Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай, страница 3

Изоморфизмом накрытийf1 : X1 → Y и f2 : X2 → Y называется такой гомеоморфизм h : X1 → X2 , что f1 = f2 ◦ h. Автоморфизмом накрытия f называется его изоморфизм с самим собой. Для регулярного накрытияf выполнено π = ker ρ, и монодромия при обходе вдоль любой петли (однозначно) продолжаетсядо автоморфизма накрытия, а потому группа монодромии допускает естественные изоморфизмыH ' Aut(f ) ' π1 (Y, y0 )/π, где Aut(f ) – группа автоморфизмов накрытия f , называемая в этомслучае группой регулярного накрытия f .Замечание 4.2. Два накрытия f1 : X1 → Y и f2 : X2 → Y изоморфны тогда и только тогда,когда отвечающие им подгруппы π1 , π2 ⊂ π1 (Y, y0 ) сопряжены.

Поэтому для регулярных накрытийf1 : X1 → Y и f2 : X2 → Y следующие утверждения равносильны:• накрытия f1 и f2 изоморфны;• накрытия f1 и f2 отвечают одной и той же подгруппе π1 = π2 ⊂ π1 (Y, y0 );• соответствующие эпиморфизмы монодромии ρi : π1 (Y, y0 ) → Hi , i = 1, 2, изоморфны, т.е.существует изоморфизм λ : H1 → H2 , такой что λρ1 = ρ2 .Следующее утверждение практически дословно повторяет аналогичное утверждение для ориентируемых симметрий. Доказательства пунктов 4, 5, 6, 7, 8 сохраняются при замене ребер наполуребра и в остальном приведены без изменений.Утверждение 4.3. Пусть X — атом (как поверхность с краем) и G = Aut(X) — группа егосимметрий. Пусть H ⊂ G — подгруппа, свободно действующая на вершинах и ребрах атома X.При указанных выше условиях справедливы следующие утверждения:61. Факторпространство Y = X/H имеет единственную структуру атома, для которой проекцияf : X → Y является накрытием.J Подгруппа H свободно действует на множестве вершин и ребер X, следовательно она свободно действует на всем X.

Тогда на Y имеется граф, являющийся образом одномерногографа Γ(X) при проекции f , а дополнение к этому графу распадается на проколотые двумерные клетки, на которых индуцирована раскраска. Это и задает структуру атома на Y .То, что f является накрытием, следует из построения структуры атома на Y .Более того, если атом X ориентируем, то атом Y ориентируем тогда и только тогда, когдаH не содержит отражающих симметрий. В этом случае в одном смежном классе [g] = gH ∈X/H все симметрии будут либо сохранять, либо обращать ориентацию, и ее можно будетиндуцировать на Y . I2. Проекция f является регулярным накрытием X → Y , и ее группа монодромии изоморфнаH.J Из того, что группа H свободно действует на X, следует, что проекция f является регулярным накрытием и что H изоморфна группе монодромии этого накрытия. I3.

Если H C G — нормальная подгруппа, то имеется мономорфизм G/H ,→ Aut(Y ).J Когда подгруппа H нормальна, любая симметрия g ∈ G = Aut(X) определяет корректноеотображение ḡ : X/H → X/H по формуле ḡ(Hx) = Hg(x), x ∈ X. Отображение ḡ является симметрией атома Y . Поэтому задан гомоморфизм групп G → Aut(Y ), ядром которогоявляется подгруппа H. Значит, имеется мономорфизм G/H ,→ Aut(Y ). I4. Если X является максимально симметричным, то H C G тогда и только тогда, когда Yявляется максимально симметричным.J Пусть X максимально симметричен и H C G.

G действует транзитивно на множествеполуребер атома X, а потому образ мономорфизма G/H ,→ Aut(Y ) действует транзитивнона множестве полуребер атома Y . Значит, атом Y максимально симметричен.Пусть X и Y — максимально симметричные атомы. Пусть g ∈ Aut(X) и e — полуребро в X.Тогда f (e) и f (g(e)) — полуребра в Y . Так как Y максимально симметричен, то существуетединственная симметрия ḡe ∈ Aut(Y ), такая что ḡe (f (e)) = f (g(e)). Имеет место равенствонакрытий ḡe ◦ f = f ◦ g. Поскольку f сюръективно, то накрытие ḡe не зависит от выбораполуребра e, обозначим его как ḡ.

Пусть g ∈ G и h ∈ H, покажем, что g ◦ h ◦ g −1 ∈ H. Дляэтого достаточно проверить, что f ◦ g ◦ h ◦ g −1 = f . В самом деле,f ◦ g ◦ h ◦ g −1 = ḡ ◦ f ◦ h ◦ g −1 = ḡ ◦ f ◦ g −1 = ḡ ◦ g −1 ◦ f = ḡ ◦ ḡ −1 ◦ f = f.Таким образом, H — нормальная подгруппа G. I5. Если X и Y являются максимально симметричными атомами, то Aut(Y ) ' G/H.J По предыдущему пункту H C G, а по пункту 3 имеется мономорфизм G/H ,→ Aut(Y ).Группа G транзитивно действует на полуребрах атома X, значит действие G/H на Y , индуцированное действием G на X, также транзитивно на полуребрах атома Y .

Поэтому мономорфизм G/H ,→ Aut(Y ) является эпиморфизмом. I6. Если X максимально симметричен, то любое накрытие f 0 : X → Y 0 является регулярным,причем его группой накрытия является некоторая подгруппа H 0 ⊂ G, свободно действующаяна вершинах и ребрах X.J Определим подмножество симметрий H 0 = {h ∈ Aut(X) | f 0 ◦ h = f 0 }. Тогда H 0 являетсяподгруппой в G: если f 0 ◦h1 = f 0 и f 0 ◦h2 = f 0 , то f 0 ◦h1 ◦h2 = f 0 ◦h2 = f 0 . Группа H 0 свободно7действует на множестве вершин и ребер атома X, так как f 0 не имеет ветвлений в вершинахи центрах ребер атома.

Пусть e — полуребро атома Y 0 . Группа H 0 транзитивно действуетна множестве полуребер атома X, проектирующихся на e при накрытии f 0 , поскольку длялюбой пары полуребер e0 , e00 атома X, таких что f 0 (e0 ) = f 0 (e00 ) = e, имеется единственнаясимметрия h ∈ Aut(X), переводящая e0 в e00 , а значит f 0 ◦ h(e0 ) = f 0 (e0 ) = e, следовательно,f 0 ◦ h = f 0 по утверждению 3.4, т.е. h ∈ H 0 .

I7. Если Y — максимально симметричный атом, то для любых двух накрытий f1 , f2 : X → Yсуществует единственная симметрия g ∈ Aut(Y ), такая что f2 = g ◦ f1 .J Пусть e — некоторое полуребро атома X. Так как атом Y максимально симметричен,существует симметрия g ∈ Aut(Y ), переводящая полуребро f1 (e) в полуребро f2 (e), т.е.f2 (e) = g ◦ f1 (e). Тогда f2 = g ◦ f1 по утверждению 3.4. Симметрия g единственна, таккак f1 сюръективно. I8. Если H C G — нормальна, то X максимально симметричен тогда и только тогда, когда Yмаксимально симметричен и Aut(Y ) ' G/H.J Необходимость следует из пунктов 4 и 5.

Докажем достаточность. Пусть атом Y максимально симметричен, H C G и G/H = Aut(Y ). Покажем, что атом X максимально симметричен. Пусть e1 , e2 — два полуребра атома X. В силу максимальной симметричности атома Yсуществует симметрия ḡ ∈ Aut(Y ), переводящая полуребро f (e1 ) в полуребро f (e2 ). В группесимметрий G найдется элемент g, отображающийся в ḡ при проекции G → G/H = Aut(Y ),т.е. удовлетворяющий соотношению f ◦g = ḡ ◦f . Симметрия g переводит полуребро e1 в полуребро e02 , при этом f (e02 ) = f (g(e1 )) = ḡ(f (e1 )) = f (e2 ), т.е. полуребра e2 и e02 проектируются водно полуребро атома Y . Так как накрытие f регулярно по пункту 2, существует симметрияh ∈ H, такая что h(e02 ) = e2 . Тогда симметрия h ◦ g переводит полуребро e1 в полуребро e2 .Таким образом, группа G транзитивно действует на множестве полуребер атома X, и атомX максимально симметричен.

IЗамечание 4.4. Для атома как поверхности без края утверждение 4.3 также верно, а в доказательствах пунктов 1 и 2 вместо X и Y надо рассматривать X0 , получаемый из X выкалываниемцентров клеток, и Y0 = X0 /H.Рассмотрим некоторый центральный максимально симметричный атом X. По пунктам 1 и 4утверждения 4.3 факторпростанство Y = X/H, где H — подгруппа, порожденная центральнойсимметрией, является неориентируемым максимально симметричным атомом, причем атом X является его оберткой. Наоборот, по пункту 8 для любого максимально симметричного неориентируемого атома Y его обертка X также является максимально симметричной.Определение 4.5. Максимально симметричный атом X называется приводимым, если существует максимально симметричный атом Y и накрытие X → Y , не являющееся изоморфизмом.Ориентируемый атом X называется ориентируемо приводимым, если Y ориентируем.5Симметричные накрытияПусть X — максимально симметричный атом и H C Aut(X) — нормальная подгруппа, свободнодействующая на вершинах и ребрах атома X.

Это равносильно тому, что подгруппа H нормальна ине содержит полуоборот xy и отражение z. Тогда X/H тоже является максимально симметричныматомом по пункту 4 утверждения 4.3.Определение 5.1. Пусть Y — атом. Накрытие f : X → Y , являющееся композицией проекцииX → X/H и любого изоморфизма атомов X/H → Y , назовем симметричным накрытием.8Если атомы и накрытие являются ориентируемыми, и изоморфизм сохраняет ориентацию, либои накрытие, и изоморфизм меняют ориентацию, то симметричное накрытие также называетсяориентируемым.Симметричные накрытия регулярны по пункту 6 утверждения 4.3.Утверждение 5.2. Если X и Y — максимально симметричные атомы, то:1. любое накрытие f : X → Y является симметричным;2.

если f1 , f2 : X → Y — накрытия, то существует g = Aut(Y ), такой что f2 = g ◦ f1J Это непосредственно следует из пунктов 4, 6 и 7 утверждения 4.3. IОтсюда следует, что накрытия максимально симметричных атомов в точности являются симметричными накрытиями.Утверждение 5.3. (Единственность симметричного накрытия). Пусть f1 : X1 → Y и f2 : X2 → Y— симметричные накрытия и атомы X1 и X2 изоморфны. Тогда накрытия f1 и f2 изоморфны, т.е.существует изоморфизм g : X1 → X2 , такой что f1 = f2 ◦ g.J Пусть g0 : X1 → X2 — изоморфизм атомов X1 и X2 .

Фиксируем некоторое полуребро e атомаX1 . Положим e0 = g0 (e) и пусть полуребро e00 атома X2 проектируется в полуребро f1 (e) при отображении f2 . Так как атом X2 максимально симметричен, существует h ∈ Aut(X2 ), переводящееполуребро e0 в полуребро e00 . Композиция g = h ◦ g0 является изоморфизмом атомов X1 и X2 , приэтом f2 ◦ g(e) = f2 (e00 ) = f1 (e), откуда в силу утверждения 3.4 f1 = f2 ◦ g. IУтверждение 5.4.

Пусть Y — максимально симметричный атом, X — связное топологическоепространство и f : X → Y — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующим условиям:1. f — конечнолистное разветвленное накрытие, точки ветвления которого находятся в центрахклеток атома Y ;2. разветвленное накрытие f регулярно;3. (свойство эквивариантности f ) для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ) (здесь x, y, z —образующие группы Aut(Y ) симметрий атома Y ), а значит, для любого g ∈ Aut(Y ), существует непрерывное отображение g̃ : X → X, такое что f ◦ g̃ = g ◦ f .Тогда атом X максимально симметричен, а f — симметричное накрытие.Как само утверждение, так и доказательство повторяют аналогичное утверждение и его доказательство для ориентируемых симметрий, приведенные в [1], с заменой стандартных образующихв группе автоморфизмов на неориентируемые.Дальнейшие определения вводятся абсолютно аналогично случаю ориентируемых симметрийв [1].