Упрощенные уравнения движения ЛА, страница 2

Разделение движения на продольное и боковое.2. Разделение на движение ЦМ (траекторное, поступательное) и вокругЦМ (угловое или вращательное).3. Разделение движения на быстрое и медленное.4. Разделение движения на опорное (невозмущенное) и возмущенное (слинеаризацией последнего).Для упрощенных уравнений предполагается отсутствие ветра, поэтомувезде далее V  Vk .7Уравнения продольного движения, или движения в вертикальнойплоскостиПродольным называется движение, которое происходит в одной и тойже вертикальной плоскости, причем плоскость симметрии ЛА совпадает сэтой вертикальной плоскостью. Другими словами, при продольном движении  0  const ,   const  0 ,   0 ,    a  0 .При этом из соответствующих уравнений пространственного движенияЛА следует:&   R ya sin  a  R za cos  a при   const и   0 );R za  0 (из amV cos 1& ( y cos   z sin  ) при   const и   0 );y  0 (из cos sin (y cos   z sin  ) при   const ,   0 и y  0 );x  0 (из &  x cos & y  J z  J x  z x  M Fy / J y при x  0 и y  0 );M Fy  0 (из & x  J y  J z   y z  M Fx / J x при x  0 и y  0 ),M Fx  0 (из а оставшиеся уравнения приобретают вид&  V sin  , z&   V cos  sin  ,x& g  V cos  cos 0 ,Hg0&  R xa  g sin  , &  R ya  g cos  ,VmmV V&  z ,& z  M Fz / J z ,   .Последнее равенство следует из дифференциального уравнения для угла атаки,FyaR ya g&  & , с учетомкоторое в этом случае принимает вид &  z  z  cos   mVmV Vтого, что при   0 направления скорости и продольной оси ЛА совпадают, т.е.

   . Егоможно получить и из конечного соотношения для того же угла, которое для продольного sin  cos   cos  sin  sin(   )движения упрощается до    arctg  arctg  .cos  cos   sin  sin cos(   )Как правило, нормальную СК выбирают так, чтобы 0  0 . Так как дляпродольного движения вектор тяги должен лежать в плоскости симметрии, Px   P cos  T   то его обычно представляют в виде P   Py    P sin  T  , где T - угол тяги.0  0   ПоэтомуPxa  P cos  T cos   P sin  T sin   P cos(    T ) ,Pya  P cos  T sin   P sin  T cos   P sin(    T )Кроме того, должен отсутствовать (быть пренебрежимо малым)гироскопический момент, т.е.

M Fz  M Rz  M z  M Pz .В результате система уравнений продольного движения приобретает видx&  V cos  ,&  V sin  ,H8&   X a  P cos(    T )  g sin  ,VmYPsin(  T ) g cos  ,&  amVV&   ,&z  M Rz / J z ,z  .Уравнения углового продольного движения в этой системе зависят отостальных переменных лишь через момент тангажа MRz = MRz(,V,H,…).Если скорость изменения параметров движения центра масс H, V,  заметноменьше чем параметров углового движения z, , , то уравнениявращательного движения, можно рассматривать отдельно от остальныхуравнений системы при фиксированных значениях H, V, .

В этом случаеугловое движение принято называть быстрым, или короткопериодическим,а движение центра масс - медленным, или длиннопериодическим. Такоеразделение движений имеет место для многих типов ЛА. Основанием дляэтого является то, что силы, обеспечивающие изменение скорости ЛА, вомногом определяются угловым положением аппарата.При этих же условиях можно отдельно рассматривать и уравненияпродольного движения центра масс (первые четыре).

Правда, корректнымтакое рассмотрение будет лишь при установившихся (сбалансированных)режимах полета, когда параметры углового движения остаютсяпостоянными. Условием этого является равенство нулю тангажного момента,т.е. уравнения продольного движения ЦМ надо решать совместно суравнением MRz(,V,H,…) = 0, которое называется уравнением, илиусловием балансировки. Получающиеся из этого уравнения значения углаатаки называются балансировочными углами атаки. Очевидно, что вусловиях реального полета под действием возмущений угол атаки будет всевремя меняться, поэтому рассматриваемое разделение предполагаетидеальнуюработусистемыстабилизацииугловогодвижения,поддерживающей значение угла атаки равным балансировочному. Такаяидеальная работа, предполагающая нулевую установившуюся ошибку ималое время переходных процессов (по сравнению с темпом измененияпараметров траекторного движения) с малыми перерегулированиями,возможна лишь при достаточно быстром угловом движении.Уравнения бокового движения.Так как силы и моменты, определяющие боковое движение, существеннозависят от , V и H, т.е.

параметров продольного движения, то в общемслучае рассматривать уравнения бокового движения изолированно отпродольного нельзя. Но если при движении ЛА величину скорости, высоту,углы атаки и тангажа можно считать постоянными (медленноменяющимися), т.е. Vconst, Hconst, 0=const, 0=const, а сам ЛА имеетплоскость аэродинамической, массовой и инерционной симметрии, то изобщей системы уравнений пространственного движения можно выделитьуравнения, описывающие параметры бокового движения. Учитывая, что9& 0,постоянства угла тангажа эквивалентноилиy sin   z cos   0 , то при   90z    y tg , и уравнения боковогодвижения примут видтребованиеz& g   V cos  0 sin  ,& R sin  a  R za cos  aR zk, или &   ya,mV cos mV cos  0y11(  y cos   z sin  ) (  y cos   y tg sin  ) ,cos 0cos 0cos  0 cos  y sin  0sin  0(  y cos    z sin  )   x ,&   x cos  0cos  0 cos & x  J y  J z   y z  M Fx  / J x  J z  J y  2y tg  M Fx / J x ,& & y  J z  J x   z  x  M Fy  / J y Jx J z   y  x tg  M Fy  / J y ,где угол скольжения, от которого зависит боковая сила, можно найти изсоотношения  arcsin(cos  cos 0 sin(    )  sin  sin 0 cos 0 cos(    )  sin  cos 0 sin 0 ) ,а скоростной угол крена –sin 0 cos  sin   cos  cos 0 sin  sin   sin  cos  0 cos ,cos  0sin 0 sin   cos  cos 0 cos . a  arccoscos  0 a  arcsinилиСтрого говоря, полученные уравнения не являются уравнениямиизолированного бокового движения, так как в них входят параметрыпродольного движения, которые, в свою очередь, меняются при боковомдвижении.Например, если ЛА совершал полет без крена с постоянными углами 0и 0 , то после поворота по крену на угол  подъемная сила Ya повернется наугол  a .

Это приведет не только к появлению горизонтальной «боковой»составляющей Yzk  Ya sin  a , но и к уменьшению составляющей Yyk  Ya cos  a ввертикальной плоскости. Из-за этого изменится угол наклона траектории, т.е.- перестанет быть равным 0 . Чтобы сохранить значение 0 , необходимоизменить величину подъемной силы, но для этого надо изменить угол атаки,из-за чего изменится угол тангажа, т.е. - перестанет быть равным 0 .Следует также учитывать, что при крене ЛА углы атаки и скольженияменяются из-за поворота плоскости симметрии ЛА относительно вектораскорости, т.е. – кинематически. Например, если ЛА совершает полет безскольжения с углом 0, и повернулся по крену на угол , то при этомпоявится угол скольжения, а угол атаки – изменится. Величины углов атаки и скольжения  после поворота можно найти по проекциям скорости на осисвязанной СК до и после поворота по крену, обозначив их соответственноVx 0 , Vy 0 , Vz 0  0 и Vx , Vy , Vz :10tg  VyVxVy 0 cos Vx 0 tg 0 cos  , sin  Vz Vy 0 sin  V sin  0 sin  sin  0 sin VVV(см.

рисунок, на котором справа показаны проекции скорости на плоскостьсимметрии до и после поворота на угол ). Для малых 0 эти соотношенияможно заменить на приближенные   0 cos,   0 sin.Vx =Vx0yy0 VcosVyz0VzzVx0VyV, Vy0Vy0VВсе эти изменения можно попытаться скомпенсировать управлением впродольном канале, создавая соответствующие моменты и силы, однако, этоне всегда возможно, а главное – вряд ли разумно.Поэтому пользоваться уравнениями бокового движения нужно оченьосмотрительно.Если полет происходит близко к горизонтальной плоскости, а углы атакипренебрежимо малы, т.е.

00, 00, 00, то уравнения бокового движенияприобретают видz& g   V sin  ,& ycos ,&   R zk , или &   R ya sin  a  R za cos  a ,mVmV&  x ,& x  J y  J z   y z  M Fx  / J x  J z  J y  2y tg  M Fx / J x ,& y  J z  J x  z x  M Fy  / J y  J x  J z  y x tg  M Fy  / J y ,  arcsin(cos  sin(    )) , a  arcsin(  cos  sin  sin   sin  cos  )  arcsin(sin  cos  ) ,или  a  arccos(cos  cos ) , т.е. cos  a  cos  .При таком движении& sin    cos    sin   / cos   Fya tg  Fzk tg & a   axa  xymVmVFyaFyaFyatg 0 x / cos  tg   & tg  & / cos  tg . y  / cos  mVcos  mVmV11При горизонтальном полете вертикальная составляющая суммарной силы равнанулю, однако, составляющая по оси ya вполне может оказаться не нулевойFya  Fyk cos  a  Fzk sin  a  Fzk sin  a . Поэтому более удобным в данном случаеоказывается соотношение sin  a  sin  cos  .Соотношения для угла скольжения и скоростного угла крена в этомслучае достаточно просто получить непосредственно.yyayg, ykПлоскость симметрииaxOazgxk, xaVk=VxgzkГоризонтальнаяплоскостьazazПлоскость углаУгол  a определяется из совпадения осей y и ya связанной и скоростнойСК при нулевом крене, т.е.

из того, что11cos  , откудаcos(  2   a )cos(  2   )sin  a  sin  cos  , а углы скольжения и атаки - из рассмотрения осей xg, xk, xa, xи проекции скоростной оси на плоскость симметрии: sin   sin(    ) cos  ,tg   tg(    ) sin  .Из этого же рассмотрения можно увидеть, что в этом случае достаточнопросто выражаются проекции на оси траекторной системы координат техсил, которые определены в связанной СК. В частности, для силы тяги,задаваемойобычнопроекцияминаосисвязаннойСК,Pzk   Px sin(    )  Py cos(    ) sin   Pz cos(    ) cos  , поэтому уравнение дляугла пути можно записать в виде&   R zk   Ya sin  a  Z a cos  a  Pzk mVmVYa sin  a  Z a cos  a  Px sin(    )  Py cos(    ) sin   Pz cos(    ) cos mV.И, наконец, если при тех же условиях ЛА движется без крена (спренебрежимо малым креном), то12z&   V sin  ,&   R za , или &   Z a  Px sin   Pz cos  ,mVmV&  y ,& y  M Fy / J y , .Разделение движения на угловое и траекторное (поступательное)В общей системе уравнений движение центра масс (траекторное, илипоступательное) и движение вокруг ЦМ (угловое) и описываютсяотдельными группами уравнений, но просто разделить эту систему на эти двегруппы в общем случае нельзя - в уравнения поступательного движениявходят углы , , , а также  и  (в аэродинамические силы), ааэродинамические моменты, определяющие движение вокруг ЦМ, зависят отV и H.

Разделение движений возможно лишь при некоторых упрощающихпредположениях или выполнении ряда упрощающих условий.Выделение уравнений углового движенияИз общих уравнений движения очевидно, что параметры углового движенияникак не зависят от переменных x и z. Если предположить, что параметрыуглового движения меняются гораздо быстрее, чем меняется высота и модульскорости полета, т.е.

Vconst, Hconst, то для углового движения общуюсистему можно рассматривать без первых четырех уравнений. Предположив(как это уже было сделано выше) отсутствие ветра, можно заменитьуравнения для изменений угла наклона траектории  и угла пути  , науравнения для изменений углов атаки  и скольжения  . Полученную врезультате систему&  z  ( x cos   y sin ) tg FyamV cos ,F&  x sin   y cos   za ,mV&  y sin   z cos  ,1( y cos   z sin  ) ,cos sin ( y cos   z sin  ) ,&  x cos & x  J y  J z   y z  M Fx / J x ,& & y  J z  J x  z x  M Fy / J y ,& z  J x  J y   x y  M Fz  / J zможно рассматривать как уравнения пространственного углового движения. Fxa   R xa  0   R xa   sin     gТак как  Fya    R ya   Da ( , ,  a )  mg    R ya   mg  cos  cos  a  ,F  R  0  R  cos  sin  a  za   za   za 13sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin   sin  cos  cos ,cos sin  sin   cos  cos  cos cos  a ,cos а sin  a то&   z  ( x cos    y sin  ) tg R yamV cos g (sin  sin   cos  cos  cos  ),V cos Rg&   x sin    y cos   za  (cos  sin  cos   sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin ) ,mV VЕсли пространственное маневрирование осуществляется с большимиперегрузками, то силой тяжести можно пренебречь по сравнению срезультирующей силой, и для рассмотрения углового движения достаточносистемы из пяти уравнений&   z  ( x cos    y sin  ) tg R yamV cos ,R&   x sin    y cos   za ,mV&x  J y  J z   y z  M Fx / J x ,& y  J z  J x  z x  M Fy / J y ,& z  J x  J y   x y  M Fz  / J z .Уравнения движения центра масс ЛАДвижение ЦМ ЛА, описываемое первыми шестью уравнениями общейсистемы, во многом определяется угловым движением ЛА аэродинамические силы существенно зависят от ориентации аппаратаотносительно воздушного потока, т.е.