Учебно-методическое пособие, страница 9

3àÑõîäèìîñòü â ñðåäíåì òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäàÔóðüåÊ9.3Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [a, b], è ñòàâèòñÿ çàäà÷à î íàèëó÷øåì ïðèáëèæåíèè ýòîé óíêöèè ñ ïîìîùüþ äðóãîéóíêöèè g(x) èç îïðåäåëåííîãî êëàññà óíêöèé, îïðåäåëåííûõíà ýòîì æå îòðåçêå. Åñëè òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü áëèçîñòü óíêöèéâî âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà, òî â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ áëèçîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿmax |f (x) − g(x)|,x∈[a,b]94è óíêöèÿ g(x) âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû ýòà âåëè÷èíà ïðèíèìàëàíàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå.  ýòîì ñëó÷àå îáåñïå÷èâàåòñÿðàâíîìåðíàÿ íà âñåì îòðåçêå áëèçîñòü óíêöèé. Åñëè òðåáóåòñÿîáåñïå÷èòü áëèçîñòü óíêöèé íà îòðåçêå â ñðåäíåì, òî â êà÷åñòâåêðèòåðèÿ áëèçîñòè ðàññìàòðèâàþò âåëè÷èíó, ðàâíóþRb2f (x) − g(x) dx.aÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÄëÿ äîñòèæåíèÿ íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ â ñðåäíåì òðåáóåòñÿìèíèìèçèðîâàòü ýòó âåëè÷èíó.Ïóñòü óíêöèÿ f (x) êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [−π, π].Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå Äèðèõëå òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ýòîé óíêöèè âî âñåõ òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè ñõîäèòñÿ ê ýòîéóíêöèè.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíàδn =Rπ−π2f (x) − Sn (x) dx,õàðàêòåðèçóþùàÿ îòêëîíåíèå â ñðåäíåì ÷àñòè÷íîé ñóììû Sn (x)òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå îò óíêöèè f (x) íà îòðåçêå[−π, π], ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞lim δn = 0.n→∞ÊàÝòî îçíà÷àåò, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ âñðåäíåì íà îòðåçêå [−π, π] ê ñâîåé ñóììå, à êîýèöèåíòû Ôóðüåóíêöèè f (x) óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó∞a20 P1 Rπ 222(a + bn ) =+f (x)dx,2 n=1 nπ −πêîòîðîå íàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâîì Ïàðñåâàëÿ è ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîìòåîðåìû Ïèàãîðà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå óíêöèé,êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìûõ íà îòðåçêå [−π, π].

Äåéñòâèòåëüíî,åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî êâàäðàò "äëèíû óíêöèè"â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ðàâåíRπ−πf 2 (x)dx, ÷òî îñíîâíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòå-ìà óíêöèé ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, à ðÿä Ôóðüå95- ðàçëîæåíèåì óíêöèè ïî ýòîìó áàçèñó, òî ñîãëàñíî ðàâåíñòâóÏàðñåâàëÿ êâàäðàò "äëèíû óíêöèè"ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ ååêîîðäèíàò. ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà óíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå[−π, π] è èìååò êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ íà ýòîì îòðåçêå, òî åå òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ñõîäèòñÿ âî âñåõ òî÷êàõýòîãî îòðåçêà ê óíêöèè f (x), ïðè÷åì ðàâíîìåðíî.Ïðåäñòàâëåíèå ðÿäîì Ôóðüå óíêöèè ïðîèçâîëüíîãî ïåðèîäàÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ9.4Ïóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìà íàîòðåçêå [−l, l] èëè f (x) îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì 2l è êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìà íà îòðåçêål[−l, l].

Ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííîé x = t , ïîëó÷èìπlf (x) = f (t ) = g(t).πÅñëè óíêöèÿ f (x) áûëà îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [−l, l], òî óíêöèÿ g(t) îïðåäåëåíà íà îòðåçêå [−π, π] è óäîâëåòâîðÿåò íà ýòîìîòðåçêå óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå. àñêëàäûâàÿ â ðÿä Ôóðüåóíêöèþ g(t) è âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé óíêöèè, ïîëó÷èì äëÿíåå ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ðÿäîì Ôóðüå(4)Êà∞ πnxa0 Pπnx an cosf (x) →++ bn sin,2 n=1llêîýèöèåíòû êîòîðîãî âû÷èñëÿþòñÿ ïî îðìóëàì1 Rlπnxan =dx, n = 0, 1, 2, 3, .

. .f (x) cosl −llπnx1 Rldx, n = 1, 2, 3, . . .f (x) sinbn =l −ll(5)Òåîðåìà Äèðèõëå îñòàåòñÿ â ñèëå ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî âñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî îòðåçêà [−l, l] òî÷êè x = ±π çàìåíÿþòñÿ íà96òî÷êè x = ±l1S(l) = S(−l) = f (−l + 0) + f (l − 0) .2àâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ïðèíèìàåò âèä9.5ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞a20 P1 Rl 2(a2n + b2n ).+f (x)dx =l −l2 n=1Òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå äëÿ ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ óíêöèéËåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî åñëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ óíêöèÿf (x), îïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå [−l, l], ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òîRlf (x)dx =−lR0f (x)dx +Rlf (x)dx = 20−lRlf (x)dx.0Äåéñòâèòåëüíî, ñäåëàâ çàìåíó t = −x, âû÷èñëèìR0−lf (x)dx = −R0f (−t)dt =Rlf (t)dt =0lRlf (x)dx.0Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå íå÷åòíîé óíêöèè f (x)R0f (x)dx +à−lf (x)dx =ÊRlRl−l= − f (t)dt +0RlRl0R0f (x)dx = − f (−t)dt +lRlf (x)dx =0f (t)dt = 0.0Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿf (x), îïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå [−l, l], ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Òîãäà ïðî-πnxòàêæå ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé óíêöèåé, à ïðîèçlπnxèçâåäåíèå f (x) cosâåäåíèå f (x) sin÷åòíîé óíêöèèl íå÷åòíîé.

Âû÷èñëèì êîýèöèåíòû Ôóðüå971 Rl2 Rlπnxπnxan =dx =dx,f (x) cosf (x) cosl −lll 0lπnx1 Rlf (x) sinbn =dx = 0, n = 1, 2, 3, . . .l −lln = 0, 1, 2, 3, . . .ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÒàêèì îáðàçîì, òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ÷åòíîé óíêöèè ñîäåðæèò òîëüêî êîñèíóñûf (x) →∞πnxa0 Pan cos+,2 n=1là ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ïðèîáðåòàåò âèä∞a20 P2 Rl 2a2n .+f (x)dx =l 02 n=1Åñëè óíêöèÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî ïðîèçâåäåíèåf (x) cosf (x) sinπnxòàêæå ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé óíêöèåé, à ïðîèçâåäåíèålπnxóíêöèèl ÷åòíîé. Âû÷èñëèì êîýèöèåíòû Ôóðüå íå÷åòíîéÊà1 Rlπnxan =dx = 0, n = 0, 1, 2, 3, . .

.f (x) cosl −ll1 Rl2 Rlπnxπnxbn =dx =dx, n = 1, 2, 3, . . .f (x) sinf (x) sinl −lll 0lÒðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå íå÷åòíîé óíêöèè ñîäåðæèò òîëüêî ñèíóñûf (x) →∞Pn=1bn sinπnx,là ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ïðèîáðåòàåò âèä∞P2 Rl 2b2n .f (x)dx =l 0n=1989.6àçëîæåíèå óíêöèé, çàäàííûõ íà ïîëóïåðèîäå, âðÿä Ôóðüå òîëüêî ïî êîñèíóñàì èëè òîëüêî ïî ñèíóñàìÏóñòü óíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà è êóñî÷íî-äèåðåíöèðóåìà íàîòðåçêå [0, l].

Æåëàÿ ïîëó÷èòü ðàçëîæåíèå ýòîé óíêöèè â ðÿäÔóðüå, äîîïðåäåëèì åå íà ïðîìåæóòêå [−l, 0) ïðîèçâîëüíûì îá-ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀðàçîì, ñîõðàíÿÿ ëèøü òðåáîâàíèå êóñî÷íîé äèåðåíöèðóåìîñòè.Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü ðàçëè÷íûå ðàçëîæåíèÿ îäíîé èòîé æå óíêöèè â òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû Ôóðüå íà îòðåçêå[0, l].Åñëè îïðåäåëÿÿ óíêöèþ íà ïðîìåæóòêå [−l, 0), áóäåì ïîëà-ãàòü, ÷òî f (−x) = f (x) äëÿ âñåõ x ∈ (0, l], òî ïîëó÷èì ÷åòíóþóíêöèþ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå êîòîðîé áóäåò ñîäåðæàòü òîëüêî êîñèíóñû.Åñëè îïðåäåëÿÿ óíêöèþ íà ïðîìåæóòêå [−l, 0), áóäåì ïîëà-ãàòü, ÷òî f (−x) = −f (x) äëÿ âñåõ x ∈ (0, l], òî ïîëó÷èì íå÷åòíóþóíêöèþ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå êîòîðîé áóäåò ñîäåð-àæàòü òîëüêî ñèíóñû.ÊÏðèìåð.

àçëîæèòü óíêöèþ f (x) = 3 − x, çàäàííóþ íà îò-ðåçêå [0, 3] â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì è âòðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì.9.6.1àçëîæåíèå ïî êîñèíóñàìÄîîïðåäåëèì óíêöèþ f (x) íà ïðîìåæóòêå [-3,0) ÷åòíûì îáðàçîì è ïðîäîëæèì åå íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü êàê ïåðèîäè÷åñêóþ ñïåðèîäîì, ðàâíûì 6.99f (x)3−9−6−30369xÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀèñ. 4Âû÷èñëèì êîýèöèåíòû Ôóðüå ýòîé óíêöèè2 R33a0= ,(3 − x)dx = 3,30222 R3πnxan =dx =(3 − x) cos3033πnx 32πnx 3 R3(3 − x)sindx ==sin +3πn3 0 πn 033 πnx 362 −cos= = 2 2 (1 − cos πn) =πnπn3 0 π n6= 2 2 (1 − (−1)n ) =π nåñëè n = 2kk = 1, 2, 3, . .

.0,=12åñëè n = 2k + 1 k = 0, 1, 2, 3, . . .(2k + 1)2 π 2Êàa0 =Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìàÿ óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé âñþäó,òî ñóììà åå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà Ôóðüå ðàâíà äàííîé óíê-100öèè ïðè âñåõ xf (x) =∞P3 12+2 π 2 k=0π(2k + 1)x3.(2k + 1)2cosÏîëàãàÿ â ýòîì ðàâåíñòâå x = 0, ïîëó÷èìèëè∞Pk=0π21= .(2k + 1)28ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞3 12 P13= + 22 π k=0 (2k + 1)2Ýòîò ðåçóëüòàò ìû óæå ïîëó÷àëè â äðóãîì ïðèìåðå. Âûïèøåì äëÿýòîãî ðàçëîæåíèÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Ñ ýòîé öåëüþ âûïèøåìèíòåãðàë2 R32 (x − 3)3 3 22(3 − x) dx = = · 27 = 6.303390àâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ ïðèíèìàåò âèä∞9 144 P1,6= + 42π k=0 (2k + 1)4îòêóäà∞Pk=0π41= .(2k + 1)496Èòàê, ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèé óíêöèé â òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿ-9.6.2Êðÿäîâ.àäû Ôóðüå, ìîæíî ïîëó÷àòü çíà÷åíèÿ ñóìì íåêîòîðûõ ÷èñëîâûõàçëîæåíèå ïî ñèíóñàìÄîîïðåäåëèì óíêöèþ f (x) íà ïðîìåæóòêå [−3, 0) íå÷åòíûì îá-ðàçîì, èçìåíèì çíà÷åíèå óíêöèè ïðè x = 0, ïîëàãàÿ f (0) = 0 èïðîäîëæèì åå íà âñþ ÷èñëîâóþ îñü êàê ïåðèîäè÷åñêóþ ñ ïåðèîäîì, ðàâíûì 6.101Ñîãëàñíî òåîðåìå Äèðèõëå ñóììà òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäàÔóðüå òàêîé óíêöèè áóäåò ðàâíà óíêöèè ïðè âñåõ x.

Âû÷èñëèìêîýèöèåíòû Ôóðüå ýòîé óíêöèèÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ2 R3πnxbn =dx =(3 − x) sin30323πnx 3πnx 3 R3=(3 − x)cosdx =cos −3πn3 0 πn 032 99πnx 3 6=− 2 2 sin, n = 1, 2, 3, . . . , =3 πn π n3 0πnπnxsin∞6 P3 .f (x) =π n=1nÏîëàãàÿ â ýòîé îðìóëå3, ïîëó÷èì2∞P63=2 π n=1πn2 .nsinπn= sin πk = 0, åñëè n = 2k ÷åòíîå ÷èñëî è2ππnπ(2k + 1)÷òî sin= sin= sin+πk = (−1)k , åñëè n = 2k+1222Ó÷èòûâàÿ, ÷òî sinÊà íå÷åòíîå ÷èñëî, ïåðåïèøåì ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â âèäå∞ (−1)kPπ= .4k=0 2k + 1Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèåóíêöèè arctg x â ðÿä Ìàêëîðåíà.Âûïèñûâàÿ ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ äëÿ äàííîãî ðàçëîæåíèÿ, ïîëó÷èì çíà÷åíèå ñóììû åùå îäíîãî ÷èñëîâîãî ðÿäà∞ 136 P,6= 2π n=1 n2îòêóäà∞ 1Pπ2= .2n6n=1102Ñîäåðæàíèå3×àñòü I. Ñîäåðæàíèå êîíòðîëüíûõ ìåðîïðèÿòèé51Òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû ê ýêçàìåíó (çà÷åòó)52Ïðèìåðíûé ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò73Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ84Òèïîâîé ðàñ÷åòÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÂâåäåíèå30×àñòü II.

Òåîðèÿ ðÿäîâ43Ÿ1 ×èñëîâûå ðÿäû431.1×èñëîâîé ðÿä, ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîãî ðÿäà . . . . . .431.2åîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ . . . . . . . . . . . . . .461.3àðìîíè÷åñêèé ðÿä . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Ÿ2 Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâÍåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà . .2.2Îñòàòîê ðÿäà . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Êà2.14848492.3Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ . . . . . . . . . .502.4Ëèíåéíûå äåéñòâèÿ ñ ðÿäàìè . . . . . . . . . . . . .50Ÿ3 ×èñëîâûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè513.1Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .513.2Ïðèçíàê Äàëàìáåðà . . . . .

. . . . . . . . . . . . .543.3àäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè . . . . . . . . . . . . .551033.4Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè . . . . . . . . . . . . .Ÿ4 Çíàêîïåðåìåííûå ÷èñëîâûå ðÿäû57594.1ÿä Ëåéáíèöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .604.2Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü . . . . . . . . .624.3Ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ64.Ÿ5 Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû65Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä, åãî îáëàñòü ñõîäèìîñòè . . .655.2àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà . .665.3Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà . . . . .