1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (Смирнов 2017 - Основы вычислительной физики ч2)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиC. В. СмирновОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИЧасть IIУчебное пособиеНовосибирск2017УДК 519.6ББК 22.19я73С50Рецензентд-р физ.-мат. наук, чл.-корр.

РАН М. П. ФедорукСмирнов, С. В.С50 Основы вычислительной физики : учеб. пособие: в 2 ч. /С. В. Смирнов. – Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2017. – Ч. 2. –104 с.ISBN 978-5-4437-0676-4ISBN 978-5-4437-0677-1 (часть 2)Настоящее учебное пособие соответствует материалу лекций7–11 по дисциплине «Основы вычислительной физики»,читаемых студентам 4-го курса физического факультета НГУ, исодержит рассмотрение ряда базовых вопросов методоввычислений, используемых в физике.

Пособие знакомитчитателей с численными методами решения задач линейнойалгебры, дискретным преобразованием Фурье и численнымисхемами для интегрирования уравнения теплопроводности инелинейного уравнения Шрёдингера. Отбор материала и уровеньстрогости изложения адаптированы для студентов-физиков.Для студентов 4-го курса физического факультета НГУ,студентов старших курсов и аспирантов физических итехнических специальностей вузов.УДК 519.6ББК 22.19я73Пособие подготовлено при частичной финансовой поддержкеМинобрнауки РФ (соглашение № 14.B25.31.0003, гос. задание№ 3.5572.2017/БЧ).ISBN 978-5-4437-0676-4ISBN 978-5-4437-0677-1(часть 2)© Новосибирский государственныйуниверситет, 2017© С. В.

Смирнов, 2017ОглавлениеПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Задачи линейной алгебры1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.Метод исключения Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . .Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента .Погрешность и невязка . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .Определитель и обратная матрица . . . . . . . . . . . . .Метод прогонки для трёхдиагональных матриц . . . . .Модификация метода прогонки для периодических граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7. Спектральная задача . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .1.7.1. Метод интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.2. Степенной метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.3. Метод обратных итераций со сдвигом . . . . . . .1.7.4. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.5. Метод вращений Якоби .

. . . . . . . . . . . . . . .1.7.6. Сравнение методов . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Дискретное преобразование Фурьеvs.2.1. Преобразованиеряд Фурье . . . . .2.2. Наводящие соображения . . . . . . . .2.3. Определение и свойства .

. . . . . . .2.4. Периодичность по времени . . . . . . .2.5. Подмена частот . . . . . . . . . . . . .2.6. Узлы обратной сетки . . . . . . . . . .2.7. Эффект частокола . . . . . . . . . . .2.8. Окно Ханна . . . . . . . . . . . . . . .2.9. Другие оконные функции . . . . . . .2.10. Быстрое преобразование Фурье . . . .2.10.1. БПФ и вычисление полиномов2.10.2. Запись БПФ через матрицы . .2.10.3. Общий случай составных . .2.10.4. Cлучай простого .

. . . . . .2.11. Библиотека FFTW . . . . . . . . . . .2.11.1. Установка . . . . . . . . . . . . .2.11.2. Использование . . . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .3......................................................................................................................................................................................................5569111314161818192122232627293031333436373943464950535455575860663. Уравнение теплопроводности3.1. Граничные условия .

. . . . . . .3.2. Явная схема . . . . . . . . . . . .3.3. Неявная схема . . . . . . . . . . .3.4. Схема Кранка — Николсона . . .3.5. Обобщение на двумерный случай3.6. Продольно-поперечная схема . .3.7. Локально одномерный метод . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . .........................................Линейный канал .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Бездисперсионный канал . . . . . . . . . . . . . . . . .Солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Физическое обоснование . . . . . . . . . . . . . . . . .Численные методы . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .4.5.1. Метод расщепления по физическим процессам4.5.2. Переход к представлению взаимодействия . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................4. Нелинейное уравнение Шрёдингера4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.Литература........................................................................6767697375788082838586878890929396991024ПредисловиеНастоящее учебное пособие соответствует материалу лекций 7–11по дисциплине «Основы вычислительной физики», читаемых студентам 4-го курса физического факультета НГУ, и содержит рассмотрение ряда базовых вопросов методов вычислений, используемых в физике. Первая глава данного пособия знакомит читателей с численнымиметодами решения задач линейной алгебры, включая решение системлинейных уравнений, вычисление определителя и обратной матрицы,поиск собственных значений и собственных векторов.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье: эффекты подмены частот и частокола, алгоритмы быстрого преобразования Фурье и их эффективная программная реализациина языке C — библиотека FFTW. Третья глава посвящена численному решению уравнения теплопроводности, на примере которого рассматриваются вопросы устойчивости явных и неявных численных схем.Четвёртая, последняя, глава знакомит читателей с нелинейным уравнением Шрёдингера, его физической интерпретацией, точными аналитическими решениями, полученными в некоторых частных случаях, иметодами численного интегрирования, включая метод Фурье расщепления по физическим процессам и разностные методы в представлении взаимодействия.

Отбор материала и уровень строгости изложенияадаптированы для студентов-физиков.Автор выражает глубокую признательность Александру ИвановичуЧерных и Максиму Александровичу Никулину за ценный вклад в отборматериала курса лекций, целый ряд исключительно полезных советов,идей и критических замечаний, позволивших существенно улучшитьтекст пособия.1. Задачи линейной алгебрыЧто общего между моделированием аэродинамических потоков,расчётом опор моста, поиском мод волоконного фотонного кристаллаи определением уровней энергии квантовой частицы в потенциальнойяме? Эффективные алгоритмы решения всех перечисленных и многихдругих физических задач основаны на сведении их к задачам линейнойалгебры: решению систем линейных уравнений, вычислению определителей матриц, нахождению обратных матриц и поиску собственныхчисел и собственных векторов матрицы. Поскольку ЭВМ может оперировать лишь с конечным набором дискретных значений, матрицыи векторы возникают в численном моделировании естественным обра5зом как конечномерные аналоги операторов в Гильбертовых пространствах.

Так, например, для решения уравнений в частных производныхнепрерывные функции заменяются их дискретными сеточными аналогами, а действующие на них дифференциальные операторы — разностными выражениями [1, с. 78], связывающими значения функции внескольких соседних узлах сетки. Таким образом, дискретизация задач с операторами в частных производных обычно приводит к системелинейных уравнений1 , количество которых пропорционально числу узлов сетки и, следовательно, может быть достаточно большим числом.В данной главе мы познакомимся с некоторыми наиболее простымиметодами решения основных задач линейной алгебры.1.1.

Метод исключения ГауссаПусть необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений:∑︁ = ,(1)=1где — матрица × , x = (1 , . . . , ) — искомый вектор, b =(1 , . . . , ) — известный вектор правых частей уравнений. Из курсаалгебры известно, что в случае невырожденной матрицы система (1)имеет единственное решение, которое может быть записано по формулеКрамера:∆ =,(2)∆где ∆ = det — определитель матрицы системы, ∆ — определительматрицы , в которой -й столбец был заменен на вектор b. Если длянахождения по формуле (2) мы будем вычислять определители с помощью разложения по строке (столбцу), то для нахождения всех компонент вектора x нам потребуется совершить (2 (+1)!) арифметических операций. Предельное расчётное быстродействие самого мощногона сегодняшний день суперкомпьютера2 позволит вычислить за два года работы определитель матрицы размером всего лишь = 19.