Векторный анализ, теория поля, страница 6

Исходя из параметрического представления эллипса:⎧ x = 2 ⋅ cos t⎧dx = 2 ⋅ (− sin t )dt⇒⎨⎨⎩ y = 3 ⋅ sin t⎩dy = 3 ⋅ cos tdt27Следовательно, дифференциал дуги равен:dl = 2 2 (− sin t ) 2 + 32 cos 2 t dt = 2 21 + cos 2t1 − cos 2t+ 32dt22Вычислим интеграл, применяя (2.4):π /21 + cos 2t2 1 − cos 2t=+ 32xydldt =∫∫ 2 cos t ⋅ 3 sin t ⋅ 2220Lπ /2= 3 ∫ sin 2t ⋅ 2 20z = cos 2t1 − cos 2t1 + cos 2t=+ 32dt =dz = −2 sin 2tdt223⎞2 12 +33 −2322 ⎛⎜ 2 + 33 −2 ⎟+z dz = ⋅ 2⋅+z⎟=−121222 3 − 2 2 3 ⎜⎝ 22⎠33⎤386⎡ 2= ⎢9 − 4 2 ⎥ =15 ⎢⎥⎦ 5⎣38Ответ: ∫ xydl = .5LПример 4. Вычислить ∫ ( x + y )dl , где L – правый=−3 −122222222∫(L)2лепесток лемнискаты: x 2 + y 2 = a 2 ( x 2 − y 2 )(см. рис.

2.6)Решение. Уравнение лемнискаты в полярнойсистеме координат: r 2 = a 2 cos 2ϕ . Или в нашемслучае для правого лепестка: а>0⇒ r = a cos 2ϕ .Тогда дифференциал дуги:sin 2 2ϕdl = r (ϕ ) + (r ′(ϕ )) dϕ = a ⋅ cos 2ϕ +dϕ =cos 2ϕdϕdϕ=a= a2rcos 2ϕПолярный радиус изменяется от 0 до а, следовательно, для правого лепестка2лемнискаты полярный угол меняется: −(2.5), получим:π /42∫ ( x + y )dl = a ∫ (r cosϕ + r sin ϕ )−π / 4L= a 2 (sin ϕ − cos ϕ )2π4≤ϕ≤π4.

Подставляя в формулуπ /4dϕ= a 2 ∫ (cosϕ + sin ϕ )dϕ =r−π / 4π /4= a2 2−π /4Ответ: ∫ ( x + y )dl = a 2 2L28Пример 5. Вычислить ∫ x yzdl , где L – дуга пространственной линииL⎧x = t⎪заданной параметрически: ⎨ y = t 2 / 2 , 0≤t≤1.⎪3⎩ z = 8t / 3Решение. Используя формулу (2.6), получаем:t2=xyzdlt∫∫0 2L8t 331Ответ: ∫ x yzdl =LПример 6.9111321 22 ⎛⎜ 2 22 2 ⎞⎟ 1 16 2t + t ⎟ =1 + t + 2t dt =∫ t (1 + t )dt =3 03 ⎜⎜ 1113⎟ 0 143⎝⎠216 2.143Вычислить I = ∫ (4 x − y )dx + 5 x 2 ydy , если ∪АВ – дуга∪ AB2параболы у=3х , А(0,0) и В(1,3).Решение. Согласно формуле (2.9 а) имеем:(1I = ∫ (4 x − 3x 2 + 5 x 2 ⋅ 3 x 2 ⋅ 6 x)dx = 2 x 2 − x 3 + 15 x 60) 10 = 16Ответ: 16.Пример 7. Вычислить I = ∫ ( x + y )dx + 2 zdy + xydz , если ∪АВ – дуга∪ AB⎧x = t⎪линии: ⎨ y = t 2t∈[1,2] .⎪z = 3 − t⎩Решение.

Согласно формуле (2.9г) имеем:⎛ 13 2 3 t 4 ⎞ 2 35I = ∫ (t + t + 2(3 − t ) ⋅ 2t − t ⋅ t )dt = ∫ (13t − 3t − t )dt = ⎜⎜ t − t − ⎟⎟ =4 ⎠1 411⎝235Ответ:.4Пример 8. Проверить независимость криволинейного интеграла1 2∫ yxdx + x dy от формы (AB) и вычислить его, если A(1,2) и B(3,4).2( AB )Решение.⎧ ∂P⎧ P = yx⎪⎪ ∂y = x∂P ∂Q⎪→=Здесь ⎨⇒x2 → ⎨∂∂yx∂QQ=⎪⎪⎩2⎪⎩ ∂x = xкриволинейный интеграл не зависит отформы AB. Вычислим его по ломанойлинии ACB.22222329⎧ y = 2, x − переменная⎧ x = 3, y − переменная⎪⎪AC : ⎨ xнач = 1, xкон = 2; CB : ⎨ y нач = 2, y кон = 4⎪dy = 0⎪dx = 0⎩⎩24 32x2x2x2dy = ∫ yxdx +dy + ∫ yxdx +dy = ∫ 2 xdx + ∫ dy = 17∫ yxdx +222ABACCB12 21Ответ: ∫ yxdx + x 2 dy =172( AB )Пример 9.

Вычислить( 2, 4,5)∫ xdx + ydy + zdz(1, 2,3)Решение.⎧ P ( x, y , z ) = x∂Q ∂R∂P ∂R∂P ∂Q⎪== 0;= 0;=== 0 ,⇒, криволинейный⎨Q( x, y, z ) = y →yx∂z∂x∂zy∂∂∂⎪ R ( x, y , z ) = z⎩интеграл не зависит от формы кривой. Будем его вычислять по ломанойлинии, состоящей из отрезков параллельных осям координат.⎧ y = 2 → dy = 0⎧ x = 2 → dx = 0⎪ z = 3 → dz = 0⎪ y = 4 → dy = 0⎪⎪AC : ⎨CB : ⎨⎪ z − перемен.⎪ x − перемен.⎪⎩ z D = 3; z B = 5⎪⎩ x A = 1; xC = 2⎧ x = 2 → dx = 0⎪CD ⎨ z = 3 → dz = 0⎪ y − переменная, y = 2; y = 4CD⎩( 2, 4,5 )245(1, 2,3)2123∫ xdx + ydy + zdz = ∫ ( xdx + 0 + 0 ) + ∫ (0 + ydy + 0 ) + ∫ (0 + 0 + zdz ) ==x 2 y2 4 z2 5++= 15,52 1 2 2 2 3Ответ:( 2, 4,5)∫ xdx + ydy + zdz =15,5.(1, 2,3)Пример 10.

Вычислить интеграл ∫ ( x + y ) 2 dx + ( x 2 + y 2 )dy , если L –Lконтур треугольника с вершинами А(1,1), В(3,2) и С(2,5), проходимый вположительном направлении.Решение. Решим этот пример двумя способами: путем непосредственногоинтегрирования на основании формулы (2.9а) и на основе примененияформулы Грина.30Способ 1.

Определим поведение у как функции f(x) на отрезках СА, АВ иВС, составляющих кривую L.Для отрезка СА: х изменяется в пределах: 2≥ х ≥ 1. Переменная увыражается через х по формуле: у=kx+c, где постоянные величины k и cнаходятся из условий: 1=k+c 5=2k+c. Решая эту систему уравнений, находим:k=4, c=-3,следовательно, у=4х-3.х +1, 1≤х ≤3Для отрезка АВ: у =2Для отрезка ВС: у=11-3х, 3≥ х ≥ 2⇒222222222∫ ( x + y ) dx + ( x + y )dy = ∫ ( x + y ) dx + ( x + y )dy + ∫ ( x + y ) dx + ( x + y )dy +LABBC22x + 1⎞1 ⎛⎜ 2 ⎛ x + 1 ⎞ ⎞⎟⎤⎛+ ∫ ( x + y ) dx + ( x + y )dy = ∫ ⎢⎜ x +⎟ + ⎜x +⎜⎟ ⎟⎥dx +222⎠⎝⎠ ⎠⎥⎦CA1 ⎢⎝⎝⎣22∫ [x + (− 3 x + 11) − 3(x223⎡223)]1[)](+ (− 3 x + 11) dx + ∫ x + (4 x − 3) + 4 x 2 + (4 x − 3) 2 dx =22[)]231 ⎛ 5 x 2 + 2 x + 1 ⎞⎤⎛ 3x + 1 ⎞⎟⎟⎥dx − ∫ (11 − 2 x )2 − 3 ⋅ 10 x 2 − 66 x + 121 dx −⎟ + ⎜⎜∫ ⎢⎜2⎝41⎢2⎠⎥⎦⎣⎝ 2 ⎠3⎡[()]⎛ 23 x 3 14 x 2 3x ⎞ 3− ∫ (5 x − 3) + 4 ⋅ 17 x − 24 x + 9 dx = ⎜⎜ ⋅ + ∓ ⋅ + ⎟⎟ −828 ⎠11⎝ 8 3⎞2⎛⎞3 ⎛x3x2x3x256+ 45 x ⎟⎟ = −− ⎜⎜ − 26 ⋅ + 154 ⋅− 242 x ⎟⎟ − ⎜⎜ 93 ⋅ − 126 ⋅83232⎠1⎝⎠2 ⎝2(22Способ 2.

Используем формулу Грина. В данном случае P(x,y)=(x+y)2,∂Q( x, y )∂P( x, y )Q(x,y)=x2+y2, ⇒,= 2 x . Обозначим через D= 2( x + y ),∂x∂yобласть, ограниченную контуром L, тогда по формуле (2.93) получаем:222∫ ( x + y ) dx + ( x + y )dy = ∫∫ (2 x − 2( x + y ) )dxdy = −2 ∫∫ ydxdy =LDD⎛ 2 y 2 4x − 34 x −3311−3 x ⎞3⎛2y 2 11 − 3 x ⎞⎟⎜⎟⎜+ ∫ dx== −2⎜ ∫ dx ∫ ydy + ∫ dx ∫ ydy ⎟ = −2 ∫ dx⎜⎟2221(1)/22(1)/21++xx(1)/2(1)/2x+x+⎠⎝⎝⎠256⎛ x + 1⎞= − ∫ (4 x − 3) dx − ∫ (11 − 3 x ) dx + ∫ ⎜⎟ dx = −8121⎝ 2 ⎠56Ответ: −82232331Глава 3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫДается определение поверхности. Рассматриваются поверхностные интегралы I (по площади)и поверхностные интегралы II рода (по координатам).

Даются способы их вычисления путемсведения к двойному интегралу.3.1. Понятие поверхностиПоверхностью σ называется множество точек M(x,y,z), координатыкоторых удовлетворяют уравнению: F ( x, y, z ) = 0 .Рассмотрим более общее – геометрическое определение поверхности. Пустьнекоторая поверхность σ, разделена на участки площадью Δσ, причем величинаΔσ стремится к нулю. Каждый такой участок представляет собой точку сбесконечно малой окрестностью (рис.3.1).

В силу сделанных предположенийможно считать каждый такой участок плоским. Следовательно, на этом участке(в точке) можно задать единичный вектор нормали, т.е. векторперпендикулярный к плоскости. Т.о., можно определить поверхность какмножество точек с заданными в них единичными нормальнымивекторами. Такое определение требует, чтобы в каждой точке поверхностисуществовала касательная плоскость, т.е. поверхность была гладкой. Именнотакие поверхности и будут рассматриваться. Поверхность, изображенная нарис.3.2 вдоль линии АВ не является гладкой: в любой точке линии касательнойплоскости не существует.

Следовательно, такая поверхность удовлетворитопределению поверхности, данному выше, только в том случае, если исключитьиз нее линию АВ.Множество точек поверхности, у которых нормальные векторы заданы поопределенному закону, называется стороной поверхности.Если нормальный вектор образует с некоторой осью координат острый угол,то соответствующая сторона поверхности называется положительнойсторонойповерхности(σ+)поотношению к этой оси.

Если же этотугол тупой, то – отрицательнойстороной поверхности (σ−).Или, за положительное направлениенормали n+ к поверхности (σ) берется32такое направление, чтобы с конца n обход по контуру L, оставляющийповерхность слева, был виден против часовой стрелки. Двусторонняповерхность с установленным на ней таким образом положительнымнаправлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.Следующие определения применимы к замкнутой поверхности, т.е. кповерхности, которая ограничивает некоторый объем.

Если нормаль к сторонеповерхности направлена из объема тела, то эта сторона поверхности называетсявнешней, если же нормаль направлена внутрь объема, то сторона поверхностиназывается внутренней.Проведем на поверхностизамкнутую линию, зададимна этой линии нормальныевекторы.

Если, обойдя этулинию,окажется,чтонормаль сохранила своенаправление,тотакаяповерхностьназываетсядвусторонней.Нижерассматриваютсятолькодвусторонние поверхности.Примерами односторонних поверхностей является лист Мебиуса (рис.3.3 а) ибутылка Клейна (рис.3.3 б).Остановимся на проектировании поверхностей вразличных координатных плоскостях. Т.к. поопределению поверхность состоит из множестваточек и заданных в них нормальных векторов, то,проектируяповерхностьнанекоторуюкоординатную плоскость, нормальные векторыпроектируютсянакоординатнуюось,перпендикулярную данной плоскости. Получимэто утверждение в аналитическом виде.Рассмотримправильнуюн-угольнуюпирамиду, вершина которой расположена наположительной полуоси, перпендикулярной коснованию (рис.3.4).

Пусть S – площадь основания, σ - площадь боковойповерхности пирамиды. Из школьного курса геометрии известно, что имеетместо соотношение S = σ cos γ , где γ - угол между нормалью n к боковойповерхности пирамиды и высотой пирамиды. Тогда скалярное произведениенормального вектора единичного вектора n на единичный вектор е ,направленный перпендикулярно к основанию пирамиды даст косинус угламежду ними, т.е. cos γ = (n , e ) = прe n . В результате имеем:S = σ ⋅ прe n33Т.е. для того чтобы определить площадь наклонной поверхности нужнонормаль к ней спроектировать на нормаль к основанию.