Учебно-методическое пособие, страница 5

àññìîòðèì ðÿä.3nn=1Âû÷èñëèìn + 111 1√nlim an = lim= lim+= < 1,n→∞n→∞n→∞ 33n3n3çíà÷èò, ðÿä ñõîäèòñÿ.∞ 1 P1 n2.1+Ïðèìåð 2. àññìîòðèì ðÿännn=1 2Ïðèìåíèì ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøèh1n i e1√lim n an = lim1+= > 1,n→∞n→∞ 2n2çíà÷èò, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.àÇàìå÷àíèå. Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà è Êîøè íå äàþò îòâåòà íà âî-Êïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà â ñëó÷àå, êîãäà ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäåëûðàâíû 1.

Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ýòè ïðåäåëû äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî∞ 1P, ðàñõîäèìîñòü êîòîðîãî áûëà äîêàçàíàðÿäànn=1an+1nlim= lim= 1,n→∞ ann→∞ n + 1r 11√− lim lnnnn− lnnn−nn= lim e= e n→∞== lim nlim an = limn→∞n→∞n→∞n→∞n= e0 = 1.57Ïðè âû÷èñëåíèè ïîñëåäíåãî ïðåäåëà áûëî èñïîëüçîâàíî ïðàâèëîËîïèòàëÿ äëÿ ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòè∞∞3.4ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ1ln x1lim= lim x = lim= 0. Òàêîé æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èì,x→∞ xx→∞ 1x→∞ x∞ 1Pðàññìàòðèâàÿ ñõîäÿùèéñÿ ðÿä2n=1 n n 2n2an+1= lim= lim= 1,limn→∞ (n + 1)2n→∞ n + 1n→∞ anr 21√nn− 2 ln−nnlim n an = lim=lime=n=lim2n→∞n→∞n→∞n→∞n−2 lim lnnn= e n→∞= e0 = 1.Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê ÊîøèÈíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè.

Ïóñòü äàí ïîëîæèòåëüíûé ðÿä∞Pan ,n=1îáùèé ÷ëåí êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì íåêîòîðîé óíêöèèf (x) ïðè x = n an = f (n). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óíêöèÿ f (x)Êàîïðåäåëåíà, ïîëîæèòåëüíà, íåïðåðûâíà è ìîíîòîííî óáûâàåò ïðèx ≥ 1. Òîãäà ðÿä∞Pn=1an ñõîäèòñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ+∞Rf (x)dx, è ðàñ-1õîäèòñÿ, åñëè ýòîò èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ èëëþñòðàöèè ðàññìîòðèì ãðàèêóíêöèè y = f (x), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì òåîðåìû, è ïîñòðîèì ñòóïåí÷àòûå èãóðû, îäíà èç êîòîðûõ âïèñàíà â êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ, îãðàíè÷åííóþ ãðàèêîì óíêöèè y = f (x),îñüþ Ox è ïðÿìûìè x = 1, x = n, à äðóãàÿ îïèñàíà îêîëî ýòîéòðàïåöèè.58ya2a3a4y = f (x)an−1an0ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀa11234n−1 n5xèñ.

1ÊàÏëîùàäü âïèñàííîé ñòóïåí÷àòîé èãóðû ðàâíà a2 +a3 +. . .+an ,ïëîùàäü îïèñàííîé èãóðû ðàâíà a1 +a2 +. . .+an−1. Ïëîùàäü ñàìîé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ðàâíàRnf (x)dx è çàêëþ÷åíà ìåæäó1ïëîùàäÿìè âïèñàííîé è îïèñàííîé èãóða2 + a3 + . . . + an <Rnf (x)dx < a1 + a2 + . . . + an−1 .1Ïóñòü èíòåãðàë+∞R1f (x)dx ñõîäèòñÿ, ò.å. èìååò êîíå÷íîå çíà÷åíèå59+∞Rf (x)dx = J . Òîãäà ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà Sn îãðàíè÷åíû1Sn = a1 + a2 + a3 + . . .

+ an < a1 +Rnf (x)dx < a1 + J.1Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä ñõîäèòñÿ.Åñëè+∞Rf (x)dx ðàñõîäèòñÿ, òî1f (x)dx + an >1n → ∞,Rnf (x)dx → ∞,ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀSn = a1 + a2 + a3 + . . . + an >Rn1ñëåäîâàòåëüíî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.∞ 1PÏðèìåð 1. àññìîòðèì ðÿä, êîòîðûé íàçûâàþò îáîáαn=1 nùåííûì ãàðìîíè÷åñêèì ðÿäîì èëè ðÿäîì Äèðèõëå.Èíòåãðàë+∞R11ñõîäèòñÿ ïðè óñëîâèè α > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðèxαóñëîâèè α ≤ 1, ñëåäîâàòåëüíî, îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿäñõîäèòñÿ, åñëè α > 1, è ðàñõîäèòñÿ, åñëè α ≤ 1.Ïðèìåð 2.

àññìîòðèì ðÿä∞Pn=21.n ln nÑîîòâåòñòâóþùèé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë+∞Rà2+∞R d(ln x)1= +∞,== ln(ln x)|+∞2x ln xlnx2Êà, çíà÷èò, äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Çàìå÷àíèå. Ìû ðàññìîòðåëè îñíîâíûå ïðèçíàêè ñõîäèìîñòèïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ. Åñòü äðóãèå, áîëåå "òîíêèå"ïðèçíàêè, äàþùèå îòâåò íà âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäîâ â òåõ ñëó÷àÿõ, ãäå ðàññìîòðåííûå ïðèçíàêè "íå ðàáîòàþò".Ÿ4 Çíàêîïåðåìåííûå ÷èñëîâûå ðÿäû×èñëîâîé ðÿä íàçûâàåòñÿ çíàêîïåðåìåííûì, åñëè ñðåäè åãî ÷ëåíîâ åñòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà.

Åñëè60îòðèöàòåëüíûõ ÷ëåíîâ êîíå÷íîå ÷èñëî, òî, îòáðîñèâ èõ, ïîëó÷èìïîëîæèòåëüíûé ðÿä. Åñëè ïîëîæèòåëüíûõ ÷ëåíîâ êîíå÷íîå ÷èñëî, òî, îòáðîñèâ èõ, ïîëó÷èì îòðèöàòåëüíûé ðÿä, êîòîðûé ìîæíî èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ òåîðåì î ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíûõðÿäîâ, èçìåíèâ çíàêè âñåõ ÷ëåíîâ ðÿäà. Ñóùåñòâåííî íîâûì ÿâëÿåòñÿ òîò ñëó÷àé, êîãäà ñðåäè ÷ëåíîâ ðÿäà áåñêîíå÷íîå ÷èñëîïîëîæèòåëüíûõ è áåñêîíå÷íîå ÷èñëî îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë.ÿä ËåéáíèöàÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ4.1àññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà çíàêè ÷ëåíîâ ðÿäà ÷åðåäóþòñÿ, íàïðèìåð, ÷ëåíû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè ïîëîæèòåëüíû, à ÷ëåíû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè îòðèöàòåëüíû.

Òàêèå ðÿäû óäîáíî çàïèñûâàòü ââèäå∞Pn=1(−1)n+1an∞Pèëè(−1)n an ,ãäå an > 0.n=1Òåîðåìà Ëåéáíèöà (ïðèçíàê ñõîäèìîñòè çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿðÿäà). Åñëè ÷ëåíû çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà ìîíîòîííî óáûâàþò ïî ìîäóëþan+1 < an ,n = 1, 2, 3, . . .è ñòðåìÿòñÿ ê íóëþlim an = 0n→∞n=1Ê∞Pàòî ðÿä ñõîäèòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè âîçüìåì ðÿä(−1)n+1an , an > 0. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõñóìì ñ ÷åòíûìè íîìåðàìèS2n = (a1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + . .

. + (a2n−1 − a2n ).×ëåíû ðÿäà ñãðóïïèðîâàíû òàê, ÷òî âñå ñëàãàåìûå ýòîé ñóììû ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Çíà÷èò, ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè âîçðàñòàþò ñ ðîñòîì n. Ñ äðóãîé ñòîðîíûS2n = a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n ,61ò.å. ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè îãðàíè÷åíû ïåðâûì÷ëåíîì ðÿäà S2n < a1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåëlim S2n = S.n→∞Äëÿ ÷àñòè÷íûõ ñóìì ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîS2n+1 = S2n + a2n+1 ,ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀèç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òîlim S2n+1 = lim (S2n + a2n+1 ) = lim S2n + lim a2n+1 = S.n→∞n→∞n→∞n→∞Èòàê, ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè íîìåðàìè èìåþòîäèí è òîò æå ïðåäåë, à, çíà÷èò, ðÿä ñõîäèòñÿ, è åãî ñóììà ðàâíàS.Çàìå÷àíèå 1.

Çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä, óäîâëåòâîðÿþùèéóñëîâèÿì òåîðåìû Ëåéáíèöà, íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ëåéáíèöà.Çàìå÷àíèå 2. ×àñòè÷íûå ñóììû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè ïðèáëèæàþòñÿ ê ñóììå ðÿäà S , âîçðàñòàÿ, à ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè óáûâàÿ, ò.å. ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâîS2n < S < S2n−1. ÷àñòíîñòè,0 < S < a1 .ÊàÅñëè ïåðâûé ÷ëåí ðÿäà Ëåéáíèöà −a1 îòðèöàòåëåí, òî−a1 < S < 0. ëþáîì ñëó÷àå ñóììà ðÿäà èìååò çíàê åãî ïåðâîãî ÷ëåíà èìåíüøå åãî ïî ìîäóëþ. Îñòàòîê ðÿäà Ëåéáíèöà òàêæå ÿâëÿåòñÿðÿäîì Ëåéáíèöà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììà îñòàòêà èìååò çíàê ñâîåãîïåðâîãî ÷ëåíà è ìåíüøå åãî ïî ìîäóëþ. Òàê äëÿ ðÿäà Ëåéáíèöàëåãêî îöåíèâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé è ÷àñòè÷íîé ñóììîé.∞ (−1)n+1PÏðèìåð 1.

àññìîòðèì ðÿä.nn=1Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèÿ òåîðåìû Ëåéáíèöà âûïîëíåíû,ðÿä ñõîäèòñÿ.62Ïðèìåð 2. àññìîòðèì ðÿä∞Pn=2(−1)nln nln n, an =.nnÄëÿ ïðîâåðêè âûïîëíåíèÿ óñëîâèé òåîðåìû Ëåéáíèöà ââåäåìln xóíêöèþ f (x) =è äîêàæåì, ÷òî îíà ìîíîòîííî óáûâàåò,xíà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ x, è ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè x → ∞.Âû÷èñëèì1 − ln x< 0 äëÿ x > e.x2Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà n = 3, âåðíî íåðàâåíñòâîln nan+1 < an . Êàê óæå áûëî ïîêàçàíî, lim= 0. Ñëåäîâàòåëüíî,n→∞ nÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀf ′ (x) =óñëîâèÿ òåîðåìû Ëåéáíèöà âûïîëíåíû, è ðÿä ñõîäèòñÿ.Çàìå÷àíèå. Ñîñòàâèì ðÿäû èç ìîäóëåé ÷ëåíîâ ðàññìîòðåííûõðÿäîâ∞ 1P,n=1 n∞ ln nP.n=2 nÎáà ýòè ðÿäà ðàñõîäÿòñÿ. Ïåðâûé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèì,à ÷ëåíû âòîðîãî, íà÷èíàÿ ñ n = 3, áîëüøå, ÷åì ÷ëåíû ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà.4.2Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòüÏóñòü äàí ïðîèçâîëüíûé çíàêîïåðåìåííûé ðÿä∞Pan , à ðÿän=1∞Pn=1|an |Êàñîñòàâëåí èç ìîäóëåé åãî ÷ëåíîâ.Òåîðåìà.

Åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä èç ìîäóëåé ÷ëåíîâ äàííîãî ðÿäà,òî ñõîäèòñÿ è ñàì çíàêîïåðåìåííûé ðÿä.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñõîäèòñÿ ðÿä èç ìîäóëåé. Òîãäà ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òîäëÿ ëþáîãî íîìåðà n > N è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k áóäåò âåðíîíåðàâåíñòâî|an+1| + |an+2 | + . . .

+ |an+k | < ε.Äëÿ çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó|an+1 + an+2 + . . . + an+k | ≤ |an+1 | + |an+2 | + . . . + |an+k | < ε,63ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî óñëîâèå ñõîäèìîñòè äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ, ò.å.ñàì çíàêîïåðåìåííûé ðÿä ñõîäèòñÿ.Åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç ìîäóëåé ÷ëåíîâ äàííîãîðÿäà, òî ñàì çíàêîïåðåìåííûé ðÿä íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ.Åñëè çíàêîïåðåìåííûé ðÿä ñõîäèòñÿ, à ðÿä, ñîñòàâëåííûé èçìîäóëåé åãî ÷ëåíîâ, ðàñõîäèòñÿ, òî òàêîé ðÿä íàçûâàåòñÿ óñëîâíîñõîäÿùèìñÿ.ÿäû, ðàññìîòðåííûå â ïðèìåðàõ ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ÿâëÿþòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìèñÿ.Ïðè óñòàíîâëåíèè àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿâñåìè ïðèçíàêàìè ñõîäèìîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ.

Åñëè ñõîäèìîñòü ðÿäà èç ìîäóëåé óñòàíîâëåíà, òî èññëåäîâàíèå ðÿäà íà ýòîìçàêàí÷èâàåòñÿ ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Åñëè óñòàíîâëåíà ðàñõîäèìîñòü ðÿäà èç ìîäóëåé ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà èëèÊîøè, òî èññëåäîâàíèå òàêæå çàêàí÷èâàåòñÿ, ò.ê. â ýòîì ñëó÷àåçíàêîïåðåìåííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â ñèëó íåâûïîëíåíèÿ íåîáõîäèìîãî óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè (îáùèé ÷ëåí ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê ∞ ñ âîçðàñòàíèåì n). Åñëè ðàñõîäèìîñòü ðÿäà óñòàíîâëåíà äðóãèìè ñïîñîáàìè, òî èññëåäîâàíèå íàäî ïðîäîëæèòü, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþòåîðåìû Ëåéáíèöà: ðÿä ìîæåò ñõîäèòüñÿ óñëîâíî.2nn+1 2Ïðèìåð 1. àññìîòðèì ðÿä.(−1)n!n=1∞PàÏðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà ê ðÿäó èç ìîäóëåé22Ên!2(n+1)n!an+12n +2n+1lim= lim· n2 = lim=·n→∞ ann→∞ (n + 1)! 2n→∞(n + 1)!2n222n+1= lim= ∞.n→∞ n + 1Ïðåäåë âû÷èñëåí ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ∞22x+122x+1 ln 2 · 2lim== lim= +∞.x→+∞ x + 1∞ x→+∞1ÿä èç ìîäóëåé ðàñõîäèòñÿ, ïðè÷åì åãî ðàñõîäèìîñòü óñòàíîâëåíàñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Äàëàìáåðà.

Çíà÷èò, è ñàì ðÿä ðàñõîäèòñÿ.64Ïðèìåð 2. àññìîòðèì ðÿä∞P(−1)n+1n=1 3n + 1 n5n + 3.Ïðèìåíèì ðàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè ê ðÿäó èç ìîäóëåé 3n + 1 3√nlim an = lim= < 1.n→∞ 5n + 3n→∞5Çíà÷èò, äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.∞ (−1)nP√Ïðèìåð 3. àññìîòðèì ðÿä.3nn=1ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÿä èç ìîäóëåé ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ êàê îáîáùåííûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ñ ïîêàçàòåëåì α =1. Îäíàêî, äëÿ äàííîãî ðÿäà3âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ëåéáíèöà, ò.å. ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî.4.3Ñâîéñòâà àáñîëþòíî è óñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâàÁåç äîêàçàòåëüñòâà îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà àáñîëþòíî èóñëîâíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, òî ðÿä, ïîëó÷åííûé ïðîèçâîëüíîé ïåðåñòàíîâêîé åãî ÷ëåíîâ, òàêæå ñõîäèòñÿ è èìååò òó æå ñóììó. Äðóãèìè ñëîâàìè, àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä îáëàäàåò ïåðåìåñòèòåëüíûì ñâîéñòâîì òàê æå, êàê è êîíå÷íàÿ ñóììà.Åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ óñëîâíî, òî íàäëåæàùåé ïåðåñòàíîâêîé åãî÷ëåíîâ ìîæíî èçìåíèòü ñóììó ðÿäà íà ëþáîå çàäàííîå ÷èñëî, àòàêæå ñäåëàòü ðÿä ðàñõîäÿùèìñÿ.àññìîòðèì ïðèìåð.

ÿäÊ1−1 1 111+ − + ...+−+ ...2 3 42n − 1 2nÿâëÿåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ.àññìîòðèì åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû ñ ÷åòíûìè íîìåðàìèS2n 111 1 1+−+...+−.= 1−23 42n − 1 2nÒåïåðü ïåðåñòàâèì ÷ëåíû ðÿäà òàê, ÷òî ïîñëå îäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷ëåíà áóäóò ñëåäîâàòü 2 îòðèöàòåëüíûõ1−1 1 1 1 1111− + − − + ...+−−+ ...2 4 3 6 82n − 1 4n − 2 4n65àññìîòðèì ÷àñòè÷íûå ñóììû ýòîãî ðÿäà ñ íîìåðàìè, êðàòíûìè31 1 1 1 1ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÏðè÷åìσ3n = 1 − −+− −+ ...+24368 111+−−=2n − 1 4n − 2 4n1 1 1 1 11=−+−+ ...+−=2 46 84n − 2 4n11 1 111 1=1− + − +...+−= S2n .22 3 42n − 1 2n21,2n + 111= σ3n +−.2n + 1 4n + 2σ3n+1 = σ3n +σ3n+2ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì íîâîãî ðÿäà ñõîäèòñÿ.

Îäíàêî, â ðåçóëüòàòå ïåðåñòàíîâêè ÷ëåíîâ ðÿäà ïîëó÷åíðÿä, ñóììà êîòîðîãî â 2 ðàçà ìåíüøå ñóììû èñõîäíîãî ðÿäà.Ÿ5 Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû5.1Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä, åãî îáëàñòü ñõîäèìîñòèÏóñòü äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíêöèéÊàu1 (x), u2 (x), . . . , un (x), . . . ,îïðåäåëåííûõ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå X . Âûðàæåíèå âèäàu1 (x) + u2 (x) + . . .

+ un (x) + . . . =∞Pun (x)n=1íàçûâàåòñÿ óíêöèîíàëüíûì ðÿäîì, à ìíîæåñòâî X îáëàñòüþîïðåäåëåíèÿ ýòîãî ðÿäà.Ïðè ïîäñòàíîâêå ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ x èç ìíîæåñòâà Xóíêöèîíàëüíûé ðÿä ñòàíîâèòñÿ ÷èñëîâûì, ïðè÷åì ïðè îäíèõçíà÷åíèÿõ x ÷èñëîâîé ðÿä ìîæåò áûòü ñõîäÿùèìñÿ, à ïðè äðóãèõ66 ðàñõîäÿùèìñÿ. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïåðåìåííîé x, ïðè êîòîðûõóíêöèîíàëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ, íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòèóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. Íàïðèìåð, ðÿäû∞Pnx ,n=1∞ 1Pxn=1 n5.2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀîïðåäåëåíû ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ x.

Îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ïåðâîãî èç íèõ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (−1, 1), à îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè âòîðîãî ïðîìåæóòîê (1, +∞). Ñóììà óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà S(x)ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà îáëàñòè ñõîäèìîñòè ðÿäà.àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü óíêöèîíàëüíîãî ðÿäàÊîíå÷íûå ñóììû ñîõðàíÿþò ñâîéñòâà ñâîèõ ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, ñóììà êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïðåðûâíûõ óíêöèé òàêæå íåïðåðûâíà. Îáëàäàþò ëè áåñêîíå÷íûå ñóììû óíêöèé, ò.å.