которых степеньвсех вершин равна 4, не оговаривая этого особо.Каждую из граничных окружностей атома X можно заклеить диском, раскрасив его в соответствующий цвет, и мы получим эквивалентное определение атома как поверхности без края X̃, привыбрасывании графа распадающейся на черные и белые диски — клетки (если атом понимаетсякак поверхность с краем, проколотые диски мы также будем называть клетками). Две клетки одного цвета, имеющие общую вершину A, будем называть смежными по этой вершине; две клеткиразных цветов, имеющие общее ребро, будем называть смежными по этому ребру.

Атом называется ориентируемым, если ориентируема соответствующая поверхность; родом атома называетсярод этой поверхности. В данной работе род атома будет удобно вычислять по формуле g = 2 − χ/2,т.е. считать род неориентируемого атома целым или полуцелым.Ориентируемый атом, на котором введена некоторая ориентация, рассматриваемый с точностью до диффеоморфизмов, сохраняющих эту ориентацию, будем называть ориентированным;атом, на каждой клетке которого введена некоторая ориентация (необязательно согласованная сориентациями на других клетках), рассматриваемый с точностью до диффеоморфизмов, сохраняющих эту ориентацию, будем называть локально ориентированным.В дальнейшем мы будем считать, что на любом ориентируемом атоме введена некоторая ориентация, а на любом неориентируемом — некоторая локальная ориентация на каждой клетке.Атом называется простым, если его критический слой содержит ровно одну критическуюточку, и сложным, если больше.

Сложностью атома называется количество его критическихточек (вершин графа).Атомом, двойственным к данному атому X называется атом, полученный из него заменойнаправления роста функции, или, что то же самое, с противоположной раскраской.Определение 2.2. Атом называется двудольным, если существует такое разбиение множестваего белых клеток на два подмножества, что любые две смежные белые клетки принадлежат разнымподмножествам.Определение 2.3. Атом называется двудольно ориентируемым, или допускающим двудольную (альтернирующую) ориентацию, если существует такой набор ориентаций белыхклеток, что на любых двух смежных клетках ориентации не согласованы. Атом, на котором введена некоторая альтернирующая ориентация, будем называть двудольно ориентированным.Замечание 2.4.

Для ориентируемых атомов понятие двудольности совпадает с понятием двудольной ориентируемости. Для неориентируемых атомов это неверно - атом P̃2 на проективнойплоскости не двудолен, так как все его белые клетки попарно смежны, но двудольно ориентируем.Однако на любом двудольно ориентируемом атоме существуют ровно две альтернирующие ориентации белых клеток, причем они получаются друг из друга заменой ориентации на всех белыхклетках одновременно.Дадим еще одно определение.Определение 2.5. Многогранником называется гладкое двумерное компактное многообразиебез края с заданным на нем произвольным клеточным разбиением, содержащим хотя бы одноребро.Опишем процедуру построения многогранника по атому, приведенную в [2].

На атоме задан“старый” граф. Отметим центры белых клеток — это будут вершины нового графа — и соединимих с вершинами клетки — это будут полуребра новых ребер. Теперь новые вершины соединеныребрами, проходящими через старые вершины. Если некоторая клетка подходит к вершине A двараза, в новом графе соответствующей ей вершине будет инцидентна петля, проходящая черезA. Сложностью многогранника для достижения единообразия обозначений назовем количестворебер разбиения.2Обратно, построим атом по многограннику. Отметим середину каждого ребра — это будутновые вершины — и соединим середины соседних по грани ребер — это будут новые ребра.

Осталосьраскрасить новые клетки, полностью лежащие внутри старых граней, в черный, а содержащиестарые вершины — в белый цвет. Эта операция называется усечением.Построенные операции взаимно обратны и задают биекцию между вершинами, белыми и черными клетками атома и ребрами, вершинами и гранями многогранника. Двойственные атомысоответствуют двойственным разбиениям. Следовательно, между седловыми атомами и многогранниками существует естественная биекция.3Накрытия атомовОпределение 3.1. Если атом рассматривается как поверхность с краем, то накрытием атомаY = (P2 , Γ2 )# атомом X = (P1 , Γ1 )# называется накрытие поверхностей π : P1 → P2 , переводящееграф Γ1 в граф Γ2 и сохраняющее цвета колец. Кроме того, ориентированным накрытием будем называть накрытие ориентированных атомов, сохраняющее ориентацию, а отражающим —меняющее ее.Для атома как поверхности без края под накрытием понимается разветвленное накрытиеповерхностей π : P̃1 → P̃2 с ветвлениями в центрах двумерных клеток, переводящее граф в граф исохраняющее цвета клеток.Накрытия мы будем рассматривать с точностью до гомотопии в классе клеточных (разветвленных) накрытий, переводящих граф в граф, т.е.

под накрытием будем понимать класс гомотопической эквивалентности накрытий.Утверждение 3.2. Пусть Y — атом, X — связное топологическое пространство, и f : X → Y— конечнолистное разветвленное накрытие, точки ветвления которого находятся в центрах клеток атома Y . Тогда на X существует единственная структура атома, для которой f : X → Y —накрытие.Если Y — ориентируемый атом, то накрывающий его атом X также будет ориентируем, поскольку ориентацию можно поднять на каждой клетке, и при этом на соседних клетках они будутсогласованы. Однако если на X задать обратную ориентацию, то само накрытие ориентируемымне будет.Каждое неориентируемое многообразие рода k можно получить факторизацией ориентируемого многообразия рода 2(k − 1) по инволюции без неподвижных точек, меняющей ориентациюатома.