Учебно-методическое пособие, страница 4

Äëÿýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1 +1nnÿâëÿ-à1 nåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé è lim 1 += e (2-îé çàìån→∞nÊ÷àòåëüíûé ïðåäåë). Âñå ÷ëåíû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåíüøå÷èñëà e.1 n1+n< e,n = 1, 2, 3, . . .Ïðîëîãàðèìèðóåì äàííîå íåðàâåíñòâî ïî îñíîâàíèþ en + 11 n< ln e ⇒ n ln<1 ⇒ln 1 +nn1> ln(n + 1) − ln n.⇒n48Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèé n.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ1 > ln 2 − ln 1,1> ln 3 − ln 2,21> ln 4 − ln 3,3...1> ln(n + 1) − ln nn1 11Ñêëàäûâàÿ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì 1+ + +.

. .+ > ln(n+1).2 3nÝòî îçíà÷àåò, ÷òî ñ âîçðàñòàíèåì n ÷àñòè÷íûå ñóììû ãàðìîíè÷å-ñêîãî ðÿäà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþò, à, ñëåäîâàòåëüíî, ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Ÿ2 Ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ2.1Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäàÄîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ, òîåãî îáùèé ÷ëåí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò.å. lim an = 0.n→∞Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà ∃ lim Sn = S è ∃ lim Sn−1 =n→∞n→∞àS . À ò.ê. an = Sn − Sn−1, òî ∃ lim an = lim (Sn − Sn−1) = S − S =n→∞n→∞0.ÊÌû ïîëó÷èëè íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ïðè íàðóøåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ðÿä çàâåäîìî ðàñõîäèòñÿ.

Ïðèâûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ðÿä ìîæåò áûòü êàê ñõîäÿùèìñÿ, òàêè ðàñõîäÿùèìñÿ.Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåííûì ïðèìåðàì. Äëÿ ðÿäîâ∞Pn=1∞ 1P1èíåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè âû(3n − 1)(3n + 2) n=1 nïîëíåíî, íî ïåðâûé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, à âòîðîé - ðàñõîäÿùèìñÿ.49Íåîáõîäèìîå óñëîâèå óäîáíî ïðèìåíÿòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâàðàñõîäèìîñòè ðÿäîâ.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞ 2n + 1Pðàñõîäèòñÿ, ò.ê.Íàïðèìåð, ðÿän=1 3n + 22n + 1 2lim= 6= 0.n→∞ 3n + 23∞ 3n + 1 nPÿäòàêæå ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäÿùèìñÿ, ò.ê.3n+2n=1n 3n + 1 n1 −(3n+2) − 3n+2lim=1−= limn→∞ 3n + 2n→∞3n + 2116= 0,= e− 3 = √3eò.å.

íåîáõîäèìîå óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ.2.2Îñòàòîê ðÿäàÅñëè îòáðîñèòü ïåðâûå n ÷ëåíîâ ðÿäà∞Pak , òî ïîëó÷èòñÿ ðÿäk=1an+1 + an+2 + an+3 + . . . + an+m + . . . =∞Pak ,k=n+mêîòîðûé íàçûâàåòñÿ îñòàòêîì äàííîãî ðÿäà ñ íîìåðîì n. Äàííûéàðÿä ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäèòñÿ ëþáîé èç åãîîñòàòêîâ. Äåéñòâèòåëüíî, îòáðàñûâàíèå íåêîòîðîãî ÷èñëà ïåðâûõÊ÷ëåíîâ ðÿäà èçìåíèò çíà÷åíèÿ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì íà íåêîòîðóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ ñóììå îòáðîøåííûõ÷ëåíîâ, íî íå ïîâëèÿåò íà ñõîäèìîñòü.Åñëè S è Sn - ñîîòâåòñòâåííî ñóììà è ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ñ íîìå-ðîì n ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà, à rn ñóììà åãî îñòàòêà, òî rn = S − Sn .Ñëåäîâàòåëüíî, lim rn = lim (S − Sn ) = S − S = 0.n→∞n→∞Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ, ñóììà åãî îñòàòêà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ñ âîçðàñòàíèåì íîìåðà îñòàòêà.502.3Êðèòåðèé Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäîâÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÑîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì. Äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êðèòåðèé ñõîäèìîñòè (êðèòåðèé Êîøè) îðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì äëÿ òîãî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Sn , n = 1, 2, 3, .

. ., èìåëà êîíå÷íûé ïðåäåë, íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåð N , ÷òîäëÿ âñåõ n ≥ N è äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k âûïîëíÿëîñüíåðàâåíñòâî |Sn+k − Sn | < ε.Ôîðìóëèðóÿ ýòó òåîðåìó äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõñóìì, ïîëó÷èì êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ: äëÿ òîãî,÷òîáû ñõîäèëñÿ ÷èñëîâîé ðÿä∞Pan , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òî-náû äëÿ ëþáîãî ε ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåð N , ÷òî äëÿ âñåõ n ≥ Nè äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî|an+1 + an+2 + an+3 + . . .

+ an+k | < ε. êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ Êîøè, åùå ðàç äîêàæåìðàñõîäèìîñòü ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà. Äëÿ ýòîãî îöåíèì ðàçíîñòüìåæäó ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà |Sn+k − Sn |, ïîëàãàÿ k = n11111++ ...+>n·= .2n}2n 2|n + 1 n +{z2Êà|S2n − Sn | =n ñëàãàåìûõÑëåäîâàòåëüíî, êàêîé áû íè áûë íîìåð n, ìîæíî âûáðàòü ÷èñëî11. Èòàê, åñëè âûáðàòü ε =è22äëÿ ëþáîãî íîìåðà n âûáðàòü ÷èñëî k = n, òî |Sn+k − Sn | > ε è,k = n òàê, ÷òî |Sn+k − Sn | >ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.2.4Ëèíåéíûå äåéñòâèÿ ñ ðÿäàìèÑõîäÿùèåñÿ ðÿäû îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ïðîñòûìè ñâîéñòâàìè511) åñëè ÷ëåíû ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà óìíîæèòü íà îäíî è òî æå÷èñëî, òî åãî ñõîäèìîñòü íå íàðóøèòñÿ (ñóììà óìíîæèòñÿ íà òî÷èñëî, íà êîòîðîå áûëè óìíîæåíû ÷ëåíû ðÿäà),2) åñëè ðÿäû∞Pan ènñîîòâåòñòâåííî, òî ðÿä∞Pbn ñõîäÿòñÿ è èõ ñóììû ðàâíû A è Bn∞P(an + bn ) òàêæå ñõîäèòñÿ è åãî ñóììànÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀðàâíà A + B .Ÿ3 ×èñëîâûå ðÿäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè÷ëåíàìè3.1ÊàÏîëîæèòåëüíûìè íàçûâàþòñÿ ðÿäû, âñå ÷ëåíû êîòîðûõ íåîòðèöàòåëüíû.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòè÷íûõ ñóìì òàêèõ ðÿäîâ ìîíîòîííî âîçðàñòàþò, ò.ê. Sn+1 = Sn + an+1 ≥ Sn .Êàê èçâåñòíî, ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò êîíå÷íûéïðåäåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíà îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèòåëüíûé ðÿä ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî÷àñòè÷íûå ñóììû îãðàíè÷åíû. Äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ïðîñòîãî óòâåðæäåíèÿ òðåáóåòñÿ äåëàòü îöåíêó ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà, à ýòî îêàçûâàåòñÿ ñëîæíî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ.Êàê ïðàâèëî, ñóäèòü î ñõîäèìîñòè èëè ðàñõîäèìîñòè ðÿäà óäàåòñÿ,ïðèìåíÿÿ íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè, íàïðèìåð, ñðàâíèâàÿäàííûé ðÿä ñ äðóãèì, çàâåäîìî ñõîäÿùèìñÿ èëè ðàñõîäÿùèìñÿ.Ïðèçíàêè ñðàâíåíèÿÏåðâûé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ. Ïóñòü äàíû äâà ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäà∞Pn=1an(1)∞Pbn(2)n=1Åñëè äëÿ âñåõ íîìåðîâ n (èëè äëÿ âñåõ íîìåðîâ n, áîëüøèõ íåêîòîðîãî íîìåðà N ) âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî an ≤ bn , òî èç ñõîäèìîñòè52ðÿäà (2) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (1), à èç ðàñõîäèìîñòè ðÿäà (1)ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà (2).Äîêàçàòåëüñòâî.

Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî an ≤ bnâûïîëíåíî äëÿ âñåõ íîìåðîâ n.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîæíî îòáðîñèòü êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî íåâûïîëíåíî, ÷òî íå ïîâëèÿåò íà ñõîäèìîñòü ðÿäà. Òîãäàa1 + a2 + . . . + an ≤ b1 + b2 + . . . + bn .ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÅñëè ðÿä (2) ñõîäèòñÿ, òî åãî ÷àñòè÷íûå ñóììû îãðàíè÷åíû, ò.å.b1 + b2 + . .

. + bn < S , ãäå S íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Íî òîãäàîãðàíè÷åíû è ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (1), è ðÿä (1) ñõîäèòñÿ.Åñëè æå ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ, òî, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðÿä (2) ñõîäèòñÿ, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïðèìåð 1. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä∞Pn=11√ .2n + n∞ 1P, êîòîðûé ñõîäèòñÿ, êàê ñóììà ãåîìåòàññìîòðèì ðÿänn=1 21ðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì q = . Äëÿ âñåõ íîìåðîâ n2âåðíî, ÷òî11√<.2n + n 2nÑîãëàñíî ïåðâîìó ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ äàííûé ðÿä òàêæå ñõîäèòñÿ.∞P1√ .nn=1∞P 1àññìîòðèì äëÿ ñðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä, êîòîðûé,n=1 nêàê óæå áûëî äîêàçàíî, ðàñõîäèòñÿ. Äëÿ âñåõ n ≥ 2 âåðíî, ÷òî11√ > , è, ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé ðÿä òàêæå ðàñõîäèòñÿ.n nÊàÏðèìåð 2.

Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿäÂòîðîé ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ (ïðåäåëüíûé). Ïóñòü äàíû äâà ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäà∞Pn=1an(1)∞Pn=1bn(2)53an, òî ðÿäû (1)n→∞ bnÅñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé, îòëè÷íûé îò íóëÿ limè (2) îáà ñõîäÿòñÿ èëè îáà ðàñõîäÿòñÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä (2) ñõîäèòñÿ. Îáîçíà-an= A, A > 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà äëÿ ëþáîãîn→∞ bnïîëîæèòåëüíîãî ε è äîñòàòî÷íî áîëüøèõ íîìåðîâ n áóäåò âûïîë÷èì limíåíî íåðàâåíñòâîÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀan< A + ε èëè an < (A + ε) bnbnÒ.ê.

ðÿä (2) ñõîäèòñÿ, òî ñîãëàñíî ñâîéñòâó ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ñõîäèòñÿ è ðÿä∞P(A + ε) bn , à, çíà÷èò, ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó ñðàâíå-n=1íèÿ ñõîäèòñÿ è ðÿä (1).an, êîòîðûé òàêæå ñóùåñòâóåò, êîíå÷åí èn→∞ bnàññìàòðèâàÿ limîòëè÷åí îò íóëÿ, ïðèäåì ê âûâîäó, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ðÿäà (1)ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (2). Èòàê, åñëè îäèí èç ðÿäîâ ñõîäèòñÿ,òî äðóãîé òàêæå ñõîäèòñÿ.Äàëåå, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îäèí èç ðÿäîâ ðàñõîäèòñÿ, à äðóãîéñõîäèòñÿ, ïîëó÷èì ïðîòèâîðå÷èå ñ óæå äîêàçàííûì óòâåðæäåíèåì. Òåîðåìà äîêàçàíà.Ïðèìåð 1. Äîêàæåì åùå ðàç ðàñõîäèìîñòü ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿ-Êà∞ 1∞PP1ln 1 +, ñðàâíèâàÿ åãî ñ ðÿäîì, îáùèé ÷ëåí êîòîäànnn=1n=11n+1= ln= ln(n + 1) − ln n, à ÷àñòè÷íàÿ ñóììàðîãî ln 1 +nnSn = (ln 2−ln 1)+(ln 3−ln 2)+.

. .+ ln(n+1)−ln n = ln(n+1) →∞ ïðè âîçðàñòàíèè n. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ.Âû÷èñëèì1ln 1 +1 1 nnlim= lim n ln 1 +lim ln 1 +=1n→∞n→∞n n→∞nn= ln e = 1.54Ñîãëàñíî ïðåäåëüíîìó ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ãàðìîíè÷åñêèé ðÿäðàñõîäèòñÿ.Ïðèìåð 2. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ñõîäèìîñòè, ò.å. ðàññìàòðèâàÿ ïðåäåë ÷àñòè÷íûõ ñóìì, ìû óæå äîêàçàëè, ÷òî ðÿäñõîäèòñÿ. Çíà÷èò, ñõîäèòñÿ ðÿä∞P1n=1 (3n − 1)(3n + 2)∞ 1P, ò.ê. ïðåäåë îòíîøåíèÿ îá2nn=1ùèõ ÷ëåíîâ ýòèõ ðÿäîâ êîíå÷åí è îòëè÷åí îò íóëÿ3.2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ1(3n − 1)(3n + 2)n2= limlim=1n→∞n→∞n2(3n − 1)(3n + 2)h2 i1 3+= 9.= lim 3 −n→∞nnÏðèçíàê ÄàëàìáåðàÏðèçíàê Äàëàìáåðà.

Ïóñòü äàí ïîëîæèòåëüíûé ðÿäùåñòâóåò∞Pan è ñó-n=1an+1= D.n→∞ anÅñëè D < 1, òî ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëè D > 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.1−DÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü D < 1. Âîçüìåì ε => 0. Ñîãëàñ2íî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N , áóäåòàlimÊâûïîëíåíî íåðàâåíñòâî1−D1+Dan+1<D+ε=D+== q < 1.an22èëèaN +1 < aN · q,aN +2 < aN +1 · q < aN · q 2 ,...aN +k < aN · q k55ò.å. ÷ëåíû ðÿäà îêàçûâàþòñÿ ìåíüøå, ÷åì ÷ëåíû áåñêîíå÷íîóáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.

Çíà÷èò, ñîãëàñíî ïåðâîìóïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ, ðÿä ñõîäèòñÿ.Åñëè D > 1 èëè D = ∞, òî ÷ëåíû ðÿäà îêàçûâàþòñÿ áîëüøå,÷åì ÷ëåíû áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè,è, çíà÷èò, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.∞ nP.Ïðèìåð 1. àññìîòðèì ðÿän3n=1äóùåìóÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÂû÷èñëèì ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïîñëåäóþùåãî ÷ëåíà ðÿäà ê ïðåäû-n+1 n + 1 3n 1n+11 13lim n = lim· n+1 = lim 1 += < 1,n→∞n→∞n33 n→∞n3n3ò.å. ðÿä ñõîäèòñÿ.∞ nnPÏðèìåð 2. àññìîòðèì ðÿä.n!n=1Âû÷èñëèì (n + 1)n+1 n! (n + 1)n n! an+1= limlim·· n == limn→∞n→∞ ann→∞(n + 1)! nnn!n n + 1 n1 n= lim 1 +=e>1= limn→∞n→∞nn3.3Êàè, ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.àäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøèàäèêàëüíûé ïðèçíàê Êîøè. Ïóñòü äàí ïîëîæèòåëüíûé ðÿäè ñóùåñòâóåò limn→∞∞Pan√nan = K .

Åñëè K < 1, òî ðÿä ñõîäèòñÿ, åñëèK > 1, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ.n=11−K> 0. Ñîãëàñ2íî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà N áóäåòÄîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü K < 1. Âîçüìåì ε =56âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî1−K1+K√n==q<1an < K + ε = K +22èëè an < q n , ò.å. ÷ëåíû ðÿäà îêàçûâàþòñÿ ìåíüøå, ÷åì ÷ëåíûáåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Çíà÷èò, ðÿäñõîäèòñÿ.Åñëè K > 1 èëè K = ∞, òî ÷ëåíû ðÿäà îêàçûâàþòñÿ áîëüøå,ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ÷åì ÷ëåíû áåñêîíå÷íî âîçðàñòàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè,è, çíà÷èò, ðÿä ðàñõîäèòñÿ.∞ n + 1 nPÏðèìåð 1.