1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (Смирнов 2017 - Основы вычислительной физики ч2), страница 9

5 (а) отчётливо видна всего одна спектральная линия, тогдакак в соответствии с выражением (66) сигнал является суперпозициейдвух гармоник!Данная проблема легко решается за счёт использования оконныхфункций, рис. 5 (б). Чтобы понять смысл этого решения, удобно посмотреть на эффект частокола не в спектральном представлении, какмы делали выше в п. 2.7, а во времени.43Во временно́м представлении регистрация сигнала () на сетке сшириной может быть представлена в виде произведения () · ℎ(; ),где ℎ(; ) — ступенчатая функция, значения которой во всех узлах сетки равны 1, а за пределами сетки — нулю:{︂1, при 0 ≤ < ,ℎ = ℎ( ) =(67)0, при < 0 и ≥ .При этом функцию ℎ(; ) называют также прямоугольной оконнойфункцией ввиду того, что она ограничивает окно длительности , внут-ри которого исследуется сигнал (), и имеет прямоугольный (ступенчатый) профиль.Для примера на рис.

6 (а) показан гармонический сигнал () =cos(5) и прямоугольное окно шириной = 1. Поскольку частотасигнала не кратна шагу обратной сетки (их отношение равно 2,5),мы ожидаем появления эффекта частокола, см. п. 2.7. Снизу на панели (б) того же графика сплошной линией показано произведение () · ℎ(; ) — сеточная функция. Как мы говорили выше в п. 2.4, привыполнении дискретного преобразоавния Фурье на сеточную функцию накладываются периодические граничные условия. В этой связина рис. 6 (б) пунктиром показано также периодическое продолжениефункции () · ℎ(; ).

Видно, что периодическое продолжение сеточной функции терпит разрывы в точках = , ∈ Z. Как известноиз курса анализа, спектральная мощность разрывных функций |˜()|2медленно убывает с ростом частоты , что и приводит к уширениюспектральных линий на рис. 4 (а) и 5 (а).Данное рассмотрение даёт ключ к решению проблемы.

Действительно, если эффект частокола возникает вследствие разрывности периодического продолжения сеточной функции () · ℎ(; ), нам следует использовать другую оконную функцию, которая бы зануляласьна границах окна (при = 0 и = ) и, следовательно, обеспечивала бы непрерывность произведения ()ℎ(). Очевидно, существуетбесчисленное множество функций ℎ(), удовлетворяющих нулевым граничным условиям. Одним из часто используемых вариантов является13 :, илиокно ХаннаХаннингаНазвание предложено американскими математиками Ральфом Блэкмэном иДжоном Тьюки в честь австрийского метеоролога Джулиуса фон Ханна (Juliusvon Hann); применение окна Ханна к сигналу также обозначают в англоязычнойлитературе герундием; не следует путать его с созвучным с, предложенного другим американским математиком, Ричардом Хаммингом(Hamming, Richard).13hanningокном Хам-минга44(а)00.511.51Сигнал, отн.ед.010-1сетка(б)Сигнал, отн.ед.Оконная функция-0.5110-10-0.500.511.5Время t, отн.ед.Рис.

6. Сигнал на сетке можно рассматривать как произведение () и ступенчатой оконной функции ℎ() (а), при этом периодическое продолжениесеточной функции ℎ может быть разрывным (б)1ℎ =2(︂(︂1 − cos2)︂)︂,0 ≤ < .(68)Данная функция зануляется на границах периода вместе со своейпервой производной, что делает периодическое продолжение сеточнойфункции непрерывным и гладким.Заметим, что часто встречается альтернативное определение окнаХанна с заменой → − 1 в знаменателе:(︂(︂)︂)︂12ℎ =1 − cos, 0 ≤ < .(69)2−1В первом случае период оконной функции (68) равен ширине сетки; такие оконные функции называют.

Функции вида (69)называютввиду симметричности набора из коэффициентов ℎ в (69). Когда число узлов сетки велико, отличие междудвумя способами определения практически несущественно.симметричнымипериодическими45(а)00.511.51Сигнал, отн.ед.010-1сетка(б)Сигнал, отн.ед.Оконная функция-0.5110-1-0.5000.511.5Время t, отн.ед.Рис. 7.Использование окна Ханна делает периодическое продолжение сеточной функции непрерывным и гладкимНа рис. 7 показано применение окна Ханна к периодическому сигналу () = cos(7,5 · 2/ ), = 1. Из сравнения рис. 6 и 7 легкоувидеть, что использование окна Ханна позволяет устранить разрывна границе периода. Как следствие, это позволяет в значительной степени избавиться от эффекта частокола, что иллюстрирует рис.

5 (б),на котором показан спектр сигнала (66), полученный с использованиемокна Ханна (68). В спектре отчётливо видны две спектральные линии,что соответствует суперпозиции двух гармоник в (66).2.9. Другие оконные функцииХотя поставленный в начале предыдущего параграфа вопрос о разрешении двух спектральных линий в спектре сигнала (66) был решён,внимательный читатель наверняка заметил, что высота спектральныхлиний на рис. 5 (б) отличается на 18,4 дБ, тогда как в соответствии с(66), амплитуды линий соотносятся как 1:10, что позволяет ожидать46отличия спектральных мощностей линий в 100 раз (на 20 дБ). Таким образом, использование оконной функции Ханна хотя и позволяетуменьшить искажения спектров, получаемыхв результате дискретного преобразования Фурье оцифрованных сигналов, но всё же не решает проблему полностью. Использование оконнойфункции всегда предполагает некоторый компромисс между различными видами искажений.

Соответственно, выбор той или иной оконнойфункции определяется спецификой задачи: тем, какие именно характеристики спектра представляют наибольшую ценность (ширина спектральных линий, относительная высота спектральных линий и соотношение шум/сигнал). В контексте данного курса обсуждаемые здесьвопросы определённо можно отнести к разряду «дополнительных», поэтому в ходе первого знакомства с темой можно смело переходить кследующему параграфу 2.10 на с. 49.Для более детального количественного исследования свойствпреобразования Фурье удобно воспользоваться пропорциональностью спектра произведения ()ℎ() свёртке спектров сомножителей:в большинстве случаевокон-ного1(˜ℎ)() =2+∞∫︁ ′ ˜( − ′ )ℎ̃( ′ ).(70)−∞Таблица значений именно этой спектральной функции (но отнюдьне «истинного» спектра ˜() непрерывного и не ограниченного во времени сигнала ()) получается на обратной сетке в результате выполнения дискретного преобразования Фурье.

Именно к спектральной функции (70) напрямую и непосредственно применимо понимание эффектачастокола в том виде, как оно представлено на рис. 3.В предыдущих параграфах в качестве примеров мы рассматривали дискретное преобразование Фурье от гармонических сигналов, «истинный» спектр которых представляет собой одну или несколько функций. Свёртка ˜() = ( − * ) со спектром оконной функции ℎ̃()в (70) даёт ℎ̃( − * ), т. е. в примерах выше, хотя мы и не говорили об этом явно, мы каждый раз имели дело со спектрами ℎ̃( − * ),вычисленными на частотных сетках = +2/ .

В этой связи рассмотрим спектры ℎ̃() для разных оконных функций ℎ более подробнои систематически.Начнём с прямоугольного окна (67). Спектр прямоугольной (ступенчатой) функции ширины T есть⃒⃒⃒⃒,⃒ℎ̃()⃒ = sinc247(71)(б)Спектр |h(ω)|Спектр |h(ω)|0.80.60.40.23,92 дБ0-1010-1-200децибелы100113,5 дБ(а)-30-4-2024-4Частота ω, отн.ед.-2024Частота ω, отн.ед.Рис. 8. Спектр прямоугольной оконной функции |ℎ̃()| (71) в линейном (а)и логарифмическом (б) масштабе; круглыми маркерами показаны примерырасположения узлов обратной сеткигде sinc ≡ sin()/.

График спектральной функции прямоугольногоокна ℎ̃() (71) показан на рис. 8 в линейном (а) и логарифмическом (б)масштабе. По горизонтальной оси в обоих случаях отложено отношениечастоты к шагу обратной сетки 2/ .Заметим, что спектр (71) является непрерывной функцией , тогдакак в результате дискретного преобразования Фурье мы получим таблицу значений ℎ̃ = ℎ̃( − * ). Узлы сетки = 2/ могут бытьпо-разному расположены относительно нулей функции sinc. Так, если мы вычисляем спектр гармонического сигнала с «целой» частотой = 2/ , то узлы обратной сетки будут совпадать с нулями функции sinc (за исключением узла с индексом , который будет находитьсяв максимуме функции sinc), см.

рис. 8 (а). Если рассмотреть гармонический сигнал на «полуцелой» частоте +0,5 = 2( + 12 )/ , то расположение узлов обратной сетки будет таким, как показано на рис. 8 (б).Таким образом, дискретизация спектра (71) на сетках, сдвинутых друготносительно друга на половину шага, будет давать качественно отличающиеся результаты, см. рис. 4 на с. 41.Обратим внимание на количественные характеристики спектра, показанные на рис. 8 (б).

Изменение частоты * сигнала () = exp(* )может приводить к изменению наблюдаемой высоты линий в дискретном преобразовании Фурье на 3,92 дБ14 , см. рис. 4. Помимо основноголепестка в центре, спектры оконных функций содержат такжелепестки, что приводит к появлению шумовой подложки на реги-побоч-ныеДецибелы здесь, как это обычно принято, характеризуют отношение: = 10 log10 (1 /2 ). Для вычисления отношенияв спектре нарис.