1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (Смирнов 2017 - Основы вычислительной физики ч2), страница 8

В этой связи для половины узлов(0 ≤ < /2) мы должны положить = 0, для оставшейся половины считать = −1. При этом формула (60) станет однозначной иперепишется в виде{︂Ω/,при < /2, =(61)(−1 + /)Ω, при ≥ /2,38где Ω = 2/ = 2/ — частота дискретизации (циклическая). Нарис. 2 (б) показан график, иллюстрирующий зависимость (61) частоты от индекса узлов обратной сетки на примере = 16. До серединыобратной сетки частота нарастает пропорционально индексу от0 до Ω/2; в середине сетки происходит скачок на −Ω, после которогочастота вновь изменяется линейно по с тем же наклоном. Максимальное по модулю значение частоты вдвое меньше частоты дискретизации(max = Ω/2) и называется.Несмотря на кажущуюся на первый взгляд сложность, полученныйответ (61) имеет достаточно простой физический смысл.

В каждом узле сетки мы должны разрешить неоднозначность выбора частоты (60) таким образом, чтобы абсолютное значение | | было минимальным. Здесь уместна аналогия с вращающимся колесом автомобиля в кинофильме: мы не знаем, на какой угол + 2повернулось колесо между моментами последовательныхизмерений (съёмкой двух последовательных кадров киноплёнки), номы интерпретируем увиденное на экране так, чтобы модуль угла поворота | + 2| принимал бы минимальное возможное значение, т.

е.чтобы − ≤ + 2 < .Разумеется, сказанное выше относительно правильного способа разрешения неоднозначности по в (60) справедливо лишь в случае, когдаизмерения проводятся достаточно часто, т. е. шаг сетки по времени или пространству достаточно мал по сравнению с масштабом, накотором изменяется исследуемая функция .

Данный способ не можетбыть использован для предотвращения эффекта наложения частот; если в расчётах произошла подмена частот, следует повысить частотудискретизации сигнала10 .частотой Найквистав действи-тельности2.7. Эффект частоколаЭффект частокола, известный в англоязычной литературе какpicket fence effect, связан с потерей спектральной информации, попадающей между узлами обратной сетки (61). Чтобы понять суть явления, удобно провести аналогию между анализом спектров, полученныхв результате дискретного преобразования Фурье, и взглядом на мирчерез изгородь: в обоих случаях получаемая картина является фрагментарной, что иллюстрирует рис.

3. Видимые в промежутках между10 При оцифровке аналоговых сигналов для экономии ресурсов также целесообразно применение спектральных аналогвых фильтров низких частот (при обработкеизображений — сглаживающих фильтров) при условии, что обрезаемые высокочастотные компоненты сигнала не содержат важной информации.39Рис. 3.Эффект частоколадосками частокола участки графика (спектра) показаны сплошной линией, скрытые — пунктиром; круглые маркеры соответствуют узловымточкам -сетки.В показанном на рис. 3 примере после наложения частокола на некоторую функцию (спектр) только один из трёх пиков (первый) был передан без искажений.

Второй (средний) пик полностью исчез, а высотатретьего пика после наложения сетки оказалась в два раза меньше истинного значения.Очевидно, что наличие в спектре сигнала пиков с шириной меньшешага обратной сетки (как в случае среднего пика на рис. 3), свидетельствует о недостаточно большой ширине сетки . Таким образом, дляустранения указанной проблемы необходимо увеличить время регистрации сигнала, тем самым уменьшив шаг обратной сетки и повысивразрешение спектральной функции.Однако одно лишь увеличение ширины сетки не всегда позволяет полностью решить проблему.

Чтобы понять это, вновь обратимся кпреобразованию Фурье от гармонической функции. На этот раз вместокосинуса используем всего одну комплексную экспоненту для максимального упрощения выкладок: () = exp(−* ), * = (2 + 1)(62)Частоту * комплексной экспоненты выберем так, чтобы на сетке ширины укладывалось + 12 периодов осцилляций.

Положив + = 1/в определении (56), в результате дискретного преобразования Фурьесигнала (62) получим:)︂(︂−11 ∑︁2( − − 1/2)˜ =exp.(63)=040(б)3,9 дБ10-110-21003,9 дБ10-110 дБ100Спектр. мощностьСпектр. мощность(а)10-2-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8Индекс узла j-qИндекс узла j-qРис. 4. Результат дискретного преобразования Фурье для гармоническогосигнала с полуцелой (а) и целой (б) частотой на сетке с = 256 узлами;сплошная кривая соответствует линейной интерполяции между узламиПоскольку частота * является полуцелой11 , комплексные экспоненты не являются ортогональными. Вычисляя сумму (63) по формуламдля геометрической прогрессии, получаем для спектральной мощностисигнала:⃒(︀ (︀)︀)︀ ⃒2⃒ ⃒211 ⃒⃒ sin − − 12 ⃒⃒⃒˜⃒)︀)︀ ⃒ =(︀ (︀(︀ (︀)︀)︀ .(64)⃒ ⃒ = 2 ⃒212 ⃒ sin − − 2 ⃒ sin − − 12График полученного выражения (64) в окрестности спектральной линии (| − | ≤ 8 при общем числе узлов сетки = 256) показанна рис.

4 (а) на логарифмической шкале спектральных мощностей.Круглые маркеры соответствуют значениям функции в узлах обратной сетки, соединяющие их кривые — линейной интерполяции междуузлами. Как и следовало ожидать, максимум спектральной мощностидостигается в узлах и +1 , ближайших к частоте * . Вместе с темобратим внимание на две неприятных особенности полученного ответа (64), которые представляют реальную проблему при спектральноманализе сигнала.Для понимания первого аспекта проблемы вычислим максимальноезначение спектральной мощности.

В соответствии с (64), оно равно(︁(︁ )︁)︁−24= 2 + (−2 ) при ≫ 1.max |˜ |2 = sin2(65)11 Здесь и далее, говоря о «целых» и «нецелых» частотах , мы имеем в видуотсутствие или наличие дробной части у безразмерной частоты /(2), равнойотношению частоты к шагу обратной сетки 2/ .41Если бы частота * в (62) была не полуцелой, а целой (* = 2/ ),то, заменив − 21 на в (63), мы бы получили max |˜|2 = max |, |2 = 1,что на 3,9 дБ (в 2,5 раза) больше, чем в случае полуцелой частоты (65).Таким образом, если в спектре регистрируемого сигнала есть две линиис равными мощностями, то это ещё не означает, что при выполнениидискретного преобразования Фурье мы действительно увидим линииравной высоты! Так, в случае если одна из линий совпадёт с узлом обратной сетки, а другая окажется посередине между соседними узлами,мы увидим, что одна из линий выше другой на 3,9 дБ, ср.

рис. 4 (а)и (б). Другими словами, проблема заключается в искажении формыспектра, полученного в результате дискретного преобразования Фурье.Мы уже ожидали возникновения этой проблемы, используя простыекачественные соображения: см. рис. 3, на которомвысота третьего пика значительно ниже еговысоты. Математическиевыкладки (62–65) позволили нам количественно оценить масштаб проблемы (3,9 дБ). Кроме того, полученный ответ (65) позволяет сделатьвывод о том, что величина, на которую уменьшается высота спектральной линии (3,9 дБ), не зависит от времени регистрации сигнала (приусловии, что частота * остаётся полуцелой при использовании сетокс разными ширинами ). Таким образом, мы можем увеличить времярегистрации сигнала в 3 или даже в 33 раза, повысив в соответствующее число раз разрешение спектральной функции, но это не поможетни решить, ни даже уменьшить указанную проблему12 .Куда делась спектральная энергия при уменьшении высоты линиина 3,9 дБ? В самом деле, как уже говорилось в п.

2.3, дискретное преобразование Фурье описывается унитарными матрицами и, следовательно, сохраняет квадратичную норму векторов. Таким образом, еслипри изменении частоты сигнала * с 2/ на 2( + 12 )/ происходитуменьшение высоты линии в 2,5 раза, то это должно сопровождатьсяувеличением ширины спектральной линии. И действительно, в соответствии с полученным выше выражением (64) и графиком на рис. 4 (а),спектральная мощность сигнала на полуцелой частоте демонстрируетмедленный (степенной) спад из точки максимума, тогда как в случаецелой частоты ˜ ∼ , , т. е. спектральная функция зануляется уже всоседних с пиком узлах сетки (рис. 4 (б)).

Это составляет второй аспектпроблемы: сигнал на частоте, расположенной между узлами обратнойсетки, приводит к появлению широких фантомных линий в спектрах,полученных в результате дискретного преобразования Фурье. Спек-истиннойвидимая12 Это связано с тем, что спектр исследуемого сигнала (62) представляет собой функцию, и, следовательно, его ширина всегда будет меньше шага обратной сеткипри любом значении .4210-210-310-40102030Индекс узла j4010-118,4 дБ(б)10-1Спектр. мощностьСпектр. мощность(а)10-210-310-4010203040Индекс узла jРезультат дискретного преобразования Фурье для сигнала (66),вычисленный с прямоугольным окном (а) и оконной функцией Ханна (б)Рис.

5.тральная энергия как бы «перетекает» из линии в соседние узлы, всвязи с чем данное явление обозначается в англоязычной литературетермином.spectral leakage2.8. Окно ХаннаРассмотренный в предыдущем пункте эффект частокола приводитк искажению регистрируемой спектральной информации в случае, если частота сигнала не является целой (не кратна 2/ ).

Указанные искажения включают в себя уменьшение высоты и увеличение шириныспектральных линий, а также маскировку слабых спектральных линийза счёт слияния их с расположенными рядом более мощными линиями,уширенными за счёт эффекта частокола. В качестве иллюстрации нарис. 5 (а) показана спектральная мощность сигнала () = 0,1 sin(15) + cos(20,5),(66)вычисленная на сетке шириной = 2 с числом узлов = 100. Поскольку сигнал () вещественный, приведена лишь половина спектрапри > 0. Спектральная мощность сигнала отложена на вертикальной оси в логарифмическом масштабе. Обратим внимание: в спектрена рис.