1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (Смирнов 2017 - Основы вычислительной физики ч2), страница 7

Для построения численного решения следуетприменить к задаче (57) метод функции Грина. С его помощью можнополучить решение более общего уравнения:1 2++ 2 = 0, 2 (58)имеющего второй порядок по времени и учитывающего также эффектдисперсии групповых скоростей (см. коэффициент в (58)). Аналитическое решение уравнения (58) легко получить, выполнив преобразование Фурье по времени:)︂(︂ 2˜˜+ ⇒(, ) = (0, ) exp21(, ) =2+∞+∞(︂)︂ ∫︁∫︁′ 2 exp+ − ′ (0, ′ ) .2−∞(59)−∞На рис. 1 представлены результаты расчёта распространения импульса с огибающей sech2 в соответствии с выражением (59) при = 0.На графике 1 (а) показано начальное условие ( = 0; ) — импульсс огибающей sech2 .

Стрелкой указано направление смещения импульсапо времени при его распространении вдоль . График (б) соответствует некоторой точке > 0. Видно, что импульс сместился по времении дошёл до правого края сетки ширины = 1, при этом его «хвост»появился на левом краю сетки.34(а)(б)z=0Сигнал, отн.ед.Сигнал, отн.ед.10.501z>00.5000.510Время t, отн.ед.1сетка(в)Сигнал, отн.ед.0.5Время t, отн.ед.10.50-1-0.500.511.52Время t, отн.ед.Рис. 1.При использовании дискретного преобразования Фурье численноерешение на сетке является периодической функциейДругими словами, в моделировании, использующем дискретное преобразование Фурье, всегда имеют дело с периодическими функциямивремени.

Это обстоятельство иллюстрирует рис. 1 (в), где показана периодическая последовательность импульсов и расчётная сетка, ширинакоторой равна периоду последовательности.Также можно представлять себе график сеточной функции () нарисованным на листе бумаги, который свернули в цилиндр так, чтоправый и левый концы графика оказались склеены друг с другом. Приэтом очевидно, что импульс не может выйти за пределы сетки, но может лишь перемещаться по кругу. У сетки, как и у окружности, нетначала и конца, все её узлы топологически эквивалентны.Неявно заданные периодические граничные условия, возникающиепри выполнении дискретного преобразования Фурье, обязательно нужно учитывать при выполнении численного моделирования. Ширинусетки следует выбирать достаточно большой, чтобы исключить нежелательное наложение и взаимодействие переднего и заднего фронтовсигнала друг с другом.352.5.

Подмена частотИз симметрии прямого и обратного преобразований Фурье очевидно, что аналогичная периодичность численного решения должна иметьместо и в частотном представлении ˜(). Подобно тому как каждыйузел временно́й сетки соответствует бесконечному набору моментоввремени + , = 0, ±1, ±2 . . ., так и каждый узел (частотной) сетки соответствует различным физическим частотам +2/ , ∈ Z. Данный эффект называется,, или.

Для его обозначения также очень часто употребляется англицизм, или(от англ.—псевдоним, прозвище).Природа данного явления достаточно проста. Если гармоническийсигнал с частотой измеряется в дискретные моменты времени с равными интервалами , то частота по результатам таких измеренийможет быть определена лишь по модулю mod 2 . Действительно,регистрируя изменение фазы сигнала между моментами времениизмерений = 0, , 2, .

. ., мы никак не можем отличить его от + 2при произвольном целом . Сказанное иллюстрирует рис. 2 (а), на котором приведены графики sin и sin 5: их значения совпадают в узлахсетки с шагом = /2 (показаны круглыми маркерами), посколькуаргумент первой гармоники возрастает между узлами сетки на величину = /2, а пятой гармоники — на 2 + 2 .

Как следствие, частоты = 1 и = 5 оказываются неотличимыми на данной сетке.На том же принципе основано действие стробоскопа; из-за подмены частот колёса автомобилей в кинофильмах вращаются в противоположную движению сторону, а экраны мониторов на видеозаписяхнепривычно сильно мерцают. Переналожение пространственных частотможно наблюдать, сделав фотографию компьютерного монитора, приэтом частота измерений (пространственная) равна обратному расстоянию между пикселями матрицы цифрового фотоаппарата, а частотойсигнала является обратное расстояние между пикселями экрана на оптическом изображении, формируемом объективом фотоаппарата. Ещёодно «компьютерное» проявление эффекта подмены частот, котороелегко можно увидеть в числе первых результатов поискового запросав Интернете, связано с отображением шрифтов либо другихгеометрических форм с резкими наклонными краями.

Поскольку идеально резкие края фигуры соответствуют медленно убывающей спектральной функции, пространственный спектр компьютерных шрифтовсодержит неограниченно высокие частоты, которые при любой частотедискретизации (при любом разрешении экрана или принтера) способ-нойниеммаскировкой частотэлайзингaliasing36обратподменой переналожеалиасингalias(б)Частота ωj / ΩСигнал, отн.ед.(а) 10-10.50-0.502460Время t, отн.ед.Рис. 2.481216Индекс узла j(а) Эффект подмены частот; (б) частота узлов обратной сеткины приводить к эффекту подмены частот.

Для преодоления данногоэффекта при отображении шрифтов, воспроизведении и съёмке фотои видео применяются разнообразные цифровые и аналоговые сглаживающие фильтры, предотвращающие появление резких краёв и связанных с ними слишком высоких частот в пространственном спектре (см.в Google). При работе с гладкими функциями (в частности, при оцифровке сигнала в эксперименте, а также численном решении дифференциальных уравнений) необходимо следить за тем, чтобычастота дискретизации (обратная величина шага сетки) была как минимум вдвое выше верхней границы спектра регистрируемого сигнала.anti-aliasing2.6. Узлы обратной сеткиКак было показано в п. 2.5, каждый узел обратной сетки в общемслучае может соответствовать различным физическим частотам: ∼2+ Ω,Ω≡2,(60)где и = — шаг и ширина временно́й сетки, — количество узлов, Ω — частота дискретизации (циклическая9 ), — произвольное целое число.

Как устранить неоднозначность по в (60)? Такой вопросвозникает в физических расчётах при использовании уравнений, коэффициенты которых явно зависят от частоты . Например, в уравнениипереноса (57) скорость распространения сигнала может быть функцией (эффект дисперсии групповых скоростей).9 Напомним, чточастота связана счастотой соотношением = 2 . Как правило, для них используются не только различные буквы,но и даже разные размерности: циклическая частота обычно измеряется в обратныхсекундах, тогда как линейная — в Герцах.циклическаялинейной37Определение дискретного преобразования Фурье (56) подсказываетсамый простой (но при этом ошибочный) способ решения проблемы,который состоит в том, чтобы при вычислении в (60) положить = 0.Тогда, в полном соответствии с формулой (56), частоты узлов обратной сетки будут пропорциональны индексу узла = 0, 1, .

. . , − 1.Чтобы понять, почему такой способ неправилен, вспомним, что спектрвещественного сигнала () = * () симметричен относительно нуля:˜() = ˜* (−). С другой стороны, выбрав = 0 в (60), мы получим вспектре лишь неотрицательные частоты, т. е. будем не способны выполнить преобразование Фурье с ожидаемыми результатами ни для какойвещественной функции за исключением () ≡ const.Чтобы найти правильное решение, рассмотрим гармонический сигнал () = cos * в «идеальном» случае: пусть мы можем регистрировать этот сигнал в течение длительного времени , кратного периодукосинуса: = 2/* , ∈ N, что позволит нам избежать эффекта частокола, см. п. 2.7.

Пусть также мы можем ипользовать сетку со скольугодно малым шагом и сколь угодно большим числом узлов = / ,чтобы избежать эффекта подмены частот (см. п. 2.5). Что даст дискретное преобразование Фурье (56) от косинуса в этом заведомо «хорошем» предельном случае? Подставляя * = 2/ , = cos(* ), = / в определение (56) и пользуясь ортогональностью комплесных экспонент, легко увидеть, что мы получим в спектре лишь дваненулевых коэффициента:−1)︁+ ∑︁ (︁ 2/+ ˜ =+ −2/ 2/ =(, + ,− ) .22=0Как видно из формулы (60), отличные от нуля коэффициенты соответствуют частотам = Ω + * и − = ( + 1)Ω − * .

С другой стороны, поскольку речь идёт о преобразовании Фурье функцииcos * , мы ожидаем увидеть в спектре две линии: = ±* . Для этогонам нужно положить 1 = 0 и 2 = −1 в первом и во втором случае соответственно. Если же в формуле (60) мы положим ≡ 0 длявсех узлов обратной сетки, полученный в результате спектр не будетсоответствовать нашим ожиданиям.