Семестр_3_Лекция_01 (Все лекции по физике в пдф), страница 2

Вдоль нити вводим ось Х, началоrE(dq′)EΣx=0RαE(dq)dq′которой является основанием перпендикуляра, опущенного из рассматриваемой точки на нить.На некотором расстоянии от начала выделяем малый кусокнити длиной dx, тогда заряд этого куска dq=λ⋅dx.Рассматривая этот кусок как точечный заряд находим соз-даваемый им вектор напряженности в рассматриваемойточке E ( dq ) .

Симметричный (относительно начала оси Х)точечный заряд dq′ создает симметричный вектор напряженности E ( dq′ ) . Вектор их суммыEΣ = E ( dq ) + E ( dq′ ) лежит на перпендикуляре к нити. Таким образом, общий вектор напряженности тоже должен быть направлен перпендикулярно нити. Следовательно, при суммированииСеместр 3.

Лекция 1.8векторов напряжённостей от всех точечных зарядов на нити можно учитывать только их перпендикулярную составляющую, т.е. найти сумму проекций на перпендикулярное направление:E = ∑ E ( dq ) ⋅ cos α .dqТак как E ( dq ) =1 dqR, cos α = , r = R 2 + x 2 , то переходим к интегралу24πε 0 rr+∞1 dq RR= ∫2∫4πε 0 r r −∞ 4πε 0НИТЬE=λdx3( R2 + x2 ) 2Интегрируем +∞ 2 +∞2+∞+∞1  ( R + x ) dxx 2 dx  1 dxx 2 dx ∫−∞ 2 2 3∫−∞ 2 2 3 = R 2  −∞∫ 2 2 3 − −∞∫ 2 2 3  = R 2  −∞∫ 2 2 1 − −∞∫ 2 2 3  ( R + x )2 ( R + x )2( R + x )2( R + x )2( R + x ) 2 ( R + x ) 2 Берём второй интеграл по частям ∫ udv = uv − ∫ vdu+∞+∞∫−∞1= 2Rdxx 2 dx(R2+x32 2)+∞R 2 dxxdx1dx,v = −31  dv =x=( R2 + x2 ) 2( R2 + x2 ) 2  = − 2 2 1( R + x )2u = x,du = dx+∞+∞+∫−∞−∞+∞dx(R2+x12 2)= −2 +∫−∞dx(R12+ x2 ) 2Откуда+∞∫−∞Окончательно E =dx(R32+ x2 ) 2 +∞+∞1 dxdx 2 .= 2 ∫+2− ∫= 211 R −∞ 22 222 2−∞ (R + x )( R + x )  Rλ.2πε 0 R3) Найдем напряженность поля на оси заряженного кольца, радиус которого R, а заряд Q.Разобьем кольцо на большое количество участков,∆qαопирающихся на центральный угол α =rEzRного участка L =2π.

(Длина одN2πRQ.) Заряд одного участка q = ,NNгде Q – заряд кольца. Будем считать, что Q>0. ПриниθEαмая малый участок кольца за точечный заряд можнонайти напряженность поля на оси кольца, создаваемуюодним участком: E α = kq, где r = R 2 + z 2 - расстояние от заряда до рассматриваемой точки.2rПри этом участок, расположенный симметрично относительно центра кольца, создает вектор напряженности, симметричный уже найденному. Их сумма будет лежать на оси кольца (вектор E|| ).Семестр 3. Лекция 1.9Поэтому при суммировании всех напряженностей (от каждого из участков) будем учитыватьтолько составляющую вектора, параллельную оси кольца, длина которой E α cosθ , гдеcosθ =z=rzR 2 + z2.

В итоге получаем,E = ∑ E α cosθ = Nkq zQ NzQz⋅ = Nk 2 2 ⋅=k.322222r rR +zR +z( R + z2 )Отметим, что в центре кольца (z=0) напряженность поля равна нулю.♣4)Рассмотрим бесконечную заряженную плоскость. Пусть поверхностная плотность заряда равнаσ. В силу симметрии вектор напряженности направлен перпендикулярно плоскости.EzdRRИщем напряжённость в точке, находящейся на расстоянии z от плоскости.Если плоскость представить как набор тонких, вложенных друг в друга соосных колец, ось которых проходит через искомую точку, то можно воспользоваться результатом предыдущего примера.Заряд кольца, радиус которого R и толщина dR равен dq=σ⋅dS=σ⋅2πRdR.Тогда искомая напряжённость E = ∑ kdqz ⋅ dq(R32+ z2 )2Переходя к интегрированию, получаемz ⋅ σ ⋅ dS11 z ⋅ σ ⋅ 2πRdR z ⋅ σ d ( R + z ) z ⋅ σ 2E==∫==−3331∫∫4πε 0 2ПЛОСКОСТЬ( R + z 2 ) 2 0 4πε0 ( R 2 + z 2 ) 2 4ε0 0 ( R 2 + z 2 ) 2 4ε0  ( R 2 + z 2 ) 2∞∞Величина напряженности поля заряженной пластиныE=где σ =qσ=,2ε 0S 2ε 0q- поверхностная плотность заряда (Кл/м2).♣S22∞σ = 2ε .0010Семестр 3.

Лекция 1.Электрическое поле называется однородным, если вектор напряженности для каждойточки поля одинаковый. Следовательно, поле бесконечной заряженной пластины однородное..