Семестр_3_Лекция_02 (Все лекции по физике в пдф)

Семестр 3. Лекция 2.1Лекция 2. Потенциал электростатического поля.Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Циркуляция вектора напряжённости. Связь напряжённости и потенциала.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕБудем предполагать, что в некоторой области пространства задано непрерывнодифференцируемое векторное поле v ( x, y,z ) .1) Поток векторного поля через поверхность.

Потоком вектора v через некоторую поверхность называется величина Φ v = ∫∫ v ,dS .()SnαvВ простейшем случае плоской поверхности S и постоянного векторного поля поток определяется какΦ v = v ⋅ S cos α ,где α - угол между вектором v и нормалью n к площадке S.SЕсли поверхность S не является плоской, то она разбивается на элементарные участки величиной dS, для каждого из которых ищется соответствующая величина δΦ v = v ⋅ dS cos α , а затемпроизводится суммирование по всей поверхности Φ v = ∑ δΦ v .S Если ввести вектор, перпендикулярный к каждой площадке: dS = n ⋅ dS , где n - единичная нор маль к площадке dS, то величину потока записать можно в виде δΦ v = v ⋅ dS cos α = v ,dS .() Тогда общий поток Φ v = ∑ δΦ v = ∫∫ v ,dS .(S)SПример. Найдем объем жидкости протекающей через некоторую малуюv⋅dtнаклонную площадку за единицу времени.Если скорость жидкости равна v и в пределах площадки её можно считатьvпостоянной, то объём жидкости, пошедший через площадку за малыйSпромежуток времени dt заполнит внутренность косого параллелепипеда,объём которого равен S cos α ⋅ vdt .

Здесь α - угол отклонения площадки от направления, перпендикулярного вектору скорости жидкости v - т.е. угол между вектором единичной нормали кплощадке и вектором скорости жидкости. Если ввести вектор S = S ⋅ n , объёмный расход жидкости, т.е. объём жидкости, протекающей через площадку в единицу времени, определяется со отношением Q = vS cos α = v ,S .♣( )Семестр 3. Лекция 2.22) Интеграл от векторного поля вдоль кривой линии Г:v ∫ ( v ,dl ) , где dl-Γкасательный вектор к каждой точке кривой. Таким образом, кривая явля-αГdlется ориентированной – она имеет начальную и конечную точки (так какзадано направление вдоль кривой с помощью вектора dl ).В случае если векторное поле постоянное, а кривая – отрезок прямой ли-нии длиной L, интеграл равен ∫ ( v ,dl ) = v ⋅ L cos αΓгде α - угол между векторами поля и касательным вектором.В случае если кривая линия не является прямой и векторное поле не постоянное, нужноразбить линию на малые участки длиной dl и затем просуммировать все выражения ∑ v ⋅ dl cos α = ∫ v ,dl .(Кривая)ΓИнтеграл от векторного поля v по замкнутой кривой Г:∫ ( v ,dl ) называется циркуляциейΓэтого векторного поля.3) Теорема Стокса.Если рассмотреть незамкнутую поверхность S, то край этой поверхности будет являться замкнутой кривой.

Будем считать, что поверхность является ориентируемой (т.е. она – двусторонняя). (Односторонней поверхностью является, например, лента Мёбиуса – поэтому она не ориентируемая).Если Г – кривая, являющаяся краем поверхности S, то можно рассмотреть циркуляцию вектор ного поля вдоль края Г: v∫ ,dl .()ΓВекторному полю v можно сопоставить ещё одно векторное поле rot ( v ) , которое называется ротором векторного поля v .

Оно определяется правиломex e y ez∂∂∂  ∂v ∂v y   ∂vx ∂vz   ∂v y ∂vx rot ( v ) == ex  z −−− + ey  + ez ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x  ∂y ∂z  ∂x ∂y vx v y v z где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.Теорема Стокса гласит:∫ ( v ,dl ) = ∫∫ ( rot ( v ) ,dS ) .ΓSСеместр 3. Лекция 2.3Циркуляция векторного поля вдоль края ориентируемой поверхностиnSравна потоку ротора этого поля через эту поверхность.

Направлениекасательного вектора dl к краю Г выбирается так чтобы поверхность ос-nтавалась слева при обходе, а нормаль направлена наружу (правый винт).dlГСмысл ротора можно прояснить следующим образом. Рассмотримдиск, вращающийся вокруг оси симметрии с угловой скоростью ω. Скорость любой точки определяется расстоянием до оси вращения v = R ⋅ ω . Вектор скоро-ωсти любой точки направлен по касательной к её траектории – ок-vГружности с центром на оси вращения. Можно сказать, что на дискезадано векторное поле – поле векторов скоростей всех точек v .Найдем ротор этого поля rot ( v ) .

Воспользуемся теоремой Стокса ∫ ( v ,dl ) = ∫∫ ( rot ( v ) ,dS ) .ΓSЕсли взять малую площадку S, то по теореме о среднем для интеграла можно приближенно за писать ∫ v ,dl ≈ ( rot ( v ) ) n ⋅ S , где ( rot ( v ) ) n - проекция ротора на нормаль к площадке S.()ΓВ качестве кривой Г возьмём окружность малого радиуса R с центром на оси вращения.Длина этой окружности 2πR , она охватывает площадку S, площадь которой πR 2 .В каждой точке этой окружности вектор скорости направлен по касательной к ней, поэтомуугол между малым касательным вектором dl и вектором скорости v равен нулю. Следовательно( v ,dl ) = v ⋅ dlНа выбранной окружности Г величина скорости не меняется v = R ⋅ ω = const . Тогда v∫ ,dl = ∫ v ⋅ dl = ωR ∫ dl .(ΓИнтеграл∫ dl = 2πR)ΓΓравен длине окружности Г, поэтому циркуляцияΓ∫ v ⋅ dl = 2πωR2.ΓОткуда2πωR 2 ≈ ( rot ( v ) ) n πR 2После сокращений устремим радиус окружности R к нулю, и получим проекцию ротора на осьвращения( rot ( v ) )n= 2ω .Семестр 3.

Лекция 2.4Т.е. ротор равен удвоенной угловой скорости вращения векторного поля. Поэтому иногда ротортакже называют вихрем поля. Поля, для которых ротор отличен от нуля называют вихревымиили соленоидальными. Оказывается, для любого вихревого поля v существует некоторое векторное поле a , такое, что выполняется равенство v = rot ( a ) .4) Векторное поле v , для которого существует функция непрерывно-дифференцируемая Ф, такая, что выполняется равенствоv = grad Φназывается потенциальным.Ротор потенциального поля равен нулевому вектору rot ( grad Φ ) = 0 . ∂Φ ∂Φ ∂Φ Действительно, т.к.

grad Φ = ,, , то ∂x ∂y ∂z ex∂rot ( v ) =∂x∂Φ∂xeyez∂∂y∂Φ∂y∂  ∂ 2Φ ∂ 2Φ   ∂ 2 Φ ∂ 2Φ   ∂ 2Φ ∂ 2Φ  = ex −−− + ey  + ez  = 0.∂z ∂y∂z ∂z∂y  ∂z∂x ∂x∂z  ∂x∂y ∂y∂x ∂Φ∂z5) Теорема Остроградского-Гаусса.Любому векторному полю v соответствует функция, называемая дивергенцией этого векторного поля ∂v ∂v ∂vdiv ( v ) = x + y + z .∂x ∂y ∂zТеорема Остроградского-Гаусса гласитпоток векторного поля через замкнутую поверхность, ориентированную наружу, равен интегралу от дивергенции этого поля по объёму, охваченному этой поверхностью v∫∫ ,dS = ∫∫∫ div ( v ) dV()SVСмысл дивергенцииvРассмотрим выпуклую поверхность, охватывающую достаточноnvnSnvvvnмалый объём.

Тогда по теореме о среднем для интеграла v∫∫ ,dS = ∫∫∫ div ( v ) dV ≈ div ( v ) ⋅V(S)VПредположим, что векторное поле втекает внутрь объёма V, т.е.в каждой точке поверхности S векторы v направлены противвекторов нормалей n . Поэтому в каждой точке скалярное про-Семестр 3. Лекция 2.5 изведение v ,dS = ( v ,n ) dS < 0 отрицательно.()Тогда интеграл∫∫ ( v ,dS ) < 0 . Так как величина объёма V>0, тоSdiv ( v ) ≈∫∫ ( v ,dS )SV<0Говорят, что в этом случае поле имеет внутри поверхности S «сток» - «оно как бы стекает в некоторую дырку».Если же div ( v ) > 0 , то говорят, что у поля есть «источник».Можно заметить, что в случае стока или источника поля,при стягивании поверхности S в точку, векторное поле становится похожим на картину силовых точечных зарядов.В этом случае положительные заряды являются источникамиэлектрического поля и для них divE > 0 .Отрицательные заряды являются стоками электрического поля.

Для них divE < 0 .Электрические заряды принято называть просто источниками (положительными и отрицательными) электрического поля.Таким образом, силовые линии электрического поля не являются непрерывными линиями – они имеют начало и конец.Вихревое электрическое поле v не имеет источников. Действительно, в этом случае существует некоторое поле a , такое, что v = rot ( a ) , поэтому∂ ( rot ( a ) ) x ∂ ( rot ( a ) ) y ∂ ( rot ( a ) ) zdiv ( v ) = div ( rot ( a ) ) =++∂x∂y∂zНоexeyez∂rot ( a ) =∂xax∂∂yay∂  ∂a ∂a y   ∂ax ∂az   ∂a y ∂ax = ex  z −−− + ey  + ez ∂z∂z ∂x  ∂z ∂y ∂x ∂y azпоэтому∂  ∂a ∂a y  ∂  ∂a x ∂az  ∂  ∂a y ∂ax div ( v ) =  z −−−+ =+ ∂x  ∂y∂z  ∂y  ∂z∂x  ∂z  ∂x ∂y 22∂ 2 az ∂ a y ∂ 2 ax ∂ 2 az ∂ a y ∂ 2 ax=−+−+−=0∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂yСеместр 3. Лекция 2.6Так как вихревое поле не имеет источников, то его силовые линии нигде не разрываются, т.е.они непрерывные и замкнутые.ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯРабота, совершаемая силами поля, при относительном изменении положения двух зарядов равна:A = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОН = kq1 ⋅ q 2q ⋅q-k 1 2 .R НАЧR КОНПусть теперь один заряд q1=Q закреплен неподвижно, так что перемещаться будет второй зарядq2=q, поэтому выражение для работы примет видA = WПОТ_НАЧ - WПОТ_КОН = kqQqQQQ-k-k= q kR НАЧR КОНR КОН R НАЧ.Энергетическая характеристика электрического поля – отношение энергии взаимодействия точечного заряда с полем W к величине этого заряда q называется потенциалом поля вданной точкеϕ=W.qЕдиница измерения потенциала Вольт (В).

1 В =1 Дж/ 1 Кл.Таким образом, если поле создается точечным зарядом Q, то на расстоянии R от него потенциал определяется по формуле (С=0)ϕ=WQ=k .qRТогда, с учетом определения потенциала работу сил поля по перемещению заряда q можно записать в видеA = q ( ϕНАЧ − ϕКОН ) .Т.е. разность потенциалов между двумя точками поля – это отношение работы сил поля (кулоновских сил) по переносу заряда между этими точками к величине этого зарядаϕНАЧ − ϕКОН =A КУЛ.qВ частности, если заряд q удаляется от заряда Q на очень большое расстояние (RКОН =∞), тоA=kqQ= qϕНАЧ ,R НАЧСеместр 3. Лекция 2.где ϕНАЧ = kQR НАЧ7.