Семестр_3_Лекция_09_10 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекции 9-10.Лекции 9-10. Проводники с током в магнитном поле. Теорема Гаусса для магнитного поля.Закон Ампера. Магнитный момент контура с током. Контур с током в магнитном поле. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля в интегральной идифференциальной формах. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.СИЛА АМПЕРАОпыт показывает, что на прямолинейный проводник с током воднородном магнитном поле действует сила, зависящая от силы тока,dlBIαиндукции магнитного поля, длины проводника и положения проводника относительно силовых линий магнитного поля.

Вектор этой си-FАdlлы направлен перпендикулярно проводнику. Эта сила называется силой Ампера.Если рассмотреть малый участок тонкого проводника длинойdl, по которому течёт ток силой I, то в магнитном поле с индукцией Вна него будет действовать сила, вектор которой определяется соотношением: FA = I dl × B .()здесь, как и ранее, dl - это вектор, направленный по касательной к линии тока в положитель ном направлении для тока, длина этого вектора равна длине проводника.

Векторы dl ,B,FA()образуют правую тройку векторов. Величина силы FA = IB sin αdl , где α - угол между векторами dl и B .Электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц, а вмагнитном поле на движущиеся заряженные частицы действует магнитная сила Лоренца. Найдем векторную сумму этих сил для малого тонкого проводника длиной dl.Рассмотрим проводник, который покоится в некоторой системе отсчёта. Пусть площадьпоперечного сечения проводника равна S⊥. Предположим, что проводник тонкий, поэтомуплотность тока вдоль поперечного сечения можно считать постоянным вектором j = qn < v > .Сила тока в проводнике I = jS⊥ = qn < v > S⊥ . На каждый носитель тока действует одинаковаямагнитная сила Лоренца Fq = q < v > × B .

Количестве носителей в объёме проводника длиной()dl и площадью поперечного сечения S⊥ равно N = nS⊥ dl . Поэтому вектор суммарной силыN FΣ = ∑ Fk = NFq = nS ⊥ dlq < v > ×B = qnS ⊥ < v > dl × B = I dl × B .(k =1)() ()Здесь опять (см. лекцию 8) был введён вектор dl , такой, что выполняется равенство1Семестр 3. Лекции 9-10.< v > dl =< v > dl .Замечание. В металлическом проводнике носителями тока являются отрицательно заряженныеэлектроны.

Хоть электроны и движутся против положительного направления для тока, но вектор магнитной силы Лоренца, действующей на них, направлен так же, как если бы носители тока были положительно заряженными частицами.Полученное выражение для суммарной силы совпадает с выражением для силы Ампера.Таким образом, можно сказать, что сила Ампера – это суммарная магнитная сила Лоренца, действующая на носители тока в покоящемся проводнике.Пример.

Найдем величину силы взаимодействия двух бесконечных параллельных прямых проводников с токами I1 и I2 (на единицу длины),расстояние между которыми равно b.bРешение. Каждый из проводников создаёт вокружающем пространстве магнитное поле,I1силовые линии которого – окружности (в пер-F21I2пендикулярной плоскости) с центром на осипроводника. Рассмотрим проводник с током I2.B1Он находится в магнитном поле проводника стоком I1, индукция которого на расстоянии bравна B1 =µ 0 I1.

Вектор индукции B1 направ2πbлен перпендикулярно проводнику. Тогда на часть этого проводника длиной l действует силаАмпера, величина которой F21 = I 2lB1 = I 2lмодействия (на единицу длины) Fl =µ0 I1 µ0 I1 I 2=l . Следовательно, величина силы взаи2πb 2π bF21 µ 0 I1 I 2=. Полученное выражение совпадает с закономl2π bАмпера, что говорит о верности проведённых рассуждений.Замечание. Если токи направлены одинаково, то проводники притягиваются, а если противоположно, то отталкиваются.Замечание. Так как электрический ток – это упорядоченное движение заряженных частиц, томожно утверждать, что в пучке частиц движущихся в одинаковом направлении будут действовать силы, стремящиеся сжать пучок.2Семестр 3. Лекции 9-10.МАГНИТНЫЙ ПОТОК.Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через ориентированную поверхность S называется величина Φ B = ∫∫ B,dS .

Единицы измеренияnα BS()магнитного потока Вебер (Вб).В случае, когда площадка – плоская, а магнитное поле – однородное:ΦB=B⋅S⋅cosα, где S – величина площади, B – величина индукции, α - уголмежду нормалью n к площадке контура и вектором B .SТак как силовые линии магнитного поля замкнуты (магнитное поле является вихревым),то силовые линии нигде начинаются и не оканчиваются – поэтому магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю (сколько линий «вошло» внутрь замкнутой поверхности – столько же и «вышло»):∫∫ ( B,dS ) = 0 .SЭто выражение теоремы Гаусса для магнитного поля в интегральной форме.Следовательно, в дифференциальной форме теорема Гаусса имеет вид:div B = 0( )это означает, что в природе нет точечных источников магнитного поля, т.е. положительных иотрицательных магнитных зарядов.Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле.Рассмотрим (металлический) проводник, который поступательно движется с некоторойскоростью u в магнитном поле с индукцией B (предполагаем, что u << c ).

У каждого носителятока появится дополнительная скорость упорядоченного движения u . Т.к. проводник в целомэлектрически нейтрален, то в нём присутствуют и положительные заряды, покоящиеся относительно проводника, и которые тоже будут перемещаться со скоростью u вместе с проводником.Суммарный заряд этих положительных зарядов в объёме проводника равен по величине суммарному заряду электронов. Суммарная дополнительна плотность тока равна в этом случае нулю j ДОП = q+ n+ u + q− n−u = Q+ u + Q−u = 0 .ВFМ_Л_Д-На свободные электроны, помимо силыFq = q < v > ×B , вызванной вектором средней скорости(<v>Iαупорядоченного движения, будет действовать дополнительная магнитная сила Лоренца, вызванная вектором скоростиFМ_Л_Д+u)Fq3Семестр 3. Лекции 9-10.

u FМ _ Л _ Д − = −q u × B .()Так как положительные заряды тоже перемещаются в магнитном поле (вместе с провод ником) то появится дополнительная магнитная сила Лоренца FМ _ Л _ Д + = q u × B .()Магнитные силы Лоренца, действующие на положительные и отрицательные заряды ивызванные дополнительной скоростью u , компенсируют друг другаFМ _ Л _ Д + + FМ _ Л _ Д − = 0 .Поэтому выражение для суммарной магнитной силы Лоренца, действующей на проводник с током, движущийся в магнитном поле, не изменится FA = I dl × B .()Найдём работу этой силы на малом перемещении проводника dr , считая силу тока постоянной δAA = FA ,dr = I dl × B ,dr .) ((() ) Пусть в декартовой системе координат dl = ( dx,dy,dz ) и dr = ( drX ,drY ,drZ ) , а ( eX ,eY ,eZ ) - орты,тогда, т.к( dl × B ) =eXeYeZdxBXdyBYdz ,BZто((drX dl × B ,dr = dxBX) )drYdrZBXBYBZBXBYdyBYdz = − dxBZdrXdydrYdz = drXdrZdxdrYdyBZ drZ = dr × dl ,B .dz(() )(Сначала переставили первую и третью строки, а затем вторую и третью).

Т.е. работу силы Ампера можно записать в виде δAA = I dl × B ,dr = Idt dr × dl ,B .(() )(() ) По определению векторного произведения векторов dr × dl = dS - это вектор, перпен-()дикулярный к векторам dr и dl , а длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах dr и dl . Поэтому dr × dl ,B = B,dS = d Φ B - поток вектора магнитной индукции(() ) ()через эту малую площадку. Следовательно, работа δAA = Id Φ B .В общем случае, при постоянной силе тока I, можно записать выражение для работы силы Ампера AA = I ∫∫ B,dS = I ⋅ Φ B(S4)Семестр 3. Лекции 9-10. где Φ B = ∫∫ B,dS - магнитный поток через поверхность «заметаемую» проводником при его()S движении, при этом в каждый момент времени векторы dr ,dl ,dS образуют правую тройку.() Найдём ещё один раз работу силы Ампера на малом перемещении проводника dr = udt : δAA = FA ,dr = I dl × B ,dr = Idt dl × B ,u .() (() )((uYuZdxdydyBYdz = − u XBZBXuYBY) )Но по свойствам определителя((uX dl × B ,u = dxBX) )dz uZ = − u × B ,dl .BZ(() )(В определителе переставили местами первую и вторую строки – поэтому изменился знак).Следовательно, работа силы Ампера δAA = − Idt u × B ,dl .(() )Перейдём теперь в систему отсчёта, где проводник (в данный момент) покоится.

В этойсистеме отсчёта должно появиться (индуцироваться) дополнительное электрическое поле, напряженность которого обозначим E ′ . Т.к. в «старой» системе отсчёта внешнего электрического поля не было ( E = 0 ), то при переходе к новой системе E′ = E = 0 и E⊥′ = − u × B (см. лекцию()№ 8), поэтому E ′ = E⊥′ + E′ = − u × B .()Это поле не порождается электрическими зарядами, поэтому не является кулоновским, следовательно, сила, действующая на носитель тока в проводнике F ′ = qE ′ является сторонней.

ЭДС (индукции) для этой силы на участке проводника равна ε = E ′,dl = − u × B ,dl . Заi() (() )малый промежуток времени dt при силе тока I через сечение проводника пройдет зарядdQ = Idt , поэтому работа сторонней силы на этом участке проводника будет равна δAСТ = ε dQ = − Idt u × B ,dl .i(() )Это выражение совпадает с выражением для работы силы Ампера: δAСТ = δAA .Т.е. «на самом деле» работу при перемещении проводника в магнитном поле совершаютсторонние силы над носителями тока, возникающие в проводнике при его движении в магнитном поле.Таким образом, можно считать, что проводник «покоится», но при этом появляется дополнительная ЭДС, вызванная движением проводника в магнитном поле.5Семестр 3.