Семестр_3_Лекция_02 (Все лекции по физике в пдф), страница 2

Тогда потенциал данной точки поля можно определить как отношение ра-боты сил поля по перемещению заряда q на очень большое расстояние из данной точки квеличине этого заряда.Поверхности в пространстве, на которых потенциал остается постоянным называютсяэквипотенциальными поверхностями.Силовые линии направлены перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям в каждой их точке.СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА.Так как энергия взаимодействия точечного заряда с электрическим полем и сила, действующая на этот заряд со стороны поля, связаны соотношением F = − grad ( WПОТ ) , то из опреде FW 1лений получаем E = = − grad ( WПОТ ) = − grad  ПОТ  = − grad ( ϕ ) .qq q Таким образом, связь между напряженностью и потенциалом электростатического полядается выражением (в дифференциальной форме)E = − grad ( ϕ ) .Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем.Из свойств градиента следует, что вектор напряжённости электрического поля направлен в сторону наибольшего убывания потенциала, перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.Работа сил электрического поляКОНЕЦAКУЛ =∫ (КОНЕЦ КОНЕЦ FКУЛ ,dl = ∫ q ⋅ E,dl = q ⋅ ∫ E,dl)НАЧ()НАЧ()НАЧВ то же время AКУЛ = q ( ϕНАЧ − ϕКОН ) .Сравниваем эти выражения и получаемКОНЕЦ ∫ ( E,dl )ϕНАЧ − ϕКОН =НАЧЕсли обозначить изменение потенциала как ∆ϕ = ϕКОН − ϕНАЧ (НЕ ПУТАЙТЕ С ОПЕРАТОРОМЛАПЛАСА!), то получим связь напряженности и потенциала в интегральной формеКОНЕЦ∆ϕ = − ∫ ( E,dl )НАЧСеместр 3.

Лекция 2.8Из этого выражения следует ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯДля любой замкнутой траектории (любой кривой линии) Г находящейся в области пространства, где создано электростатическое поле значение интеграла E,dl=0.∫()Γвдоль этой замкнутой линии Г всегда равно нулю.Действительно, в случае, когда точечный заряд перемещается вдоль какой-то замкнутойтраектории Г, выполняется равенство ϕКОН = ϕНАЧ , поэтому∫ ( КОНЕЦ E,dl = ∫ E,dl = −∆ϕ = ϕНАЧ − ϕКОН = 0 .)(Γ)НАЧИз теоремы Стокса следует дифференциальная форма теоремы о циркуляции:т.к. электростатическое поле потенциальное, то его ротор равен нулевому вектору в каждойточке: rotE = 0 .Пример. Можно ли создать неоднородное электростатическое поле,силовые линии которого параллельны друг другу?В электростатическом поле выполняется равенство ∫ ( E,dl ) = 0 дляΓDAлюбого замкнутого контура Г. Если возьмём в качестве контура Г прямоугольник ABCD, то интеграл можно разбить на 4 интеграла вдольBCсторон этого прямоугольника: E,dl=E,dl+∫∫()Γ( ) ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) .ABBCCDDA Но на сторонах AB и CD векторы E и dl перпендикулярны друг другу, т.е.

E,dl = 0 , поэто-(му) ∫ ( E,dl ) = 0 и ∫ ( E,dl ) = 0 .ABCDНа стороне BC векторы E и dl направлены одинаково, на стороне DA направлены противоположно, откуда ∫ E,dl =(Γ ) ∫ ( E,dl ) + ∫ ( E,dl ) = ∫ E ⋅ ( cos 0 ) ⋅ dl + ∫ E ⋅ ( cos180 ) ⋅ dl = ∫ Edl − ∫ EdlBCDA00BCDABCDAВблизи стороны BC силовые линии расположены гуще, чем вблизи стороны DA, поэтомуEBC > EDA , следовательно ∫ ( E,dl ) = ∫ Edl − ∫ Edl = EΓBCDABC⋅ BC − EDA ⋅ DA ≠ 0 .Семестр 3.

Лекция 2.9То есть для такого поля не выполняется теорема о циркуляции.♣Из принципа суперпозиции следуетEΣ = ∑ Ei = ∑ grad ( ϕi ) = grad  ∑ ϕi  = grad ( ϕΣ ) ,ii iт.е. ϕΣ = ∑ ϕi .iПотенциал в данной точке поля, создаваемого системой зарядовравен алгебраической сумме потенциалов поля, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.Пример. Рассмотрим электрическое поле, создаваемое заряженным кольцом, радиус которогоR. Найдем потенциал на оси кольца на расстоянии z от плоскости кольца.∆qРешение.

Разобьем кольцо на большое количество участков, опи-αрающихся на центральный угол α =rL=zR2π. (Длина одного участкаN2πRQ.) Заряд одного участка q = , где Q – заряд кольца. БуNNдем считать, что Q>0. Принимая малый участок кольца за точечный заряд можно найти потенциал поля на оси кольца, создавае-мого одним участком: ϕα = kq, где r = R 2 + z 2 . Тогда, в соответствии с принципом суперпоrзиции, суммарный потенциалϕ = ∑ ϕα = ∑ kααqQ NQ NQ= ∑k= Nk=k.2rrrαR + z2Из этой формулы видно, что потенциал в центре кольца (z=0) равен ϕ = kQ.♣RЭнергия системы зарядов равна сумме энергий попарных взаимодействийWΣ =Здесь множитель1∑Wij2 i, j1учитывает, что одна и та же пара индексов встречается в этом выражении2два раза - один раз как ij, а второй раз как ji.Запишем это выражение через потенциалыWΣ =111Wij = ∑ qi ϕ j = ∑ qi  ∑ ϕ j  .∑2 i,j2 i,j2 i  j ≠i Семестр 3. Лекция 2.10Последнее выражение включает в себя сумму потенциалов полей∑ϕj, создаваемых всеми за-j ≠iрядами, за исключением номера i, в том месте, где находится заряд c номером i.Пример.

Найдем энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2.В точке, где находится заряд q1, второй заряд создаёт потенциал ϕ2 = kдится заряд q2, первый заряд создаёт потенциал ϕ1 = kW=q2. В точке, где нахоRq1. ТогдаRqqqq11( q1ϕ2 + q2 ϕ1 ) =  q1k 2 + q2 k 1  = k 1 2 .♣22RRRОчень часто распределение заряды в пространстве можно задать с помощью функции, называемой плотностью распределения.1) Объёмная плотность распределения ρ ( x, y,z ) (Единицы измерения Кл/м3).

Тогда суммарный заряд объема Q = ∫∫∫ ρdV . Энергию взаимодействия некоторого точечного заряVρда q с заряженным телом можно определить следующим образом W = q ∫∫∫ dV , где r –rVрасстояние от точечного заряда до точки, где задана плотность ρ ( x, y,z ) .2) Поверхностная плотность распределения заряда σ ( x, y,z ) (Единицы измерения Кл/м2).Тогда суммарный заряд поверхностности Q = ∫∫ σdS . Энергия взаимодействия некотороSго точечного заряда q с заряженной поверхностью W = q ∫∫SσdS где r – расстояние от тоrчечного заряда до точки, где задана плотность σ ( x, y,z ) .3) Линейная плотность распределения заряда λ ( x, y,z ) (Единицы измерения Кл/м).

Тогдасуммарный заряд кривой линии Q = ∫ λdl . Энергия взаимодействия некоторого точечноΓλdl где r – расстояние от точечного заряда доrΓго заряда q с заряженной линией W = q ∫точки, где задана плотность λ ( x, y,z ) ..