Семестр_3_Лекция_07 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекция 7.Лекция 7. Магнитное поле в вакууме.Вектор индукции магнитного поля. Закон Био-Савара. Принцип суперпозиции магнитных полей. Поле прямого и кругового токов. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поляв интегральной и дифференциальной форме. (Расчёт магнитного поля тороида и соленоида).Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой. Сила взаимодействия (на единицу длины) двух прямолинейных тонких параллельных проводников с токамиI1 и I2 , расстояние между которыми равно b, дается законом АмпераFl = kI1 I 2.bОдинаково направленные токи притягиваются, противоположно направленные – отталкиваются.Константа в вакууме имеет вид k =µ0, где µ 0 = 4π ⋅10−7 Гн/м (Генри/метр) – магнитная2πпостоянная.Замечание.

Полезное соотношение1= c 2 , где c ≈ 3 ⋅108 - скорость света в вакууме.ε 0µ 0Замечание. Закон Ампера связывает механическое понятие силы с единицами измерения силытока и электрического заряда.По современным представлениям токи взаимодействует между собой посредством промежуточной среды, которая называется магнитное поле.Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции B . Величина индукцииизмеряется в Теслах (Тл). Силовой линией магнитного поля называется линия в пространстве,касательная к которой в каждой точке направлена как вектор B .Магнитное поле проявляется в действии на движущиеся заряды (токи). На покоящиесязаряды магнитное поле не действует.Магнитное поле не имеет источников - оно создается только движущимися зарядами(электрическим током), поэтому силовые линии магнитное поля являются замкнутыми линиями.Принцип суперпозиции для магнитного поля: вектор индукции магнитного поля, создаваемого системой движущихся электрических зарядов (электрических токов) равен векторнойсумме индукций магнитных полей, создаваемых каждым из движущихся электрических зарядов (токов) в отдельности:BΣ = ∑ Bii1Семестр 3.

Лекция 7.Аналогом пробного заряда для магнитного поля является пробный контур с то-nком очень маленьких размеров. Этот контур является ориентированным – направление нормали к площадке контура согласовано с направлением тока в нёмIправилом буравчика (правого винта). Опыт показывает, что на пробный контурдействует вращающий момент сил, зависящий от угла между вектором индукции магнитногополя и вектором нормали к площадке контура, а также от силы тока и величины площади. Максимальное значение момента даётся выражением M MAX = ISB .

Поэтому величину индукциимагнитного поля в данной точке определяют какB=M MAXISОпределение. Магнитным моментом контура (с постоянным) током называется векторная величинаpm = ISn .S- величина площадки, ограниченной контуром, I – сила тока. Контур является ориентированным – направление нормали к площадке контура согласовано с направлением тока в нём правилом буравчика (правого винта). Единица измерения магнитного момента А⋅м2 (Ампер⋅м2).Закон Био-Савара-Лапласа.Опыт показывает, что магнитная индукция, создаваемая малым участком проводника стоком I, определяется законом Био-Савара-Лапласа: µ 0 I dl × rdB =.4πr3µ IdlВеличина вектора dB = 0 2 sin α . Здесь dl - касательный вектор к линии тока, направленный4π r(dlα)rαdBв положительном направлении для тока, (dl – длина малого проводника), I – сила тока в проводнике, r - вектор, проведенный от малого проводника в точку, где ищется вектор индукции магнитного поля, α - угол между векторами dl и r .

Векторы dl ,r ,dB образуют правую()тройку векторов.2Семестр 3. Лекция 7.1) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое длинным тонким прямым проводом, по которомутечет постоянный ток силой I.Найдем величину и направление вектора магнитной индукции в точке, находящейся на расстоянии R от провода.

Применим принцип суперпозиции ,B=∑dBdldl Idl×rµгде dBdl = 0вектормагнитнойиндукции,создаваемыйэлементомdl.4πr3Векторы dB от всех dl в выбранной точке направлены одинаково (перпендикулярно плоскости, образованной векторами dl ,r ), по-()()этому можно перейти от векторной суммы к сумме величин+I0xB=∑dBdl , где dBdl =dBRdlµ 0 Idl sin α4π r 2Ведём координату х, отсчитываемую от точки пересечения проводаαrи перпендикулярного отрезка к проводу, восстановленного из точ-dxки наблюдения. Тогда r = x 2 + R 2 , r sin α = R , dx = dl , поэтомуdl+∞B=+∞Но∫−∞dx(R2+x32 2)=µ 0 IRdx µ 0 IR +∞dx∫−∞ 4π r 3 = 4π −∞∫ R 2 + x 2 3 2 .()2(см.

лекцию № 1).R2Окончательно, величина индукции магнитного поля на расстоянии R от тонкого, длинного прямого провода с постоянным током, определяетсясоотношениемB=BBIµ0 I2πRСиловые линии магнитного поля, создаваемого током вбесконечно длинном прямом проводнике, представляют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной проводу, и с центром на оси провода. На-правление вектора B определяется по правилу правого винта. (Или правой руки: если обхва-тить правой рукой провод так, чтобы большой палец был направлен по току, то остальныепальцы покажут направление «закрученности» В.)3Семестр 3. Лекция 7.2) Рассмотрим магнитное поле, создаваемое круговым контуром с постоянным током на осиконтура.По контуру течёт ток силой I, радиус контураR. Найдём величину индукции магнитного поля вdl1r1αточке, находящейся на расстоянии x от плоскостиdB1контура вдоль оси.RЛюбые два элемента dl1 и dl2 , расположенныеαxdB1+dB2IdB2r2симметрично относительно центра контура, создаютв точке наблюдения два симметричных относительнооси вектора dB1 и dB2 .

Сумма этих векторов лежит наdl2оси контура. Поэтому при нахождении суперпозициинадо учитывать только проекцию векторов на осьB = ∑ dBdl cos α .dlТ.к. образующая конуса перпендикулярна касательной к основанию, то угол между векторами dl и r - прямой, поэтомуdBdl =µ 0 Idl.4π r 2Для всех элементов dl величины r = R 2 + x 2 и cos α =B=∑dBdl cos α = ∑dldlR2R + x2одинаковые. Следовательно,µ 0 Idlµ Iµ Icos α = 0 2 cos α∑ dl = 0 2 cos α 2πR24π r4π r4π rdlилиµ0IR 2B=.2 ( R 2 + x 2 )3 2BС учётом определения магнитного момента контура pm = ISn ивеличины площади круга S = πR 2 , можно записать эту формулу ввиде µ0µ0pmI πR 2B==.2 π ( R 2 + x 2 )3 2 2 π ( R 2 + x 2 )3 2Замечание. Картина силовых линий магнитного поля кольца обладает осевой симметрией, поэтому вектор индукции в каждой точке плоскости кольца направлен перпендикулярно этойплоскости. Кроме того, в каждой точке поля вектор B лежит в плоскости, проходящей черезось кольца (продольной плоскости).4Семестр 3.

Лекция 7.Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.Так как силовые линии магнитного поля замкнутые, то это поле является вихревым, т.е. rot B ≠ 0 , поэтому циркуляция этого векторного поля вдоль любого замкнутого контура Г не( )равна нулю ∫ ( B,dl ) = ∫∫ ( rot ( B ) ,dS ) ≠ 0 .ΓSПример. Найдем циркуляцию вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым проводом с током. В качестве контура Г возьмём какую-нибудь силовую ли-Iнию (представляющую собой, как нам уже известно, окружность с цен-nтром на оси провода и лежащую в плоскости, перпендикулярной к проводу). Пусть радиус этой линии равен R, тогда величина магнитной ин-Bdlµ0 I.

Выберем ориента2πRдукции на этой линии постоянна и равна B =цию на контуре Г так, чтобы векторы dl и B были направлены одинаково. (В этом случаенормаль n к кругу, ограниченному контуром, и направление тока совпадают.) Тогда µ I∫ ( B,dl ) = ∫ B cos ( 0 ) dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = B 2πR = 2πR 2πR = µ I .000ΓΓΓΓВыберем ориентацию на силовой линии так, чтобы векторы B и dl были направленыпротивоположно, (при этом нормаль n к кругу, ограниченному контуром, и направление токатоже будут направлены противоположно). В этом случае µ I∫ ( B,dl ) = ∫ B cos (180 ) dl = −∫ Bdl = − B ∫ dl = − B 2πR = − 2πR 2πR = −µ I .♣000ΓΓΓΓЭтот результат не является случайным, его можно обобщить в виде теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля.Циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому ориентированному замкнутому контуру пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих ориентированную площадку, ограниченную контуром.

Ориентация контура и площадки согласованы правилом правого винта. Коэффициент пропорциональности – магнитная постоянная. B,dl= µ0 ∑ I k∫(Γ)kСила тока берётся со знаком плюс, если контур пронизывается током в направлении нормалик площадке, и минус если против.Если ввести векторное поле плотности тока j так, чтобы∑ I = ∫∫ ( j ,dS ) , то используяkkSтеорему Стокса5Семестр 3.

Лекция 7. ∫ ( B,dl ) = ∫∫ ( rot ( B ) ,dS ) = µ ∫∫ ( j ,dS ) ,0ΓSSполучаем дифференциальную форму записи теоремы о циркуляции вектора магнитной индукцииrot B = µ 0 j .( )Замечание. Если при решении какой-то задачи получается, что внутри какой-то области ∫ B,dl = 0 , то отсюда не следует, что B = 0 .

Например, если контур Г охватывает два одина-()Γковых по силе тока, но пронизывающих площадку в разных направлениях, то для них B,dl=µI−I=0,ноB≠0.()012∫()ΓИдеальным соленоидом называется бесконечный тонкий проводник, намотанный на поверхность бесконечного кругового цилиндра так, что при этом круговые витки проводника перпендикулярны оси цилиндра.Замечание. В таком соленоиде нет составляющей электрического тока, направленной вдоль осицилиндра, а только круговые токи в каждом из поперечных сечений. Поэтому можно считать,что соленоид составлен из бесконечного количества одинаковых витков, по которым течет одинаковый по направлению и силе ток.Плотностью намотки соленоида n называется величина равная количеству витков наединице длины.Найдем величину индукции магнитного поля в какой-нибудь точке А на оси соленоида.Пусть сила тока в соленоиде равна I.

Радиус витков R. Плотность намотки n.Для нахождения индукции магнитного поля в этой точке, применим принцип суперпозиции для магнитного поля – вектор индукции равен векторной сумме магнитных индукций, создаваемых каждым из колец в отдельности: BA = ∑ Bk . Отметим, что все векторы Bk в точке Аkнаправлены одинаково – в одну сторону вдоль оси соленоида. Поэтому от векторной суммыможно перейти к сумме длин векторов BA = ∑ Bk .kВведём вдоль оси соленоида ось z.

Выделим в соленоидеAzкакое-то сечение, координату которого примем за ноль (z=0).Пусть точка А имеет координату zА. Небольшая часть соленоида,zAzdzдлина которой равна dz, и которая находится в сечении с координатой z, содержит количество витков dN = ndz . Эта часть создаётz=0в точке А индукцию магнитного поля, величина которой6Семестр 3. Лекция 7.dB =µ 0 IR 2 dN2 ( R 2 + x 2 )3 2где расстояние от точки А до этого сечения равно x = z − z A .Тогда BA = ∑ Bk =k∫∫dB =СОЛЕНОИДВИТКИСОЛЕНОИДАµ 0 IR 2 dNили2 ( R 2 + x 2 )3 2+∞µIR 2 ndzBA = ∫ 02 R 2 + ( z − z )2−∞A()32+∞Делаем замену y = z − z A и получаем∫−∞µ 0 IR 2 n +∞dz=∫2 −∞ R 2 + ( z − z )2A(+∞dz(R2+ ( z − zA )2 32)=∫−∞dy(R2+y2 32)Поэтому величина магнитной индукции на оси соленоида равна BA =)32=2.R2µ0 IR 2 n 2= µ0 In .