Семестр_3_Лекция_14_15 (Все лекции по физике в пдф), страница 2

Илиw = εε 0 E02 sin 2 ( ωt ∓ kz + α ) =εε 0 E021 − cos ( 2 ( ωt ∓ kz + α ) ) ,2()объёмная плотность энергии в плоской электромагнитной волне тоже является плоской волной,но с удвоенной частотой. Фазовая скорость волны энергии равна vЭ =ωЭ 2ω== v фазовой скоkЭ 2kрости электромагнитной волны.Средняя плотность энергии, переносимая плоской электромагнитной волной11< w >= µµ 0 H 02 = εε 0 E02 .22Изменение объёмной плотности энергии электромагнитного поля в данной точке ∂E  ∂H ∂w= εε 0  E,  + µµ 0  H ,.∂t∂t  ∂t Воспользуемся уравнениями Максвелла ∂D ∂B∂H∂Erot E = −= −µµ 0, rot H = j += j + εε 0.∂t∂t∂t∂t( )( )Откуда∂H∂Eµµ 0= − rot E , εε 0= rot H − j .∂t∂t( )( )Тогда∂w  ∂E   ∂H=  E,εε0 +  H ,µµ 0∂t ∂t  ∂t∂w= E,rot H∂t(Используем оператор «набла»: E,rot H − H ,rot E = E, ∇ × H(( )) (( )) ( ( = E, rot H − j − H ,rot E( ( ( ) )) (( )) ( ) ) − ( H ,rot ( E ) ) − ( E, j ) .) ) − ( H ,( ∇ × E ) )Т.к.

оператор «набла» - это оператор дифференцирования и для любого произведения∇ ( f ⋅ g ) = g ⋅∇ ( f ) + f ⋅∇ ( g ) ,7Семестр 3. Лекции 14_15 то ∇ , E × H( ( ) ) = − ( E,( ∇ × H ) ) + ( H ,( ∇ × E ) ) ,т.е.( E,rot ( H )) − ( H ,rot ( E )) = −div ( E × H ) .Поэтому ∂w= − div E × H − E, j .∂t() ()Проинтегрируем это выражение по объёму некоторой области V, в которой есть электромагнитное поле:− ∫∫∫V ∂wdV = ∫∫∫ div E × H dV + ∫∫∫ E, j dV∂tVV(Если область не движется, то)∂w(d∫∫∫ ∂t dV = dt ∫∫∫ wdV =VV)dW, где W = ∫∫∫ wdV энергияdtVэлектромагнитного поля в области V.1По закону Ома j = γE или E = ρj , где ρ = - удельное сопротивление среды. Поэтомуγ выражение E, j = ( ρj , j ) = ρj 2 - это дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца. Тогда() dQ∫∫∫ ( E, j ) dV = ∫∫∫ ρj dV = dt2VV- мощность выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) в области V.

По теореме Остроградского-Гаусса ∫∫∫ div E × H dV = E×H,dS,∫∫((()V) )Sгде S – ориентированная наружу поверхность, являющаяся границей области V. Вектор Π = E × H (Π - буква «пи») называется вектором Пойнтинга (Джон Генри()Пойнтинг - британский физик (1852 - 1914)).

Окончательно получим равенство, называемоетеоремой Пойнтинга− dQdW=Π∫∫S ,dS + dt .dt()Скорость изменения энергии электромагнитного поля в некоторой области равна, с обратнымзнаком, сумме мощности выделения теплоты (по закону Джоуля-Ленца) и потока вектораПойнтинга через границу области, ориентированную наружу.8Семестр 3. Лекции 14_15Если в области нет тепловыделенияdQ= 0 , то в случае, когда векторное поле Π на граdtнице S направлено внутрь области поток отрицателенdW∫∫ ( Π ,dS ) < 0 , а dt > 0 - энергия обласSти увеличивается. И наоборот, если поток вектора Пойнтинга направлен наружу из области V,т.е.dW∫∫ ( Π ,dS ) > 0 , то dt < 0 - энергия в области убывает.SРассмотрим область, в которой распространяется плоская электромагнитная волна.Предположим, что в области нет выделения теплоты по законуS⊥EДжоуля-Ленца.

Выделим в области малую площадку S⊥, перпендикулярную вектору Пойнтинга и найдём поток вектор ПойнтингаПчерез эту площадку за малое время dt. Так как скорость волны объёмной плотности энергии равна фазовой скорости электромагнит-Hv⋅dtной волны v, то количество энергии, прошедшей через площадкуравно энергии в объёме прямого цилиндра с площадью основанияS⊥ и высотой vdt:∫∫ ( Π ,dS ) = −S ЦИЛdWwdVwS vdt=−=− ⊥= − wvS ⊥dtdtdtПоверхность цилиндра ориентирована наружу, а вектор Пойнтинга направлен внутрь цилиндра, поэтому ∫∫ Π ,dS = −ΠS⊥ .

Тогда из равенства −ΠS⊥ = −wvS⊥ следует Π = wv . В векторном()S ЦИЛвиде можно записать равенствоΠ = wv .(Из этой формулы следует, что вектор Пойнтинга направлен по движению волны.)Следовательно, вектор Пойнтинга – это вектор Умова-Пойнтинга, соответствующийэлектромагнитной волне. Поэтому физический смысл вектора Пойнтинга состоит в том, что онуказывает направление потока энергии, а его величина равна плотности мощности потока энергии.Пример. Рассмотрим часть цилиндрического проводника длиной l и площадью поперечного сечения S⊥, по которой протекает постоянный электрический ток. Предположим, что величина плотности тока j постоянна в сечении проводника, поэтому сила тока равнаI = jS⊥ .9Семестр 3.

Лекции 14_15E 1 По закону Ома j = γE = E , где ρ - удельное сопротивлениеρпроводника. На поверхности проводника вектор H направ-Ejлен по касательной к силовой линии Г, а его величинаHГПH=ПdSHI,2πrгде r – радиус проводника. Направления H и j согласованы правилом буравчика, и направлены перпендикулярно друг другу, но j E , поэтому H ⊥ E .

То гда на поверхности проводника вектор Пойнтинга Π = E × H направлен вглубь проводника, т.е.против вектора dS . Найдём поток вектора Пойнтинга через (боковую) поверхность проводни-ка.∫∫ ( Π ,dS ) = − ∫∫S БОКОВΠ dS = −S БОКОВ∫∫EHdS .S БОКОВЗдесь учтено, что Π = EH sin 900 = EH и что векторы dS и Π направлены противоположно.Т.к. E = jρ =Iρ , S БОКОВ = 2πrl , тоS⊥∫∫ ( Π ,dS ) = − EH ∫∫S БОКОВгде R = ρdS = −S БОКОВIIlρ2πrl = − I 2ρ= −I 2 R ,S⊥ 2πrS⊥lэлектрическое сопротивление проводника. Итак, поток вектора Пойнтинга черезS⊥боковую поверхность проводника равен по величине мощности тепловыделения в проводнике(по закону Джоуля-Ленца):dQ∫∫ ( Π ,dS ) = − dt .S БОКОВСледовательно, − dQdW=Π ,dS += 0 - энергия электромагнитного поля в проводнике не∫∫dtdtS()меняется.♣Рассмотрим в некоторой инерциальной системе отсчёта плоскую электромагнитную волну, движущуюся вдоль оси Z.

Следовательно, вектор Пойнтинга Π тоже направлен вдоль осиZ. Пусть SZ - малая площадку, перпендикулярная оси Z (и вектору Пойнтинга). Предположим,что волна полностью поглощается веществом этой площадки. Как известно, в электромагнитном поле на тела действуют силы, создающие давление, равное по величине объёмной плотности энергии p=w. Поэтому величина силы, действующей на площадку равна F=pSZ. Вектор этойсилы направлен перпендикулярно площадке в направлении движения волны, т.е. вдоль оси Z,10Семестр 3. Лекции 14_15поэтому можно написать, что FZ=pSZ . За малый промежуток времени dt импульс этой силы будет равен FZ dt = pS Z dt =wS Z vdt dW=, где dW = wS Z vdt - величина энергии волны, поглощенvvной площадкой за время dt, а v – фазовая скорость волны.

Импульс силы, действующей на площадку, равен изменению импульса этой площадки вдоль оси Z: dPZ =dW.vЕсли предположить, что импульс площадки до падения на неё электромагнитной волныбыл равен нулю, то, спустя некоторый промежуток времени, у площадки появится импульс, величина которого прямо пропорциональна величине энергии, поглощенной за этот промежутоквремени:P=W.vЕсли рассматривать систему волна-площадка как замкнутую, то в этой системе импульс сохраняется, следовательно, изменение импульса площадки равно изменению импульса волны. Таким образом, электромагнитной волне следует приписать величину импульса P, величина которого связана с энергией W, переносимой волной с фазовой скоростью, соотношениемP=W.vТогда единице объёма волны можно приписать величину удельного импульсаP W w==V vV vΠ.

Поэтому единичный объём электромагнитнойНо из выражения Π = wv следует, что w =vΠволны обладает импульсом, величина которого PУД = 2 . Поэтому в векторном видеv Π E×HPУД = 2 =.vv2PУД =Замечание. Из результатов, полученных в СТО, следует соотношение между энергией W, импульсом P и массой покоя m0 материальных телW 2 − P 2 c 2 = m02 c 4 .В вакууме скорость электромагнитной волны равна c, поэтому для импульса и энергии некоторого объёма волныP=W.cСледовательно, масса покоя электромагнитного поля в этом объёме волны равна нулю m0 = 0 .11Семестр 3.

Лекции 14_15За малый промежуток времени dt изменение импульса ориентированной площадки SZ,полностью поглощающей электромагнитную волну, равно dPZ =dW. Но, при отсутствии тепvловыделения (по закону Джоуля-Ленца) из теоремы Пойнтинга следует равенство− dW=Π ,dS .∫∫dtS()Здесь S – это замкнутая поверхность, внутри которой находится рассматриваемая площадка SZ.В случае полного поглощения электромагнитной волны вектор Пойнтинга отличен от нулятолько на площадке SZ, поэтому∫∫ ( Π ,dS ) = ∫∫ ( Π ,dS ) .SSZПри этом вектор Пойнтинга перпендикулярен к площадке SZ, т.к. по условию он направленвдоль оси Z: Π = ( 0 ,0,Π Z ) . Следовательно,∫∫ ( Π ,dS ) = ∫∫ ( Π ,dS ) = ∫∫ ΠSSZZ cos Π ,dS dS .()SZЕсли вектор Пойнтинга представить в виде сумме координатных векторов Π = Π X + Π Y + Π Z , где Π X = ( Π X ,0,0 ) , Π Y = ( 0, ΠY ,0 ) , Π Z = ( 0,0,Π Z ) ,то будет справедливым соотношение ∫∫ Π Z ,dS = ∫∫ Π Z ,dS = ∫∫ Π Z cos Π ,dS dS .()(S)(SZ)SZпоэтому в данном случае∫∫ ( Π ,dS = Π,dS∫∫ Z .)S()SПоэтому изменение импульса площадки вдоль оси Z равноdPZ1=− Π,dS.Zdtv ∫∫S()Слева стоит мгновенное изменение импульса площадки вдоль оси Z.

Так как система отсчётаинерциальная, то справа, по второму закону Ньютона, должна стоять проекция суммы сил, действующих на площадку со стороны электромагнитной волны, на это же направление Z:FZ = −1Π,dS,Z∫∫Sv()где v – фазовая скорость волны (в вакууме v=c), S – ориентированная (наружу) замкнутая поверхность, внутри которой находится площадка.Пример.

На поверхность шара радиуса R, находящегося в вакууме, падает плоская электромагнитная волна. Длина волны много больше радиуса шара λ>>R. Найти силу, действующую на12Семестр 3. Лекции 14_15шар в случае полного поглощения им волны. Максимальная напряженность электрического поля в волне равна Е0.Введём ось Z вдоль направления падения волны. Тогда вектор Пойнтинга Π = Π Z = ( 0,0, Π ) .