Учебно-методическое пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÑÒÂÎ ÎÁÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÀÖÈÈÔÅÄÅÀËÜÍÎÅ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÎÅ ÁÞÄÆÅÒÍÎÅÎÁÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÅÆÄÅÍÈÅÂÛÑØÅÎ ÏÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÎ ÎÁÀÇÎÂÀÍÈßÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÎÑÓÄÀÑÒÂÅÍÍÛÉ”ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÑÈÒÅÒÀÄÈÎÒÅÕÍÈÊÈ, ÝËÅÊÒÎÍÈÊÈ È ÀÂÒÎÌÀÒÈÊÈ“ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇIII ñåìåñòðÓ×ÅÁÍÎ-ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅÄëÿ ñòóäåíòîâ î÷íîãî îáó÷åíèÿàêóëüòåòîâ Ýëåêòðîíèêè, ÈÒ, ÒÑÌÎÑÊÂÀ 2013Ñîñòàâèòåëè:åäàêòîðÈ.Ì.Àêñåíåíêîâà, Ò..Èãîíèíà, Î.À.Ìàëûãèíà,Í.À.Ôàðêîâà, Í.Ñ.×åêàëêèíÍ.Ñ.×åêàëêèíàññìàòðèâàåìûå êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ, ðàçðàáîòàííûå êîëëåêòèâîì êàåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè 2 ÌÈÝÀ, ìîãóò áûòüýåêòèâíûì ñðåäñòâîì êîíòðîëÿ óðîâíÿ çíàíèé ñòóäåíòîâ ïîòåîðèè ðÿäîâ, âõîäÿùåé â ïðîãðàììó II êóðñà äíåâíîãî îòäåëåíèÿ.Âûïîëíåíèå çàäàíèé ïîçâîëèò ó÷àùèìñÿ ëó÷øå ïîäãîòîâèòüñÿ êçà÷åòàì è ýêçàìåíàì ÌÈÝÀ.

Òèïîâîé ðàñ÷åò âûïîëíÿåòñÿ ñòóäåíòàìè â ïèñüìåííîì âèäå è ñäàåòñÿ ïðåïîäàâàòåëþ äî íà÷àëàçà÷åòíîé ñåññèè. Ïðèâåäåííûå â ïîñîáèè âîïðîñû ê ýêçàìåíó (çà÷åòó) ìîãóò áûòü óòî÷íåíû è äîïîëíåíû ëåêòîðîì.Ïå÷àòàþòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòàóíèâåðñèòåòà.åöåíçåíòû: Ò.Í. Áîáûëåâà,Â.Ï.Áàðàøåâ ÌÈÝÀ, 2013Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ íàïå÷àòàíû â àâòîðñêîé ðåäàêöèèÏîäïèñàíî â ïå÷àòü 00.00.2013. Ôîðìàò 60 x 84 1/16.Óñë. ïå÷.

ë. 6,05. Óñë.êð.-îòò. 24,2. Ó÷.èçä.ë. 6,5.Òèðàæ 100 ýêç. Ñ 000Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîåó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿÌîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò”ðàäèîòåõíèêè, ýëåêòðîíèêè è àâòîìàòèêè “119454, Ìîñêâà, ïð.Âåðíàäñêîãî, 783ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇIII ñåìåñòðÂÂÅÄÅÍÈÅÂÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 1ÝÀÌ-2Äàííîå ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé. ïåðâîé ÷àñòè ïðåäñòàâëåíî ñîäåðæàíèå êîíòðîëüíûõ ìåðîïðèÿòèé.Ïî êóðñó ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â òå÷åíèå III ñåìåñòðà ïðîâîäÿòñÿ 2 êîíòðîëüíûå ðàáîòû è âûïîëíÿåòñÿ òèïîâîé ðàñ÷åò.ÈÌ”ÓåäðàÒåìà. ×èñëîâûå ðÿäû“ .”Öåëü. Ïðîâåðèòü óñâîåíèå çíàíèé î ïðèçíàêàõ ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, ïðîâåðèòü óìåíèÿ óñòàíàâëèâàòü ñõîäèìîñòü (ðàñõîäèìîñòü) ðÿäîâ, èññëåäîâàòü ðÿä íà àáñîëþòíóþ èëè óñëîâíóþñõîäèìîñòü.Ñîäåðæàíèå.  êîíòðîëüíóþ ðàáîòó âõîäÿò çàäà÷è, èäåíòè÷íûå çàäà÷àì 1 7 èç ïàðàãðàà Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ“ .ÒàÊîíòðîëüíàÿ ðàáîòà 2ÌÊÒåìà.

Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû: îáëàñòü ñõîäèìîñòè, ðÿä Òåéëî”ðà, ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü“ .Öåëü. Ïðîâåðèòü óñâîåíèå çíàíèé î òèïàõ ñõîäèìîñòè óíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ, î ñâîéñòâàõ òàêèõ ðÿäîâ, ïðîâåðèòü óìåíèÿïðåäñòàâëÿòü óíêöèþ ñ ïîìîùüþ ðÿäà Òåéëîðà, óñòàíàâëèâàòüðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü, íàõîäèòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè, èñïîëüçîâàòü ðÿäû â ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèÿõ.Ñîäåðæàíèå.  êîíòðîëüíóþ ðàáîòó âõîäÿò çàäà÷è, èäåíòè÷íûå çàäà÷àì 8 13 èç ïàðàãðàà Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ“ .”4Òèïîâîé ðàñ÷åòÒåìà.

Òåîðèÿ ðÿäîâ“ .”Öåëü. Ïðîâåðèòü óñâîåíèå çíàíèé è óìåíèé ïî òåîðèè ðÿäîâ âñîîòâåòñòâèè ñ ïðîãðàììîé êóðñà.Ñîäåðæàíèå.  òèïîâîé ðàñ÷åò âõîäÿò çàäà÷è èç ïàðàãðààÒèïîâîé ðàñ÷åò“ .Òèïîâîé ðàñ÷åò âûïîëíÿåòñÿ êàæäûì ñòóäåíòîì â îòäåëüíîéÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ”òåòðàäè â ñîîòâåòñòâèè ñ íàçíà÷åííûì åìó íîìåðîì âàðèàíòà.Ñòóäåíò îáúÿñíÿåò ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðåïîäàâàòåëþ, îòâå÷àåò íà âîïðîñû.

Òèïîâîé ðàñ÷åò îáÿçàòåëüíî ïðåäúÿâëÿåòñÿ â íà÷àëå ýêçàìåíà (çà÷åòà).Ïî èòîãàì îáó÷åíèÿ ïðîâîäèòñÿ ýêçàìåí (çà÷åò).  ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ïðèâîäèòñÿ ñïèñîê òåîðåòè÷åñêèõ âîïðîñîâ ïî êóðñóìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (III ñåìåñòð) è îáðàçåö ýêçàìåíàöèîííîãî (çà÷åòíîãî) áèëåòà.Îòìåòèì, ÷òî çàäà÷è èç ïàðàãðàà Êîíòðîëüíûå çàäàíèÿ“ ”ýòî çàäà÷è, êîòîðûå ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ñîäåðæàíèÿäîìàøíèõ ðàáîò, îðãàíèçàöèè ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ó÷àùèõñÿ.

Ïî óñìîòðåíèþ ïðåïîäàâàòåëÿ ïðåäëàãàåìûé ñïèñîê çàäàíèéàýòîãî ïàðàãðàà ìîæåò áûòü ðàñøèðåí.ÊÂòîðàÿ ÷àñòü ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ âêëþ÷àåò èçëîæå-íèå òåîðèè ðÿäîâ. Ïðèâîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ, îðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå òåîðåìû êóðñà.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îáñóæäàþòñÿ èäåèäîêàçàòåëüñòâà òåîðåì.  ðàìêàõ êàæäîãî ïàðàãðàà èç âòîðîé÷àñòè ðàçáèðàåòñÿ ðåøåíèå òèïîâûõ çàäàíèé, îïèñûâàåòñÿ äåÿòåëüíîñòü ïî àíàëèçó è äàëüíåéøåìó èçó÷åíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãîîáúåêòà.Óñâîåíèå ñîäåðæàíèÿ âòîðîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñïåøíîãî âûïîëíåíèÿ âñåõ êîíòðîëüíûõ ìåðîïðèÿòèé.5×àñòü I. Ñîäåðæàíèå êîíòðîëüíûõ ìåðîïðèÿòèé1Òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû ê ýêçàìåíó (çà÷åòó)1. ×èñëîâîé ðÿä, åãî ñõîäèìîñòü. Ïðèìåðû ñõîäÿùèõñÿ è ðàñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ãàðìîíè÷åñêèéðÿä è äðóãèå.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ2.

Íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà.3. Êðèòåðèé ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà.4. Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ, åãî ïðåäåëüíàÿîðìà.5. Ïðèçíàêè Äàëàìáåðà è Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè.6. Èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ÷ëåíàìè. Ñõîäèìîñòü ðÿäîâ âèäà∞ 1P.αnn=17. Ïðèçíàê ñõîäèìîñòè çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà, îöåíêà îñòàòêà.à8. Ñõîäèìîñòü ðÿäà èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ çíàêîïåðåìåííîãî ðÿäà êàê äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ñàìîãî ðÿäà. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü.Ê9. Ñâîéñòâà àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ïåðåñòàíîâêà ÷ëåíîâ,ïåðåìíîæåíèå ðÿäîâ. Ïåðåñòàíîâêà ÷ëåíîâ óñëîâíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà.10. Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä, åãî îáëàñòü ñõîäèìîñòè. Ïðèìåðû.11.

àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà.12. Íåïðåðûâíîñòü ñóììû óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.613. Òåîðåìà î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè óíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.14. Òåîðåìà î ïî÷ëåííîì äèåðåíöèðîâàíèè óíêöèîíàëüíûõðÿäîâ.15. Ñòåïåííîé ðÿä. Òåîðåìà Àáåëÿ.

àäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîâåäåíèå ðÿäà íà êîíöàõ èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ16. àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ñòåïåííîãî ðÿäà. Íåïðåðûâíîñòü ñóììû ñòåïåííîãî ðÿäà.17. Òåîðåìû î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè è äèåðåíöèðîâàíèèñòåïåííûõ ðÿäîâ. Áåñêîíå÷íàÿ ãëàäêîñòü ñóììû ñòåïåííîãîðÿäà.18. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè óíêöèè â ñòåïåííîéðÿä. Åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ. ÿäû Òåéëîðà è Ìàêëîðåíà.19. Êðèòåðèé ðàçëîæèìîñòè óíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä.20. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè óíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä.à21.

Ïðèìåíåíèå ñòåïåííûõ ðÿäîâ ê ðåøåíèþ äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé, ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì çíà÷åíèÿ óíêöèè è îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.Ê22. ÿäû Òåéëîðà äëÿ îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ óíêöèé ex , sin x,cos x, ln(1 + x), (1 + x)m .23. Îðòîãîíàëüíûå è îðòîíîðìèðîâàííûå ñèñòåìû óíêöèé. Íîðìà óíêöèè. Ïðèìåðû îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì.24.

ÿä Ôóðüå ïî îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìå. Êîýèöèåíòû ðÿäàÔóðüå.25. Ïðèáëèæåíèå óíêöèè â ñðåäíåì. Ñõîäèìîñòü â ñðåäíåì ðÿäà Ôóðüå.726. Ýêñòðåìàëüíîå ñâîéñòâî êîýèöèåíòîâ Ôóðüå. Åãî ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.27. Íåðàâåíñòâî Áåññåëÿ è ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ. Ïîëíîòà è çàìêíóòîñòü îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìû óíêöèé.28. Èíòåãðàë Ôóðüå â âåùåñòâåííîé è êîìïëåêñíîé îðìå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ29. Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû.30. Ìåòîä Ôóðüå ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.31. Ìåòîä Äàëàìáåðà ðåøåíèÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.Ïðèìåðíûé ýêçàìåíàöèîííûé áèëåò1. àâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü óíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.

Ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà.2. Èññëåäîâàòü ÷èñëîâîé ðÿä íà ñõîäèìîñòüa)∞Xlnàn=1Ê2∞ X1 n 11+b)n 4nn=1 n2 + 5 n2 + 4c)∞Xn=1(−1)n 3n − 1 nn3. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà∞X(−1)n (x + 6)n.n(3n+1)3n=14. àçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 = 0y = x arctgx.285. àçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå óíêöèþ, çàäàííóþ íà ïîëóïåðèîäå(0, 1) Y = 2 − 4x.6. Ìåòîäîì Ôóðüå íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû∂ 2U∂ 2U=äëèíû l = 2, çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ U (0, t) =∂t2∂x2U (2, t) = 0 è óäîâëåòâîðÿþùåé ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì35x0≤x≤110 − 5x 1 ≤ x ≤ 2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∂U (x, 0)U (x, 0) = 0,=∂tÊîíòðîëüíûå çàäàíèÿÇàäà÷à 1Äëÿ äàííîãî ÷èñëîâîãî ðÿäà:a) âûïèñàòü òðè ïåðâûõ ÷ëåíà;b) íàéòè ñóììó n ïåðâûõ ÷ëåíîâ Sn ;) äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ðÿäà, ïîëüçóÿñü íåïîñðåäñòâåííî îïðåäå-ëåíèåì ñõîäèìîñòè;1357ʝàd) íàéòè ñóììó ðÿäà S .∞P1n=1 n(n + 1)∞P1n=1 (3n − 2)(3n + 1)∞P1n=1 (2n − 1)(2n + 5)∞P2n + 12n=2 n(n − 1)2468∞P1n=1 (2n − 1)(2n + 1)∞P1n=1 n(n + 3)∞P1n=1 n(n + 1)(n + 2)∞P2n + 122n=1 n (n + 1)9111315n22n=1 (2n − 1) (2n + 1)∞ 3n + 2nP6nn=1∞ 2n + (−1)nP3nn=1 1 ∞Parctg2n2n=1∞ (−1)n+1P102nn=1∞ 3n − 2nP126nn=1∞ 3n + (−1)n+1P145nn=1∞√√P√16n−2 n+1+ n+2ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ9∞Pn=1Çàäà÷à 2Óñòàíîâèòü ðàñõîäèìîñòü äàííûõ ðÿäîâ, èñïîëüçóÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè.∞P1n=1∞P(−1)n+122n + 54n=1 3n + 7r∞Pn+156n+3n=1r∞Pn 2783n=2∞Pn9101000n+1n=1 n ∞Pn ln1112n + 100n=1∞√√P213n + n + 1 − n2 − n + 1 14Êà3n=1∞Pnn=1 2n − 1∞Pn2 + 12n=1 100n + 17r∞P2n + 533n + 7n=1r∞P3n + 1n10n + 11n=1∞ 3n − 2nPnnn=1 3 + 2∞ n + 1 n2Pn=1 n + 2∞P3n sinnn=110∞P15n=1√nn2 + 2nÇàäà÷à 31ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀÈññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü äàííûå ðÿäû ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêîâñðàâíåíèÿ.∞Pn=13∞Pn=1541√n2 + 2n6∞P∞PàÊ9∞P1+n2n=2 2 + 3nn=11√n4 + 1∞P15∞Pn=1πtg4n∞Pn=1∞Pn=113n − 1n+1n(n + 2)∞√P√8n− n−1n=1101122 − 6n + 10nn=1√√∞Pn2 + n + 1 − n2 − n + 11314nn=111∞ ln nPn=1 n22n(n + 1) 3nn=171n2n∞ n2 + 1 2P3n=1 n + 1∞Pn=11ln(n + 1)1∞ 1Psinnn=1 n11Çàäà÷à 4Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü äàííûå ðÿäû ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêàÄàëàìáåðà.n32nn=1 3 + 1∞Pn!4nnn=1 3 + 2π∞P26n sin n2n=1∞PÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞ nP1nn=1 2∞ 5nP3n=1 n!∞ Qn 3j − 1P5n=1 j=1 4j − 3791113Êà15∞ (2n + 1)!!P83n · n!n=2∞ n100P10nn=1 2∞ 2n − 1P123+1nn=1∞Pn1014n + n102n=1∞ (2n + 1)!!P16∗nnn=1∞ (n!)2Pn=1 (2n)!∞ (2n)!!Pn!n=1∞ 3n − 2nPnnn=1 3 + 4∞ nnPn=1 n!∞ en · n!Pnnn=1Çàäà÷à 4.1Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü äàííûå ðÿäû.1∞Pn=1n32n + n2∞Pn=11 n + 1 n23n n!n122n√3n=2 n ln n∞ 3n3 + | sin n|P5n4 + 1n=1∞P5n n!7πnnn=2 n − cos6∞P13n=2 (2n + 5) ln n∞ 3n + arctg(3n )P6n!n=14ÌåäÒðÓàÌ ÂÌÈ-2ÝÀ∞PÇàäà÷à 5Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü äàííûå ðÿäû ñ ïîìîùüþ ðàäèêàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè (1 10) è èíòåãðàëüíîãî ïðèçíàêà Êîøè (11 16).135∞ Pn nn=1 2n + 1∞P1nn=1 ln (n + 1)∞ n + 1 n2Pnn=1∞ 1 n + 1 n2Pnnn=2 2∞ 1 n + 1 n2Pnnn=1 3∞P1n=2 n · ln n∞P13n=2 n ln n∞P13n=3 n ln n(ln ln n)2468Ê7à101112913151416∞ n + 1 nPn=1 3n + 4 ∞Pn 1arcsinnn=1∞P2n + 1 n2n=1 2n + 3∞ Pn 3nn=1 4n + 1∞ n + 1 nP1arctg nn2n=1∞P1√n=2 n ln n∞P1n=3 n ln n(ln ln n)∞ 1 + n 2P2n=1 1 + n13Çàäà÷à 6Äîêàçàòü, ÷òî äàííûå çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû íå ÿâëÿþòñÿàáñîëþòíî ñõîäÿùèìèñÿ.