Упрощенные уравнения движения ЛА

УПРОЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛАДля целей упрощения уравнения пространственногоаэродинамического ЛА удобно представить в следующей форме&  V sin  ,x& g  Vk cos  cos  ,Hz& g   Vk cos  sin  ,kFyk&  Fxk ,V,& kmVkm&  y sin   z cos  ,& движенияFzk,mVk cos 1( y cos   z sin  ) ,cos sin (y cos   z sin  ) ,&  x cos & x  J y  J z   y z  M Fx / J x ,& & y  J z  J x  z x  M Fy / J y ,& z  J x  J y   x y  M Fz  / J z ,Wxg  Vkx Wxg Vx Vk V  Vy   Dgсв Dgk  0   Dgсв Wyg   Vky   Dgсв Wyg  ,    Wzg   Vkz  Wzg  Vz  0 1VyVV  ( Vx2  Vy2  Vz2 ) 2 ,    arctg,   arcsin z .VxVПри этом ЛА рассматривается как твердое тело постоянной массы,движущееся относительно плоской и неподвижной Земли в стандартнойатмосфере, а оси связанной СК являются главными центральными осямиинерции.В этих уравнениях F и M F - суммарные сила и момент, действующие наЛА.

С учетом сделанных допущений действующие на ЛА силы - это силатяжести ЛА G  mg , тяга P , и результирующая аэродинамическая сила R a ,т.е.F  Ra  P  G  R  G ,составляющиеобычногдеRx  R  Ry R  z-естественнымрезультирующаяобразом  Xa соответственно в скоростной R a   Ya  , связанной Z  a  0 G    mg  0 сила.Этипредставляются Px  P   Py  и нормальнойP  zсистемах координат, поэтому используемые в уравненияхпроекции на оси траекторной системы Fxk   R xk    mg sin      Fyk    R yk     mg cos   F  R  0 zk   zk  1  Xa  Px   mg sin    gсв D ( , )D ( , ,  )D ( ,  ) Ya   D k ( , )Dg ( , ,  ) Py    mg cos   . Z P  0 a  z gkсвgaсвСуммарныймоментскладываетсяизрезультирующегоаэродинамического M , момента тяги M P (если вектор тяги не проходит черезцентр масс ЛА) и гироскопического M Г , причем в качестве последнего принеобходимости рассматриваются лишь гироскопический момент отвращающихся частей двигателей, который в проекциях на оси связанной СКимеет вид 0 M г  L дв   z  .

Здесь L дв   y - суммарный момент количествадвижения всех вращающихся частей двигателя, а ось вращения принимаетсяпараллельной продольной оси ЛА.Если можно пренебречь ветром, т.е. считать, что V  Vk , торассматриваемую систему уравнений можно заметно упростить.Предположение об отсутствии ветра существенно упрощает выражениядля проекций сил на оси траекторной СК, так как в этом случае оси ха и хkсовпадают и траекторная СК отличается от скоростной от лишь одним углом– скоростным углом крена а (чтобы избежать путаницы этот угол приотсутствии ветра часто обозначают с ,т.е., с - это а при W  0 ).Поэтому Fxk  Fxa , Fyk  Fya cos  a  Fza sin  a , Fzk  Fya sin  a  Fza cos  a , илиFxk  R xa  mg sin  , Fyk  R ya cos  a  R za sin  a  mg cos  , Fzk  R ya sin  a  R za cos  a  R zk ,где Fxa   R xa  0   R xa   sin     g Fya    R ya   Da ( , ,  a )  mg    R ya   mg  cos  cos  a  ,F  R  0  R  cos  sin  a  za   za   za  R xa    X a  Px   свg R ya    Ya   Da ( ,  ) Py  , Da ( , ,  a ) - матрица перехода от нормальной СКR   Z P  za   a  zк скоростной при  a  , a   , и уравнения динамики движения центра масспринимают видFya cos  a  Fza sin  aF sin  a  Fza cos  a, &   ya,& mVmV cos R cos  a  R za sin  a gR&   R ya sin  a  R za cos  a .или V&  xa  g sin  , &  ya cos  , mmVVmV cos &  Fxa ,VmПри отсутствии ветра можно также упростить соотношения длявычисления углов атаки и скольжения, от которых зависят аэродинамическиесилы и моменты:sin  cos  sin(    )  cos  sin  cos  cos(    )  cos  cos  sin ,cos  cos  cos(    )  sin  sin   arcsin(cos  cos  sin(    )  sin  sin  cos  cos(    )  sin  cos  sin ) .   arctg2Кроме того, можно получить уравнения, непосредственно описывающиеизменения углов атаки и скольжения:&  z  ( x cos   y sin ) tg FyamV cos ,F&  x sin   y cos   za .mVДве первых формулы получаются непосредственно из общих выраженийдля этих углов, если учесть, что при W  0Vx V  V   Dg D k  0  св g   y Vz  0 cos  cos sin  sin  cos  cos  cos    sin  sin   cos  cos  sin  cos  cos  sin  cos   cos  sin  sin   * V * sin  cos  sin   sin  cos  sin   sin  cos  cos  cos   sin  sin  sin    cos  sin  cos  cos  cos(   )  sin  sin  V *  sin  cos  sin(   )  cos  sin  cos  cos(   )  cos  cos  sin  , cos  cos  sin(    )  sin  sin  cos  cos(   )  sin  cos  sin  откуда следуют вышеприведенные формулы для углов атаки и скольжения.Уравнения для производных углов атаки и скольжения можно получить,исходя из того, что углы атаки и скольжения описывают поворот связаннойсистемы координат относительно скоростной.

Если угловую скоростьсвязанной СК относительноyayскоростной обозначить  , тов проекциях на оси скоростнойПлоскость симметрии ЛАСК'=yayazaxz'=z axa & sin     &  , & cos  а на оси & sin  связанной СК    & cos   , &   т.е. &   z , а &   ya .VОтносительноеугловоеперемещение этих системzaможнопредставитькакzразность вращений связаннойи скоростной систем координат относительно нормальной СК, т.е. в видеразности векторов     a , где  - угловая скорость связанной СКотносительно нормальной, а a – угловая скорость скоростной СКотносительно той же нормальной СК.

Отсюда, воспользовавшись матрицамиперехода от скоростной системы к связанной и обратно, можно получить&  z   axa sin    aza cos  , &  x sin   y cos    aya ,xa3где x , y , z , - проекции угловой скорости  связанной СК относительнонормальной на оси связанной СК, а axa ,  aya ,  aza – проекции угловойскорости a скоростной СК относительно нормальной в скоростной СК.Если предположить отсутствие ветра, т.е. совпадение земной ивоздушной скорости, то нужные проекции угловой скорости a можнополучить, составив уравнения динамики поступательного движения на осискоростной СК&  VFyaF, aya   za .m  V aza   Fa , или  aza mVmV V aya Следует заметить, что эти уравнения имеют смысл лишь при отсутствииветра, так как только в этом случае вектор V определяет движениескоростной СК относительно нормальной земной СК.Недостающую проекцию axa можно определить непосредственно изопределения скоростной СК, так как именно она соответствует поворотувокруг вектора скорости, обеспечивающему нахождение оси уа в плоскостисимметрии ЛА при любом угловом движении аппарата.

Очевидно, чтоусловие принадлежности оси уаплоскости симметрии ЛА будетвыполняться, если проекция axa на плоскость симметрии равна суммепроекций всех остальных угловых скоростей, «участвующих» вотносительном угловом движении скорости и плоскости симметрии(поворачивающих плоскость симметрии и меняющих направление скорости) axa cos   x cos   y sin     aza sin  , откуда axa  x cos   y sin  / cos  FyamVtg .Выполнив соответствующие преобразования,вышеприведенные выражения для & и & :можнополучить&  z   axa sin    aza cos   z  x cos   y sin  tg  z  ( x cos   y sin ) tg Fyatg sin  mVFyamV cos FyamVcos  ,F&  x sin   y cos    aya  x sin   y cos   za .mVДля определения угла а можно использовать равенство проекциискорости  axa и проекций скоростей изменения углов между скоростной инормальной СК& a sin a . axa  & a  Так как при отсутствии ветра  a  , a   , то4& sin    cos    sin  / cos   Fya tg  Fzk tg & a   axa  xymVmVFF sin  a  Fza cos  a x cos   y sin  / cos   ya tg  yatg mVmV1Fya ( tg  sin  a tg)  Fza cos  a tg . x cos   y sin  / cos  mVСледует отметить, что хотя при учете ветра полученные соотношения невыполняются, уравнения относительно производных углов атаки, скольжения искоростного крена могут быть получены и в этом случае.

Однако эти уравнения будутсвязывать указанные производные с остальными производными скоростных углов.Действительно, используя углы между скоростной и нормальной СК и записав всепроекции a на оси скоростной СК, получают следующую систему уравнений& a sin a ; axa  & a   aya  & a cos a cos  a  & a sin  a ;& a cos a sin  a  & a cos  a . aza   С другой стороны a     , т.е.  axa  x   & sin    cos  cos   sin  cos  sin   x   & sin       &  свcos 0  y    &    aya   D a  y        sin      & cos     cos  sin  sin  sin  cos      & cos   aza  z   z   x cos  cos    y sin  cos   z sin   & sin   x sin   y cos   &.   cos  sin    sin  sin    cos   & cos  xyzПоэтому& a  & a sin  a  x cos  cos   y sin  cos   z sin   & sin  ;& a cos  a cos  a  & a sin  a  x sin   y cos   & ; & a cos  a sin  a  & a cos  a    x cos  sin    y sin  sin   z cos   & cos  ,откуда1& a cos a sin  a  & a cos  a ;&  z  y sin   x cos  tg  cos & a cos a cos  a  & a sin  a ;&  y cos   x sin   & a  x cos   y sin  1& a cos a sin  a tg  sin a   & a cos  a tg .cos Действительно& a sin a & a  x cos  cos   y sin  cos   z sin   & sin     y sin   x cos  cos   z  & sin   & a sin a   y sin   x cos  cos  1 & a cos a sin  a  & a cos  a & a sin a   y sin   x cos  tg   sin   cos  5  y sin   x cos  cos   y sin   x cos  tg sin  & a cos a sin  a  & a cos  a tg  & a sin a   x cos   y sin  1 & a cos a sin  a tg  sin a   & a cos  a tg .cos Очевидно, что аналогичным образом, т.е., приравнивая проекции угловой скоростиa , можно вывести ранее полученные выражения для & , & и & a для случая, когда ветеротсутствует.

При этом нет необходимости выражать проекции  aya и  aza через& a и & a , так как при отсутствии ветра  aya  производные скоростных углов  aza FyamVFza,mV.При отсутствии ветра относительно простые соотношения дляопределения скоростного угла крена могут быть получены и в конечнойформе (т.е. - в виде алгебраического соотношения, а не дифференциальногоуравнения).В общем случае для этого надо решать систему уравненийaDag (  a , a ,  a )  Dсвg (  , ,  ) Dсв ( ,  ) .При отсутствии ветра, т.е. когда a   , a   , в этой системеaDag ( , ,  a )  Dсвg (  , ,  ) Dсв ( ,  ) остается одно неизвестное. Так какDag ( , ,  a )  cos  cos  sin  a sin   cos  a cos  sin  cos  a sin   sin  a cos  sin   sin  a cos sin cos  a cos ,  sin  cos  sin  cos   cos  sin  sin  cos  cos   sin  sin  sin  aaaaто для определения  a достаточно найти лишь один из элементов (второйили третий) второй строки произведения матрицaD ñâg (  , ,  ) D ñâ ( ,  )  cos  cos sin   sin  cos  cos  cos *   sin  cos sin sin  sin   cos  cos  sin  cos  sin   sin  cos  sin  cos  cos  sin  cos *sin  cos   cos  sin  sin  cos  cos   sin  sin  sin   cos  sin  cos  sin  sin   .0cos  sin Таким образом, скоростной угол крена  a при отсутствии ветра можнонайти из равенстваcos  a cos   sin  sin   cos  cos  cos  ,или sin  a cos    sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin   sin  cos  cos  .Итак, если не учитывать ветер, то полная система уравненийпространственного движения ЛА приобретает вид6x& g  V cos  cos  ,&  V sin  ,Hz& g   V cos  sin  ,&  R xa  g sin  ,VmRgya cos  a  R za sin  a cos  ,& mVV&   R ya sin  a  R za cos  a ,mV cos &  y sin   z cos  ,1( y cos   z sin  ) ,cos sin (y cos   z sin  ) ,&  x cos & x  J y  J z   y z  M Fx / J x ,& & y  J z  J x  z x  M Fy / J y ,& z  J x  J y   x y  M Fz  / J z ,где нужные для нахождения сил и их проекций углы атаки и скольжения искоростной угол крена определяются из соотношений&  z  ( x cos    y sin ) tg FyamV cos ,F&  x sin   y cos   za ,mV& a   x cos   y sin  / cos  1Fya ( tg  sin  a tg)  Fza cos  a tg ,mVилиsin  cos  sin(    )  cos  sin  cos  cos(    )  cos  cos  sin ,cos  cos  cos(    )  sin  sin   arcsin(cos  cos  sin(    )  sin  sin  cos  cos(    )  sin  cos  sin ) ,sin  cos  sin   cos  cos  sin  sin   sin  cos  cos , a  arcsincos sin  sin   cos  cos  cos или  a  arccos,cos где Fya  R ya  mg cos  cos  a , Fza  R za  mg cos  sin  a .   arctgСПОСОБЫ УПРОЩЕНИЯ1.