Семестр_3_Лекция_09_10 (Все лекции по физике в пдф), страница 2

Лекции 9-10.Замечание. Пусть рассматриваемый движущийся проводник является частью замкнутой (неразветвлённой) цепи, остальная часть которой покоится. И пусть в этой цепи есть элемент с ЭДСεИСТ. Тогда закон Ома для этой замкнутой цепи будет иметь видI=εОБЩRОБЩ=εИСТ± εiRОБЩ.Появление дополнительной ЭДС в замкнутой цепи приведет к изменению силы тока, поэтомупредположение о постоянной силе тока нельзя отбросить.Замечание.

Из выражения для равенства работ δAСТ = δAA иливыражение для величины ЭДС, индуцируемой в проводникеεi Idt = Id Φεi = d ΦdtBBможно получить.Контур с током в магнитном полеРассмотрим прямоугольный (ориентированный) контур 12341 с постоянным током, находящийся в однородном магнитном поле. Направление нормали контуру и направление тока вконтуре согласованы правилом правого винта (буравчика). Пусть сила тока в контуре I, B – величина индукции магнитного поля, α - угол между нормалью к контуру и вектором B .

Пустьдлина стороны 12 равна a, а стороны 23 – b.Рассмотрим несколько различных случаев.1) Пусть угол α=0, т.е. векторы B и n сонаправлены.BF41IНа стороны прямоугольника действуют силыF3443F23InIплоскости и растягивают контур. Сумма сил равна нулевомуI21вектору, и суммарный момент сил – тоже нулевой вектор.F12Если угол α=π, то силы сжимают контур.2) Пусть α=π/2 и вектор B параллелен стороне 12. В этом слу-O2F41 4I1F12 = F34 = IBa , F23 = F41 = IBb . Векторы всех сил лежат в однойnO2чае F12 = F34 = 0 , F23 = F41 = IBb . Сумма сил равна нулевомуМ3I2BF23вектору, но суммарный момент сил равен моменту пары сил(например, относительно оси О1О2)aaM O1O2 = F23 ⋅ + F41 ⋅ = IBba . А вектор момента сил M лежит22на оси О1О2 (т.к.

векторы сил стремятся развернуть контур вокруг этой оси).Напоминание – направление вектора момента силы вдоль оси согласовано с возможным направлением поворота под действием силы вокруг этой оси правым винтом.6Семестр 3. Лекции 9-10.3) Рассмотрим случай, когда вектор B направленZBZкоординат, начало которой поместим в центреα43BYnIпроизвольным образом. Введём декартову системуBпрямоугольника, ось Z направлена вдоль нормали,YBX12Xа стороны параллельны осям X и Y.Тогда в координатной записи B = ( BX ,BY ,BZ ) .Расписываем проекции моментов сил на осиM X = IBY ab , M Y = − IBX ab , M Z = 0 .

Для этого контура вектор магнитного момента равенpm = nIS = nIab , его координаты pm = ( 0,0,Iab ) .Утверждение. Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле равенM = pm × B()Доказательство. Это утверждение легко проверить в введённой декартовой системе координат.eXeYeZeX eY eZ0 Iab = eX IBY ab − eY IabBX .♣Действительно M = pm × B = pmX pmY pmZ = 0()BXBYBZBXBYBZСледствие. Величина момента сил, действующих на контур с током в магнитном поле равнаM = pm B sin α = ISB sin α .Отсюда следует, что вектор момента силы равен нулю в двух случаях: при α=0 и α=π.

Но положение равновесия при α=π является неустойчивым. Следовательно, момент сил стремитсяразвернуть контур так, чтобы вектор магнитного момент был сонаправлен вектору индукциимагнитного поля.Пример. Рассмотрим заряженное тонкое кольцо, которое вращается в магнитном поле вокругоси кольца (проходящей через центр, перпендикулярно плоскости). Радиус кольца R, заряд q<0,масса m, угловая скорость ω.

Угол между осью вращения и вектором индукции магнитного Bполя равен α.Решение. Найдем силу тока, создаваемого вращающимся заря-Zpmженным кольцом. Через любое поперечное сечение кольца весьBзаряд q пройдёт за время полного оборота Т, поэтомуIn1Yqω=qT2πТ.к. заряд кольца отрицательный, то положительное направле-n2XI=Lние для тока – против направления вращения кольца. Этот токсоздаёт магнитный момент7Семестр 3. Лекции 9-10.R2ωpm = n1 IS = n1 I πR 2 = n1 qπR 2 = n1 q ω,2π2где направление вектора единичной нормали n1 согласовано с направлением тока правиломбуравчика.Но у вращающего кольца есть и (механический) момент импульса L = I Z ωn2 , направленный вдоль оси вращения так, что его направление согласовано с направлением вращения правилом буравчика.

Здесь I Z = mR 2 - момент инерции кольца относительно сои вращения, а направление вектора единичной нормали n2 согласовано с направлением вращения правилом буравчика. Т.е. векторы n1 и n2 направлены вдоль оси вращения, но в противоположных направлениях n1 = − n2 .Введём декартову систему координат, ось Z которой направлена вдоль вектора магнитной индукции B , тогда можно записать в координатной форме B = ( 0,0,B ) , n2 = ( x, y,z ) ,n1 = ( − x, − y, − z ) .dL = M ВНЕШ .Рассмотрим основное уравнение динамики вращательного движенияdtНа контур с током в магнитном поле действует момент внешних сил M ВНЕШ = pm × B , вектор()которого направлен перпендикулярно к вектору pm .

Но векторы pm и L лежат на одной прямой (только направлены в разные стороны), поэтому векторы M ВНЕШ и L тоже перпендикулярны друг другу. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю M ВНЕШ ,L = 0 . Поэтому()2  dL  dL  1 d 1 d ( L )M ВНЕШ ,L = ,L  = 0 , откуда ,L  =L,L == 0 , т.е. величина вектора L2 dt dt  dt  2 dtостаётся постоянной. Но L = I Z ω n2 = I Z ω = const , следовательно, величина угловой скорости()()dLвращения кольца тоже постоянная ω = const . Подставим в уравнение= pm × B соответстdt(вующие величиныdR2 2 mRωn=ωq n1 × B(2)dt2(илиq d n1 × B .( n2 ) =dt2m(8)))Семестр 3. Лекции 9-10.eXeYeZ Но n1 × B = − x − y − z = −eX yB + eY xB , поэтому в координатной форме получаем следующие00 B()три уравненияqBdxdy q Bdz=−y,=x,=0.dt2mdt 2mdtИз первого и второго уравнений2q B dyqB qB q Bd2xx+=−=−x или  x=0,2dt2m dt2m 2m 2m 2qB qB q Bd 2 y q B dx==−y или y+ y = 0.2dt2m dt2 m 2m 2m Рассмотрим на плоскости (X, Y) точку А,координаты которой (x, y).

Т.е. точка А со-Zответствует проекции конца вектора нормали n2 к контуру на плоскость (X,Y). ИзBpmMВНЕШуравнений следует, что эта точка одновре-n1менно совершает два взаимно перпендику-IIAωAAYты которых одинаковые (т.е. траекторияэтой точки – фигура Лиссажу). Следова-dn2dtXлярных колебания в этой плоскости, часто-pmAn2Lтельно, траектория точки А в плоскости(X,Y) – либо отрезок прямой, либо (в данном случае) окружность. Из третьего урав-нения следует, что Z-координата векторанормали n2 не меняется, т.е.

угол между вектором индукции и нормали к контуру остаётся постоянным, поэтому траектория – окружность. Таким образом, векторы n2 и n1 вращаются вокруг вектора B так, что «заметают» поверхности конусов, осью которых является вектор индукции. Это значит, что у контура появляется дополнительное вращение вокруг вектора B сциклической частотой ω A =qB. Из уравнения динамики вращательного движения следует,2mdn2что векторнаправлен также как и M ВНЕШ , поэтому направление вращения вектора n2 (иdtточки А) происходит против направления основного вращения кольца. Это вращение приведёт9Семестр 3. Лекции 9-10.к тому, что появится составляющая тока IA, параллельная плоскости (XY) и поэтому возникнетдополнительный магнитный дипольный момент pmA , направленный против вектора B .Т.к.

на плоскости (XY) вращающееся кольцо проецируется во вращающийся эллипс сглавными полуосями a = R , b = R cos α , и который «заметает» площадь S A = πR 2 , то величинадополнительного магнитного моментаpmA = I A S A =qqq q B 2  q2 2 πR 2 =ω A πR 2 =R =R B.2π2 2mTA 4m Таким образом, у кругового (незакрепленного) проводника с током в магнитном поле появляется дополнительный магнитный момент, вектор которого направлен против индукции внешнегомагнитного поля B , а величине пропорциональна B.Замечание. Движение оси кругового тока вокруг направления магнитного поля называется прецессией, частота прецессии магнитного момента называется Ларморовой частотой.10.