Семестр_3_Лекция_14_15 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекции 14_15Лекция 14-15. Электромагнитные волны.Волновое уравнение для электромагнитного поля, его общее решение. Распространения электромагнитных волн. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга. ТеоремаПойнтинга.Рассмотрим уравнения Максвелла в вакууме, в условиях отсутствия зарядов и токов. При ρ=0, j = 0 , ε=1, µ=1 уравнения в дифференциальной форме примут вид∂BdivD = 0 , rotE = −,∂t ∂DdivB = 0 , rotH =.∂t Учитываем материальные уравнения D = ε0 E , B = µ 0 H и получаем систему уравнений(1)div E = 0( )∂HrotE = −µ 0∂tdiv H = 0( )∂ErotH = ε 0∂t(2)(3)(4)∂∂2HНачинаем преобразования уравнений (2) и (4):rotE = −µ 0 2 , откуда∂t∂t ∂E ∂2 Hrot (5) = −µ 0 2∂t ∂t 1∂2H∂E 1Т.к. из (4) следует, что= rotH , то равенство (5) примет вид rot  rotH  = −µ 0 2 или∂t ε 0∂t ε0∂2 Hrot rotH = −ε0µ 0 2(6)∂tНо, как известно из лекции № 13 rot rot H = grad div H − ∆H , поэтому с учётом (3),((( ( ))))( ( ))уравнение (6) равносильно уравнению ∂2H1∆H = 2ε 0µ 0∂t(7)1∂H= − rotE ,Аналогичные преобразования можно провести для вектора E : из (2) следует∂tµ01Семестр 3.

Лекции 14_15∂2E ∂из (4) следует ε0 2 =rot H∂t∂t( ( ))Учитывая (1), получаем rot rot E ∂H= rot  ∂t( ( )) 11 = rot  − rotE  = − rot rotE ,µ0 µ0= grad div E − ∆E = −∆E , поэтому()( ( )) ∂2 E1∆E = 2ε 0µ 0∂t(8)Полученные уравнения (7) и (8) имеют вид волнового уравнения – они описывают распространение плоских электромагнитных волн. Сразу можно сказать, что фазовая скоростьэлектромагнитной волны в вакууме равна c =1≈ 3 ⋅108 м/с и совпадает со значением скоε 0µ 0рости света в вакууме.При распространении электромагнитных волн в среде с постоянными значениями ε и µ,выражение для фазовой скорости примет вид v =1cc== , где величина n = εµ наε 0 εµ 0µεµ nзывается показателем преломления среды.Замечание.

Предположение о постоянстве значений ε и µ приводит к расхождению с опытнымизначениями показателя преломления. Например, для воды ε≈81 и µ≈1, что даёт значение расчётное n≈9. Однако, экспериментально определено значение n≈1,5. Несовпадение объясняетсявозможной зависимостью ε и µ от частоты и других параметров волны.Волновое уравнение является линейным, в том смысле, что любая линейная комбинациярешений тоже является решением. Отсюда, как известно из предыдущего семестра, следуетпринцип суперпозиции для волновых полей – наложение волновых полей является волновым полем. Поэтому выделяют «простейшие» волновые поля – поля (или волны), соответствующиеопределённым частотам.

Такие «простейшие» волны, определенная частота которых постоянная, называются монохроматическими.Пример. Электромагнитная волна, частоты колебаний векторов в которой равны 1000 Гц и 2000Гц является суперпозицией двух монохроматических волн с частотами 1000 Гц и 2000 Гц.♣В декартовых координатах волновые уравнения (7) и (8) имеют вид 2  ∂ 2 H X ∂ 2 H X ∂ 2 H X  ∂ 2 H X  2  ∂ 2 EX ∂ 2 EX ∂ 2 EX  ∂ 2 EX++=++=v v 222 2222 ∂x∂y∂z∂t∂x∂y∂z∂t 2  ∂ 2 H  ∂ 2 E∂ 2 HY ∂ 2 HY  ∂ 2 HY∂ 2 EY ∂ 2 EY  ∂ 2 EY22YY++, v  2 ++v ==2∂y 2∂z 2 ∂t 2∂y 2∂z 2  ∂t 2  ∂x  ∂x  ∂2 H∂ 2 H Z ∂ 2 H Z  ∂ 2 H Z  2  ∂ 2 EZ ∂ 2 EZ ∂ 2 EZ  ∂ 2 EZZv 2 ++++v ==∂y 2∂z 2 ∂t 2∂y 2∂z 2  ∂t 2  ∂x 2  ∂x 22Семестр 3.

Лекции 14_15Эти уравнения описывают распространение плоских волн. Пример записи решения для первыхуравнений каждой из систем H X = H 0 X sin ωH t ∓ k H ,r + α H , E X = E0 X sin ωE t ∓ k E ,r + β H(())(())(индекс «Е» соответствует параметрам напряженности электрического поля, а «Н» - магнитно го) где в соответствующей волне k ,r = k x x + k y y + k z z , r = ( x, y,z ) радиус-вектор точки, где( )находится волна, а для координат волнового вектора k = ( k x ,k y ,k z ) справедливо соотношениеωk := k = k x2 + k y2 + k z2 = .vЗнак «-» соответствует «убегающей» волне, а знак «+» - набегающей.Обратим внимание на тот факт, что волновые уравнения для каждой из координат векторов E и H независимы друг от друга, поэтому общее решение можно рассматривать как суперпозицию решений для координат векторов.При этом решения волновых уравнений согласованы.

Т.е. определённому решению одного из волновых уравнений для какой-то координаты вектора напряжённости электрическогополя соответствует определённое решение одного из волновых уравнений для координат вектора напряжённости магнитного поля, и наоборот.Поэтому можно искать решения, соответствующие, например, вектору E = ( E X ,EY ,EZ ) .Но согласно принципу суперпозиции волновых полей, решение, соответствующее векторуE = ( E X ,EY ,EZ ) можно найти как суперпозицию решений, соответствующих векторамE1 = ( E X ,0,0 ) , E2 = ( 0,EY ,0 ) , E3 = ( 0,0 ,EZ ) .Аналогично, можно искать решения по вектору напряжённости магнитного поляH = ( H X ,H Y ,H Z ) .Пример. Найдем решения для случая, когда волна движется вдоль оси z, а вектор напряжённости электрического поля имеет координаты E = ( Е X , 0, ЕZ ) , зависящие только от z.

Волна вэтом случае является суперпозицией волновых полей векторов E1 = ( E X ,0,0 ) и E3 = ( 0,0 ,EZ ) .Система волновых уравнений в декартовых координатах примет вид 2vv 2∂ 2 EX ∂ 2 EX=∂z 2∂t 2∂ 2 EZ ∂ 2 EZ=∂z 2∂t 2Так как ищем решения в виде волны, то будем предполагать, что в рассматриваемой области нет постоянных во времени электрического и магнитного полей.

Т.е. если при решении3Семестр 3. Лекции 14_15получается постоянное значение какой-то координаты векторов E или H , то это значениеможно считать равным нулю.∂EZУравнение (1) div E = 0 примет вид= 0 , откуда EZ не зависит от координат, но,∂z( )возможно, зависит от времени. Но эта координата должна также удовлетворять волновому∂ 2 EZ ∂ 2 EZ=уравнению v. Поэтому EZ = const - т.е. поле постоянное, откуда EZ = 0 .∂z 2∂t 2∂HИз уравнения (2) rotE = −µ 0, с учётом EZ = 0∂teX eY eZ∂∂∂ ∂H X ∂H Y ∂H Z = −µ 0 eX +eY +eZ ∂x ∂y ∂z∂t∂t ∂tEX 002остаются равенства∂H X∂E X∂H Y∂E X∂H Z= 0,= −µ 0,= −µ 0.∂t∂z∂t∂y∂tКоордината H X не зависит от времени, но, так как она должна являться решением волновогоуравнения ∂2 H X ∂2 H X ∂2 H X  ∂2 H Xv ,++=2∂y 2∂z 2 ∂t 2 ∂x2то H X = const , поэтому H X = 0 .Искомые координаты векторов E и H зависят только от z, следовательно, должно быть∂E X∂H Z= 0 , поэтому из третьего равенства следует= 0 и, по аналогии, H Z = 0∂y∂t∂H Y∂EУравнение (3) div H = 0 примет вид= 0 .

Уравнение (4) rotH = ε 0∂y∂t( )eX∂∂x0даёт соотношение −4eY∂∂yHYeZ∂∂E = ε0 X eX∂z∂t0∂H Y∂E= ε 0 X . Получаем систему∂z∂tСеместр 3. Лекции 14_15∂H Y ∂E X ∂z = −µ 0 ∂t,− ∂H Y = ε ∂E X0∂t ∂z2∂ 2 HY ∂ 2 HY∂ 2 EX2 ∂ EX=иv=.∂z 2∂t 2∂z 2∂t 2Следовательно, вектору напряжённости электрического поля E1 = ( E X ,0,0 ) соответствует вектор напряженности магнитного поля H 2 = ( 0,H Y ,0 ) .Поэтому вектору E2 = ( 0,EY ,0 ) будет соответствовать вектор H1 = ( H X ,0 ,0 ) .Но векторам E3 = ( 0,0 ,EZ ) и H 3 = ( 0,0 ,H Z ) не соответствует никакая плоская электро-откуда можно опять получить волновые уравнения v 2магнитная волна, распространяющая вдоль оси ZЗаключение по результатам примера.1) Плоская электромагнитная волна является поперечной.Действительно, из примера следует, что продольные составляющие (вдоль направлениядвижения волны - оси Z) векторов напряжённостей электрического и магнитного полей равнынулю ЕZ = 0 и H Z = 0 .Векторы E = ( Е X ,0,0 ) и H = ( 0,H Y ,0 ) направлены перпендикулярно друг другу и перпендикулярно направлению движения волны.

Если направление движения волны вдоль оси Z задать волновым вектором k = ( 0,0,k ) , то можно сказать что тройка векторов E,H ,k являет-()ся правой.2) Колебания напряженностей электрического и магнитного полей в любой точке плоской волны происходят с одинаковой фазой.Действительно, пусть решения волновых уравнений имеют видE X = E0 sin ( ωE t ∓ k E z + β E ) , H Y = H 0 sin ( ωH t ∓ k H z + α H ) .Тогда, например, из равенства∂E X∂H Y= −µ 0следует, что∂z∂t∓ k E E0 cos ( ωE t ∓ k E z + β E ) = −µ 0 ωH H 0 cos ( ωH t ∓ k H z + α H )Это равенство возможно, только если фазы волн равны с точностью до π.5Семестр 3. Лекции 14_15Откуда ωE = ωH , т.е. колебания происходят с одинаковой частотой, и, так как фазовыескорости одинаковые, то равны и волновые числа k E = k H .Из равенства амплитуд k E E0 = µ 0 ωH H 0 следует соотношение H 0 =фазовая скорость волны (в вакууме) v = c =kEω 1E0 = EE0 .

Ноµ0ωH µ 0 vεµε1, поэтому H 0 = 0 0 E0 = 0 E0 .µ0µ0ε 0µ 0При распространении плоской электромагнитной волны в среде с постоянными значениями ε и µ, величины напряженностей магнитного и электрического полей связаны соотношениемH=εε 0E.µµ 0Отношение амплитуд напряжённостей электрического и магнитного полей называетсяволновым сопротивлением среды Z 0 =Для вакуума (ε=1, µ=1) Z 0 =E0µµ 0=.

Единица измерения Ом.εε 0H0µ0≈ 4π ⋅10-7 ⋅ 36π ⋅109 = 120π ≈ 377 Ом.ε0Объёмная плотность энергии в плоской волне сумме объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полейw = wЭ + wМ .Из соотношения амплитуд следует, что объёмные плотности энергии электрического имагнитного полей в плоской волне равны друг другу. Действительно,EXkYH6ZСеместр 3. Лекции 14_152µµ H 2 µµ 0  εε 0  εε 0 E 2wM = 0=E == wЭ .22  µµ 0 2Таким образом, энергия плоской волны равномерно распределена на электрическую имагнитную части. По аналогии с МКТ, иногда говорят, что плоская электромагнитная волна обладает двумя степенями свободы.Поэтому w = wЭ + wМ = µµ 0 H 2 = εε 0 E 2 .