Экзаман по матану (ВОПРОСЫ и ЗАДАЧИ к экзу для всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТ)

Вопросы для подготовки к экзамену по математическому анализудля всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТ(в квадратных скобках указаны номера лекций по календарному плану,см. Иванков П.Л. Конспект лекций по математическому анализу //электронный ресурс http://mathmod.bmstu.ru/Docs/Eduwork/ma/MAall.pdf )1. Сформулируйте и докажите теорему о единственности предела сходящейся последовательности.

[Л. 4]2. Сформулируйте и докажите теорему об ограниченности сходящейся последовательности. [Л. 4]3. Сформулируйте и докажите теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечныйпредел. [Л. 5]4. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении функцией знака своего предела. [Л. 5]5. Сформулируйте и докажите теорему о предельном переходе в неравенстве. [Л. 5]6.

Сформулируйте и докажите теорему о пределе промежуточной функции. [Л. 5]7. Сформулируйте и докажите теорему о пределе произведения функций. [Л. 6]8. Сформулируйте и докажите теорему о пределе сложной функции. [Л. 6]sin x9. Докажите, что lim= 1. [Л. 6]x→0 x10. Сформулируйте и докажите теорему о связи функции, ее предела и бесконечно малой. [Л. 7]11.Сформулируйте и докажите теорему о произведении бесконечно малой функции наограниченную. [Л. 7]12. Сформулируйте и докажите теорему о связи между бесконечно большой и бесконечномалой. [Л.

7]13. Сформулируйте и докажите теорему о замене бесконечно малой на эквивалентную под знакомпредела. [Л. 8]14. Сформулируйте и докажите теорему о необходимом и достаточном условии эквивалентностибесконечно малых. [Л. 8]15. Сформулируйте и докажите теорему о сумме конечного числа бесконечно малых разныхпорядков. [Л. 8]16. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности суммы, произведения и частногонепрерывных функций.

[Л. 9]17. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывности сложной функции. [Л. 9]18. Сформулируйте и докажите теорему о сохранении знака непрерывной функции в окрестноститочки. [Л. 9]19. Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций. Докажите непрерывностьфункции y = sin x. [Л. 9]20. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке. [Л. 10]21.Сформулируйте определение точки разрыва функции и дайте классификацию точекразрыва.

[Л. 9]22. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие существования наклоннойасимптоты. [Л. 10]23. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие дифференцируемости функциив точке. [Л. 11]24.Сформулируйте и докажите теорему о связи дифференцируемости и непрерывностифункции. [Л.

11]25. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух дифференцируемыхфункций. [Л. 11]26. Сформулируйте и докажите теорему о производной частного двух дифференцируемыхфункций. [Л. 11]27. Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции. [Л. 11]28. Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции. [Л. 11]29. Сформулируйте и докажите свойство инвариантности формы записи дифференциала первогопорядка. [Л. 12]30.

Сформулируйте и докажите теорему Ферма. [Л. 13]31. Сформулируйте и докажите теорему Ролля. [Л. 13]32. Сформулируйте и докажите теорему Лагранжа. [Л. 13]33. Сформулируйте и докажите теорему Коши. [Л. 13]34. Сформулируйте и докажите теорему Лопиталя – Бернулли для предела отношения двухбесконечно малых функций. [Л. 13]35. Сравните рост показательной, степенной и логарифмической функций на бесконечности.

[Л. 13]36. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. [Л. 14]37. Выведите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. [Л. 14]38.Выведите формулу Маклорена для функции y = ex с остаточным членом в формеЛагранжа. [Л. 14]39. Выведите формулу Маклорена для функции y = sin x с остаточным членом в формеЛагранжа. [Л. 14]40. Выведите формулу Маклорена для функции y = cos x с остаточным членом в формеЛагранжа. [Л. 14]41. Выведите формулу Маклорена для функции y = ln(1 + x) с остаточным членом в формеЛагранжа. [Л. 14]42.

Выведите формулу Маклорена для функции y = (1 + x)α с остаточным членом в формеЛагранжа. [Л. 14]43. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие неубывания дифференцируемойфункции. [Л. 15]44. Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условие невозрастания дифференцируемой функции. [Л. 15]45.

Сформулируйте и докажите достаточное условие возрастания дифференцируемой функции. [Л. 15]46. Сформулируйте и докажите достаточное условие убывания дифференцируемой функции. [Л. 15]47. Сформулируйте и докажите первое достаточное условие экстремума (по первой производной). [Л. 15]48. Сформулируйте и докажите второе достаточное условие экстремума (по второй производной). [Л. 15]49.

Сформулируйте и докажите достаточное условие выпуклости функции. [Л. 16]50. Сформулируйте и докажите необходимое условие точки перегиба. [Л. 16]51. Сформулируйте и докажите достаточное условие точки перегиба. [Л. 16]При ответе на теоретические вопросы билета формулировки теорем должны сопровождаться определениями используемых в них понятий. В частности, требуется знаниеследующих определений: предела последовательности [Л. 4]; предела функции (определения поКоши и по Гейне) [Л. 5]; окрестности и ε-окрестности точки x ∈ R [Л.

2]; окрестностей +∞, −∞ и∞ [Л. 2]; сходящейся, ограниченной, возрастающей, убывающей, невозрастающей, неубывающей, монотонной, фундаментальной последовательностей [Л. 3, 4]; бесконечно малой и бесконечно большойфункций [Л. 7]; бесконечно малых функций: одного порядка, несравнимых, эквивалентных [Л. 8]; порядка малости [Л. 8]; порядка роста [Л. 8]; приращения функции [Л. 9]; непрерывной функции в точке(эквивалентные определения) [Л. 9]; непрерывной функции на интервале, на отрезке [Л. 9]; точек разрыва: устранимого, I-го рода, II-го рода [Л.

9]; наклонной асимптоты [Л. 10]; производной функциив точке [Л. 11]; односторонней (левой или правой) производной функции [Л. 11]; дифференцируемойфункции [Л. 11]; дифференциала первого порядка [Л. 12]; производной n-го порядка [Л. 12]; дифференциала n-го порядка [Л. 12]; возрастающей, невозрастающей, убывающей, неубывающей, монотонной,строго монотонной функций [Л. 15]; строгого и нестрогого локальных минимума, максимума, экстремума [Л. 15]; стационарной и критической точек [Л. 15]; выпуклости (вверх или вниз) графика функциина промежутке [Л. 16]; точки перегиба графика функции [Л.

16].Знание остальных теорем, определений и понятий из программы курса можетпотребоваться при ответе на дополнительные вопросы экзаменатора.Задачи для подготовки к экзаменупо математическому анализудля всех специальностей ИУ (кроме ИУ9), РЛ, БМТНа экзамене студенту выдаётся две задачи, каждая на одну из следующих тем: «пределы»,«сравнение бесконечно больших и бесконечно малых», «непрерывность и точки разрыва»,«геометрические приложения производной и формула Тейлора», «исследование функций». Приподготовке к экзамену рекомендуется прорешать следующие задачи.1.

Вычислить предел:√√15nx3x22+x− 2−x√1.1. limcos n +; 1.2. lim−; 1.3. lim √;2−1n→∞x→∞x→0 3 2 + x − 3 2 − x2n3n+72x2x+1√√x+ x−1−1x−αsin 2x − tg 2xπx√1.4. limsin;1.6. lim;1.5. lim tg;2x→1x→0x→α2α2x3x −1r111+x; 1.9. lim (2x − 7) · ln(3x + 5) − ln(3x − 1) ;1.7. limπ (sin x) cos x ; 1.8. lim lnx→0 xx→+∞x→ 21−x x2 3x1e −11 + x12ln2011 x1.10. lim· arccos x;1.11. lim;1.13.

lim;x→0x→+∞x→+∞ x2011πex27x7 + 4x4 + 1tg(4x4 + x2 ) + ex − cos 2x;1.12. lim;1.14.limx→∞ (x − 2)3 (4x + 5)2 (3x − 1)2x→0ln(1 + 2x2 )23x + 7x2 + cos 5x + arctg x5 + e−x√1.15. lim.x→∞x4 + 8x32. Доказать, что предел не существует:12.1. lim cos √;3x→0x√2.2. limx→0x2 + x3;x2.3. lim 3x .x→∞3. Выделить главную часть б.м. функции или б.б. функции:√√3.1. f (x) = sin( x + 2 − 2) при x → 0;3.2. f (x) = tg x − sin x при x → 0;p13.3. f (x) = lg x при x → 1;3.4. f (x) = (2x + 1) arctg √при x → ∞.x+3q√34. Определить порядок малости α(x) = 1 + 3 x − 1 относительно β(x) = x при x → 0.5.

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер:x5.1. f (x) = 2 9−x2 ;5.2. f (x) =x5.4. f (x) = (2 + x) · arctg;(2 − x)(1 − x2 )1x < 0,cos ,x5.6. f (x) =π arctg, x > 0;π−x51/x − 1;51/x + 1|2 + x|5.5. f (x) =;arcsin(2 + x) √x2 + x3,x < 1,x5.7. f (x) =1/x2 , 1 6 x < 2,√2,x > 2.1;x ln |x − 1|5.3. f (x) =6.