Векторный анализ, теория поля, страница 8

В каждой «элементарной»части, заменив эти части поверхностикасательными плоскостями σi* к ним cплощадью Δσi*, вводится единичный векторнормалиn , направляющие косинусыкоторогоявляютсянепрерывнымифункциями координат точек поверхности, и выбирается точка Рi(xi,yi,zi) и вней определяется вектор-функция F ( Рi ) , заданная своими проекциями наоси координат:~~~F ( Рi ) = P ( x i , y i , z i ) i + Q ( x i , y i , z i ) j + R ( x i , y i , z i ) kУмножим скалярно вектор F ( Рi ) на векторный элемент площадиповерхности (см. п. 3.2):( ( F ( Pi ), Δσ i* ) = ( F ( Pi ), n )Δσ i* = h ⋅ Δσ i*и получим объем iго параллелепипеда с высотой h.

Составим сумму всехтаких произведений:39kV * = ∑ ( Fi ( xi , yi , zi ), Δσ i* )i =1Если существует конечный предел при k→∞ (т.е. λ→0)kV = lim V * = lim ∑ ( F ( x i , y i , z i ), Δσ i* ) ,λ →0λ →0 i =1не зависящий ни от способа разбиения поверхности σ на «элементарные»участки σi, ни от выбора точек Рi∈σi (i=1,2,…,k), то он называетсяповерхностным интегралом по координатам (поверхностным интеграломвторого рода) от вектор - функции F ( x, y, z ) по поверхности σ и обозначаетсяk*lim ∑ ( F ( Рi ), Δσ i = ∫∫ ( F ( Р), dσ ) = ∫∫ ( F ( x, y, z ), dσ )λ →0 i =1σσ(3.7 а),где dσ = ± i dydz ± j dxdz ± k dxdy (см. (3.4 б)). Следовательно, раскрываяскалярное произведение ( F ( x, y, z ), dσ ) через координаты векторов, получаем:~~~∫∫ ( F ( x, y, z ), dσ ) = ± ∫∫ P ( x, y, z )dydz ± ∫∫ Q ( x, y, z )dxdz ± ∫∫ R ( x, y, z )dxdy (3.7 б)σσσσСвязь между поверхностными интегралами I и II родаТак как скалярное произведение ( F ( x, y, z ), dσ ) согласно п.

3.2 может бытьзаписано в виде: ( F ( x, y, z ), dσ ) = ( F , n )dσ , где n – единичный вектор ккасательной плоскости поверхности σ, то, раскрывая скалярное произведениевекторов через их координаты, получим связь между поверхностнымиинтегралами I и II рода.~~~(3.8)∫∫ ( F , dσ ) = ∫∫ ( F , n )dσ = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ )dσσσσПоэтому для существования поверхностного интеграла по координатам(3.7) необходимо выполнение тех же требований, что и для интеграла поплощади: гладкость поверхности и непрерывность на ней подынтегральнойфункции.Кроме того, ввиду отмеченной связи двух интегралов (3.8) и (3.7б), ихсвойства совпадают за исключением одного: поверхностный интеграл покоординатам зависит от знака направляющих косинусов нормали, т.е.

зависитот стороны поверхности (см. п. 3.1):~~~~~~∫∫ P ( x, y , z )dydz + Q ( x, y, z )dxdz + R ( x, y, z )dxdy = − ∫∫ P dydz + Qdxdz + R dxdyσ+σ−Вычисление поверхностного интеграла II-го родаПреобразование поверхностного интеграла II рода в обыкновенный двойной(частные случаи).

Пусть имеем поверхность σ, заданную уравнением Ф(x,y,z) == 0, и это уравнение разрешимо относительно всех его координат. Тогдавычисление поверхностного интеграла производится следующим образом.40Рассмотрим отдельно все слагаемые поверхностного интеграла второго рода~~~(см. (3.7 б)), т.е. интегралы - ∫∫ P ( x, y, z )dydz , ∫∫ Q ( x, y, z )dxdz , ∫∫ R ( x, y, z )dxdy .σσσВычисление интеграла от каждого слагаемого сводится к двойному интегралупо проекции поверхности σ на соответствующую координатную плоскость(знак «+» или «−» зависит от стороны двусторонней поверхности (см.

п. 3.1)):~~I. ∫∫ P ( x, y, z )dydz = ± ∫∫ P ( x( y, z ), y, z )dydz(3.9 а)σS yzгде σ - кусок поверхности x=x(y,z), который выражен из уравнения поверхностиФ(x,y,z)=0 ⇒ «лишняя» переменная х является зависимой и ставится вподынтегральную функцию P(x(y,z),y,z), Syz – проекция поверхности σ накоординатную плоскость Oyz.~~II. ∫∫ Q ( x, y, z )dxdz = ± ∫∫ Q ( x, y ( x, z ), z )dxdz(3.9 б)σS xzгде σ - кусок поверхности y=y(x,z), Sxz – проекция поверхности σкоординатную плоскость Oxz.III.~~∫∫ R ( x, y, z )dxdy = ± ∫∫ R ( x, y, z ( x, y ))dxdyσна(3.9 в)S xyгде σ - кусок поверхности z=z(x,y), Sxy – проекция поверхности σ накоординатную плоскость Oxy.Отсюда формулируется общее правило сведение поверхностногоинтеграла второго рода к двойному интегралу (см.

п. 3.5 примеры 1, 5)1. Подставить в подынтегральную функцию вместо «лишней»переменной ее значение из уравнения поверхности.2. Определить знак интеграла (угол между нормальным вектором кповерхности с осью «лишней» переменной) и проекцию Sij поверхностиσ в плоскость, перпендикулярную этой оси.Преобразование поверхностного интеграла II рода в обыкновенныйдвойной (общий прием).Пусть σ - поверхность, заданная параметрическими уравнениями:x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)где (u,v) пробегает область Δ на плоскости Ouv (функции, стоящие в правыхчастях, предполагаются непрерывными вместе с их частными производнымипервого порядка).Предположим сперва, что поверхность σ может быть представленауравнением z=f(x,y), где f – однозначная непрерывная функция, и пусть Sxyпроекция σ на плоскость Оху.

Тогда:z(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))В силу (3.9 в) и правила замены в двойном интеграле (если соответствиепрямое, т.е. сохраняющее направление обходов), получаем:41~~~∫∫ R ( x, y, z )dxdy = ∫∫ R ( x, y, z ( x, y ))dxdy = ∫∫ R[ x(u , v), y (u, v), z (u , v)] J (u , v) dudvσ+ΔS xy∂x ∂y∂ ( x, y ) ∂u ∂u(3.91)=J (u, v) =∂ (u, v) ∂x ∂y∂v ∂vJ(u,v) - якобиан перехода при замене переменных в двойном интеграле.Аналогичные формулы получаются для поверхностных интегралов подругим парам переменных. Итак,∂ ( y, z )~~dudv(3.92)∫∫ P ( x, y, z )dzdy = ∫∫ P[ x(u , v), y (u , v), z (u , v)]+(,)∂uvΔσ∂ ( z , x)~~dudv∫∫ Q ( x, y, z )dxdz = ∫∫ Q[ x(u , v), y (u , v), z (u , v)]+(,)∂uvΔσОткуда складывая формулы (3.91), (3.92), (3.93), получим:~~~~ ∂ ( y , z ) ~ ∂ ( z , x ) ~ ∂ ( x, y )+Q+R]dudv =∫∫ P dydz + Qdxdz + R dxdy = ∫∫ [ P∂uvuvuv∂∂(,)(,)(,)+Δσ(3.93)~~~P Q R(3.94)∂x ∂y ∂z= ∫∫dudv∂u ∂uΔ ∂u∂x ∂y ∂z∂v ∂v ∂vПусть, в частности, имеем кусок поверхности z=f(x,y), где х,у пробегают областьSxy плоскости Оху.

Тогда формула (3.94) дает (здесь x, y играют роль u,v):~ ~P Q~R∂f ~ ∂f ~ ~∂f~~~dxdy = ∫∫ [− P − Q + R ]dxdy∫∫ P dydz + Qdxdz + R dxdy = ∫∫ 1 0∂x∂y∂xS xyS xyσ+∂f0 1∂y3.5. Решение типовых примеровПример 1. Вычислить I = ∫∫ z cos γdσ , где σ - внешняя сторона сферы222σx + y + z = 1.Решение.42z1 = + 1 − x 2 − y 2 , cos γ ≥ 0 ,на верхней полусфере σ+z1 = − 1 − x 2 − y 2 , cos γ ≤ 0 ,на нижней полусфере σ−I = Iпо верхней полусфере +Iпо нижней полусфере= ∫∫ z cos γdσ +(σ )верхн+∫∫ z cos γdσ = ∫∫+ z cos γdσ − ∫∫− z cos γdσ =(σ ) нижнσσ= + ∫∫ 1 − x 2 − y 2 dxdy − ∫∫ − 1 − x 2 − y 2 dxdy = 2 ∫∫ 1 − x 2 − y 2 dxdy =S xyS xyS xy⎧ x = r cos ϕ ⎫ 2π 142⎨⎬ = 2 ∫ dϕ ∫ r 1 − r dr = π300⎩ y = r sin ϕ ⎭.4π3Пример 2.

Вычислить ∫∫ xdσ , где σ - часть поверхности цилиндра z = 1 - x2,Ответ:σ0 ≤ x ≤1.на которой0 ≤ y ≤1Решение: Делаем проекцию поверхности σ на ось Оху.Тогда согласно формуле (3.6) имеем:⎧ z = 1 − x 2 → z ′x = −2 x; z ′y = 0 ⎫⎪⎪⎪222⎪′′∫∫ xdσ = ⎨ 1 + ( z x ) + ( z y ) = 1 + 4 x ⎬ =σ⎪⎪⎪⎩dσ = 1 + 4 x 2 dxdy⎪⎭211001012∫∫ x 1 + 4 x dxdy = ∫ dy ∫ x 1 + 4 x d x = ∫ x 1 + 4 x y d xD2(111 1 + 4x2= ∫ 1 + 4 x 2 d (1 + 4 x 2 ) =80832)320()1 1=5 5 −10 121(5 5 − 1) .12Пример 3. Вычислить I = ∫∫ ( x − 3 y + 2 z )ds , где S – часть плоскостиОтвет:S4x+3y+2z−4=0, расположенной в первом октанте {x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}.Решение. Делаем проекцию плоскости S на плоскость Оху ⇒ Sxy.Область Sxy задается неравенствами: {x ≥ 0; y ≥ 0;4 x + 3 y − 4 ≤ 0} Тогда433пределы изменения переменных будут таковы: 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ (1 − x) .4Следовательно, согласно формуле (3.6) получим:3y23z ′x = −2, z ′y = −229ds =dxdy2z = 2 − 2x −I = ∫∫ ( x − 3 y + 2 z )ds =S=4(1− x )33 ⎞ ⎞ 292929⎛⎛dxdy == ∫∫ ⎜ x − 3 y + 2⎜ 2 − 2 x − y ⎟ ⎟∫ dx ∫ (4 − 3x − 6 y )dy =2 ⎠⎠ 22 09⎝0S xy ⎝29Ответ:.9Пример 4.

Вычислить ∫∫ x( y + z )ds , где S – часть цилиндрической1Sповерхности x = 1 − y 2 , отсеченной плоскостями z=0 и z=2.Решение. В этом случае делаем проекцию плоскости S на плоскостьОуz ⇒ Syz. Область интегрирования Syz является прямоугольник: -1≤у≤1,0≤z≤2. Следовательно, согласно формуле (3.6) получим:∫∫ x( y + z )ds =Sy∂x∂x; = 0; 1 + ( x′y ) 2 + ( x′z ) 2 ==−∂y1 − y 2 ∂z1y2dxdy; ds == 1+=21− y1 − y21 − y22= ∫∫ 1 − y ( y + z )S yzdydz1− y2=2 ⎞21⎛z⎟ = ∫ (2 y + 2)dy = 4= ∫ dy ∫ ( y + z )dz = ∫ dy⎜⎜ yz +2 ⎟⎠ 0 −1−1 0−1 ⎝121Ответ: 4Пример 5.

Вычислить ∫∫ xdydz + dxdz + xz 2 dxdy = I1 + I 2 + I 3 , где σ - внешняя2σчасть сферы x + y2 + z2 = 1, заключенная в I октанте.Решение. На внешней стороне сферы в I октанте α,β,γ∈[0;π/2] ⇒ cosα≥0,cosβ≥0, cosγ≥0.Учитывая свойство аддитивности по подынтегральномувыражению, разбиваем исходный интеграл на три интеграла и, используяформулы (3.9 а-в), получим:44I1 = ∫∫ xdydz = + ∫∫ 1 − y − z 2 dydz =σD yzπ 21π006= ∫ dϕ ∫ 1 − r 2 rdr =π 21π r2 1002 2 0= ∫ dϕ ∫ rdr =y = r cos ϕ=z = r sin ϕ; I 2 = ∫∫ dxdz = + ∫∫ dxdz ==σDxzx = r cosϕ=z = r sin ϕπ4π 21x = r cosϕ2I 3 = ∫∫ xz dxdy = + ∫∫ x 1 − x − y dxdy == ∫ dϕ ∫ r cos ϕ 1 − r 2 rdr =y = r sin ϕ15Dxyσ002(22)()Ответ: I1 + I2 + I3 = π/6 + π/4 + 2/15 = 5π/12 + 2/15.Глава 4.

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕОпределяется скалярное поле как скалярная функция векторного аргумента. Исследуютсясвойства скалярных полей. Определяется градиент и производная по направлениюскалярного поля.4.1. Понятие поляВ теории поля рассматриваются функции, которые каждой точке Мфиксированной области сопоставляют специальный объект U(М),называемый тензором. В этом случае говорят, что в области D, заданотензорное поле. Мы будем изучать два простейших частных случаятензорного поля, а именно скалярное и векторное поле.Полем величины U называют область D с каждой точкой M∈ D в каждыймомент времени t связано определенное значение величины “U(М, t)”.Если величина U не зависит от времени t, то поле U(М) называетсястационарным, или установившимся. Мы будем рассматривать толькотакие поля.В физике термин «поле» обычно употребляется для обозначения частипространства (или всего пространства), в котором рассматривается некотороефизическое явление.

Так, например, температура воздуха в разных точкахпространства образует поле температур, а атмосферное давление – поледавлений. Электрический заряд создает вокруг себя электростатическоеполе: на каждый электрический заряд, помещенный в некоторой точке поля,действует сила, вполне определенная по величине и направлению (законКулона).Во всех случаях, когда речь идет о процессе, характеризующимсяскалярной величиной (температура, давление и т.п.) поле называетсяскалярным.

Если же рассматриваемый процесс характеризуется векторнойвеличиной, как в случае указанного электростатического поля, то поленазывают векторным.Приведенные примеры разъясняют происхождение понятия поля вматематике. Для получения общих результатов, справедливых для любых45физических полей, всякому физическому полю ставится в соответствие егоматематическая модель, где абстрагируются от заданной физическойвеличины, заменяя ее математическим понятием функции, а точкепространства приписывают координаты, считая их аргументами. Весьмачасто при этом функцию U(M) рассматривают как функцию векторногоаргумента r (радиус-вектор точки М), т.е.