Семестр_3_Лекция_07 (Все лекции по физике в пдф), страница 2

Как2 R2видно она не зависит от радиуса соленоида R.Обсудим расположение силовых линий магнитного поля соленоида (и внутри, и снаружи). Так как магнитное поле соленоида создаётся кольцами, то вектор индукции в каждой точкеполя лежит в продольной плоскости соленоида (любой плоскости, проходящей через ось соленоида).Докажем, что в произвольных точках A1, A2, A3, находящихся на равном расстоянии отоси, вектор индукции B одинаковый по величине и направлен под одинаковым углом к оси.1) Пусть точки A1 и A2 находятся в одном поперечном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает осевой симметрией, то поворотом вокруг оси можно перенести точку A1 в A2 (инаоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).O2−IA1A3IB′(I)B(I)B(-I)A2A2A1O27Семестр 3.

Лекция 7.2) Пусть точки A1 и A3 находятся в одном продольном сечении. Так как магнитное поле соленоида обладает симметрией сдвига вдоль оси, то сдвигом можно перенести точку A1 в A3 (и наоборот). Векторы, находящиеся в этих точках должны перейти друг в друга (т.к. они принадлежат одному векторному полю).Докажем теперь, что вектор индукции магнитного поля соленоида в каждой точке направлен параллельно оси соленоида. Для этого рассмотрим вектор B в произвольной точке поля, считая, что он не направлен параллельно оси соленоида.

Предположим, что при заданномнаправлении тока I он направлен как B ( I ) . Через рассматриваемую точку можно провести осьсимметрии О1О2 поля соленоида и подвергнуть поле повороту на 1800 вокруг этой оси. Приэтом какие-то точки A1 и A2, расположенные симметрично относительно этой оси перейдутдруг в друга, вектор B ( I ) перейдет в симметричный вектор B′ ( I ) , а направление тока I в соленоиде поменяется на противоположное –I.

Но противоположно направленный ток в соленоидедолжен создать в рассматриваемой точке противоположно направленный вектор B ( − I ) . Поэтому вектору B ( I ) должен соответствовать вектор B ( − I ) , не являющийся ему симметричным. Это противоречие можно убрать только в том случае, когда вектор B ( I ) параллелен оси.Следовательно, силовые линии магнитного поляГ1Г278внутри и снаружи параллельны оси соленоида, а величина индукции зависит только от расстояния до оси соле-I,N4ноида.365Рассмотрим циркуляцию индукции векторногополя по некоторому квадратному контуру Г1, который21расположен целиком внутри соленоида так, что одна егосторона лежит на оси. Пусть длина каждой из сторон ∫ ( B,dl ) = ∫ ( B,dl ) + ∫ (Γ11223контура равна L.

Тогда B,dl + ∫ B,dl + ∫ B,dl = B12 L − B34 L = ( B12 − B34 ) L)(34) ()41(вычеркнуты нулевые слагаемые). Но контур не охватывает никакие токи, поэтому B,dl= 0 , откуда B34 = B12 = µ 0 In . Т.к. величина L является произвольной (но L<R), то вели∫()Γ1чина магнитной индукции на любом расстоянии от оси (внутри соленоида) равна величине магнитной индукции на его оси. Таким образом, величина магнитной индукции внутри идеальногосоленоида постоянная и равнаBA = µ 0 In ,8Семестр 3. Лекция 7.где I – сила тока, n – плотность намотки витков. Следовательно, магнитное поле внутри идеального соленоида является однородным.Теперь рассмотрим циркуляцию по квадратному контуру Г2, который расположен так,что одна его сторона лежит внутри соленоида параллельно оси, а противоположная - снаружи.Пусть длина каждой из сторон контура равна L.

Этот контур охватывает витки, число которыхравно N. По виткам текут одинаковые токи в одинаковом направлении, поэтому исходя из ориентации контура и направления токов, получаем B,dl= µ 0 NI .∫()Γ2 Но ∫ ( B,dl ) = ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) + ∫ ( B,dl ) = B56Γ2566778L − B78 L = ( B56 − B78 ) L81При этом внутри соленоида B56 = µ 0 In . Получаем равенство ( µ 0 In − B78 ) L = µ 0 NI , откуда длявеличины магнитной индукции снаружи соленоида B78 = µ 0 In − µ 0ков, по определению, равна n =NI . Плотность намотки витLN, поэтому B78 = 0 . Снаружи идеального соленоида магнитноеLполе отсутствует.У идеального соленоида магнитное поле сосредоточено только внутри соленоида.Тороид – это тонкий проводник, плотно намотанный наповерхность тора (бублика).Магнитное поле тороида обладает осевой симметрией, по-R2этому силовые линии являются концентрическими окружностя-R1ми, с центрами на оси тороида.

Пусть число витков в тороидеравно N, сила тока I. Рассмотрим циркуляцию вектора индукциивдоль контура Г радиуса r ( R1 < r < R2 ), совпадающего с одной из силовых линий: ∫ B,dl = µ0 NI . Вдоль Г величина В постоян-()Γ ная, поэтому∫ ( B,dl ) = ∫ Bdl = B ∫ dl = B ⋅ 2πr = µ NI , откуда внутри тороида B =0ΓΓΓµ 0 NI. Пред2πrположим, что диаметр сечения тороидальной части много меньше внутреннего радиусаd = R2 − R1 << R1 . Если ввести плотность намотки на внутреннем радиусе n =записать B =N, то можно2πR1µ 0 NI µ0 NI R1r+x x== µ 0 nI  = µ 0 nI 1 +  , где 0 < x < d .

Так как x < d << R1 < r ,2πr2πR1 r r  rто можно приближенно считать B ≈ µ 0 nI - индукцию постоянной внутри тороида.9.