Электричество и магнетизм, страница 6

В результате, работа,совершаемая над зарядом на участке цепи 1−2 будет2 r2 r rrA12 = q ∫ Edl + q ∫ Eст dl = q(ϕ 1 − ϕ 2 ) + qE1211.Падение напряжения (или просто напряжение) на данном41участке цепи называется величина, численно равная работе, совершаемой электрическими и сторонними силами при перемещении по данному участку единичного положительного зарядаU 12 = ϕ 1 − ϕ 2 + E12 .(4.8)Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы,называется однородным.Если на участке цепи действует ЭДС, то такой участок называется неоднородным.4.3.

Закон Ома4.3.1.Закон Ома для однородного участка цепиОпыты показывают, что на однородном участке цепи, состоящей из металлического проводника, между силой тока и напряжением на участке существует связь, которая выражается законом Ома.Сила тока на однородном участке цепи пропорциональнападению напряжения на участке1(4.9)I = U,Rздесь R − электрическое сопротивление проводника, которое зависит от его формы, размеров и свойств материала, из которогоизготовлен проводник.Для однородного цилиндрического проводникаl(4.10)R=ρ ,Sгде l − длина проводника, S − площадь его поперечного сечения,ρ − удельное сопротивление материала проводника.За единицу сопротивления в СИ принимается 1 Ом − сопротивление такого проводника, в котором при напряжении на нем в1 В течет ток в 1 А.Часто используется также величина σ=1/ρ − удельная проводимость материала проводника.Для большинства металлов при нормальных условияхудельное сопротивление линейно зависит от температуры ρ∼Т.42Однако, при низких температурах (Т∼0) наблюдается отклонениеот этой закономерности.

Для некоторых металлов (ртуть, свинец,олово, алюминий и др.) При температурах порядка несколькихКельвин их удельное сопротивление скачком падает до нуля, иметалл переходит в сверхпроводящее состояние.4.3.2.Закон Ома в дифференциальной формеВ изотропном проводнике направление векторов j и E совпадают. Выделим в проводнике трубкутока (поверхность, образованную лиjниями тока) в проводнике. Пусть плоdSEщадь сечения ее dS а длина dl(рис.4.4).dlТок через площадку dS будетРис.4.4I=jdS.С другой стороны−111EdS⎛ dl ⎞т.е. j = E = σE ,I = U =⎜ρ⎟ (Edl ) =ρRρ⎝ dS ⎠или в векторном виде получаем соотношение, называемое законом Ома в дифференциальнойrr формеj = σE .(4.11)В выражении (4.4) получали, что плотность тока пропорциональна скорости направленного движения носителей тока.Сравнивая (4.11) с (4.4), получим, что скорость направленногодвижения зарядов пропорциональна напряженности Е, т.е.

силе,сообщающей зарядам направленное движение. Отсюда ясно, чтоприрода сопротивления металлов − торможение электронов приих соударениях с атомами кристаллической решетки металла.4.3.3.Закон Ома для неоднородного участка цепиВ случае неоднородного участка цепи в выражении (4.11)наряду с электрическими силами, действующими на носителитока, необходимо учесть и сторонние силы, т.е.

(4.11) необходимо переписать в следующемr виде r rj = σ (E + Eст ).(4.12)43Рассмотрим малый участок проводника площадью сеченияS.и длиной dl. Обозначим электрические и сторонние силы навыбранном участке через El и Естl. Используя (4.12), для плотности тока на выбранном участке можно записатьI 1j = = (El + Eстl ) .S ρУмножая последнее выражение на dl и произведя интегрирование по участку 1−2 проводника, получаем22dl 2(4.13)∫ Iρ = ∫ El dl + ∫ Eстl dl .S111Используя выражение (4.10) и замечая, что первый интегралв правой части (4.13) − разность потенциалов между точками 1 и2 проводника, а второй интеграл правой части − работа сторонних сил на участке 1−2, получимIR = ϕ 1 − ϕ 2 + Е12 .(4.14)Это и есть закон Ома для неоднородного участка цепи.Здесь I − ток на участке 1−2, R − полное сопротивление участка1−2, ϕ1−ϕ2 − разность потенциалов между точками 1 и 2, Е12 −ЭДС на участке 1−2.Если цепь замкнута (точки 1 и 2 совпадают), то закон Омабудет выглядеть следующим образомЕ(4.15)I= ,Rздесь R − суммарное сопротивление всей цепи R=R0+r, где R0 −сопротивление внешней цепи, а r − внутреннее сопротивлениеисточника ЭДС.4.4.

Правила КирхгофаНа практике часто используются сложные разветвленныеэлектрические цепи. Для нахождения силы тока в таких цепяхприменяют правила Кирхгофа.Узлом (точкой разветвления) называется точка цепи, в которой сходится более чем два проводника.Первое правило (следствие закона сохранения заряда).Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в узле, равна44нулю∑ Ii = 0 .(4.16)Второе правило (следствие закона Ома для неоднородногоучастка цепи).В любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной цепи, алгебраическая сумма произведений сил токовна сопротивление соответствующих участков этого контураравна алгебраической сумме ЭДС, входящих в контур(4.17)∑ I i Ri = ∑ E j .jДля того, чтобы найти значения токов во всех ветвях схемыс известными параметрами, необходимо выполнить следующиерекомендации.1. Произвольным образом указать направление токов во всех ветвях данной схемы.2.

Записать уравнения по первому правилу Кирхгофа (4.16). Число таких уравнений должно быть на одно меньше, чем число узлов в схеме. Недостающие уравнения получают, используя второе правило Кирхгофа.3. В схеме произвольным образом выбираются замкнутые контуры и направления их обхода. Число их равно числу недостающихуравнений.4. Для каждого из выбранных контуров записывается уравнение(4.17). При этом если направление тока совпадает с направлением обхода, то данный ток берется со знаком”+”, в противномслучае выбирается знак “−”.

ЭДС считаются положительными,если они создают ток в сторону обхода (при обходе встречаетсясначала “−” источника, а потом “+”).В результате должны получить замкнутую систему линейных уравнений, решая которую, находим неизвестные токи вовсех ветвях схемы.4.5.

Работа и мощность тока4.5.1.Закон Джоуля−ЛенцаЕсли между точками с разностью потенциалов U переносится заряд dq, то при этом совершается работа dA=Udq.45Пусть по проводнику протекает ток силы I, тогда dq=Idt иdA=IUdt.Мощность, развиваемая током на этом участкеdA(4.18)P== IU .dtФорма выделяемой при этом энергии зависит от природыфизических факторов, обуславливающих падение потенциала.Это может быть и механическая работа (электродвигатель), имагнитная энергия, и тепловая энергия.Если падение потенциала происходит на оммическом сопротивлении проводника, то вся энергия выделяется в виде теплас мощностьюP=IU=I2R или δQ=I2Rdt.(4.19)Это выражение называется закон Джоуля−Ленца.4.5.2.Дифференциальная форма закона Джоуля−ЛенцаПрименим закон Джоуля−Ленца к малому цилиндру длинойdl и площадью сечения dS, тогда получимdl2P = ( jdS ) ρ= j 2 ρ (dSdl ) = j 2 ρdV .dSВведем удельную мощность тока, равную количеству тепла,выделившемуся в единице объема в единицу времениj22Р уд = j ρ = .σОтсюда, используя закон Ома (4.11), получаем закон Джоуля−Ленца в дифференциальной формеРуд = σЕ 2 .(4.20)Можно также записать этот законr v несколько в ином видеР уд = ( j , E ).(4.21)4.6.

Классическая теория электропроводности металлов4.6.1.Опытные доказательства электронной проводимости металловВ металлах носителями тока являются свободные электро-46ны, т.е. электроны слабо связанные с ионами кристаллическойрешетки металла. Ионы в металлах не участвуют в переносеэлектричества.

Если бы это было не так, то прохождение электрического тока через металл сопровождалось бы переносом вещества. На самом деле этого не наблюдается.Доказательством данного факта служит опыт, проведенныйнемецким физиком Рике в 1901 г. Он в течении года пропускалток через три поставленных друг на друга цилиндра − медный,алюминиевый и снова медный.

Несмотря на то, что общий заряд,прошедший через эти цилиндры составлял ∼3,5 миллиона кулонов, никакого проникновения металлов друг в друга обнаруженоне было.Еще более убедительным доказательством того, что носителями тока в металлах являются электроны, стал опыт русскихученых Мандельштамма−Папалекси (идея и качественное воплощение в 1913 г., точные измерения были произведены Толменом и Стюартом в 1916 г.).Суть опыта состояла в том, что катушка с большим числомвитков тонкого провода, замкнутого на гальванометр, приводилась в быстрое вращение, а затем резко тормозилась.

Для исключения индукционных токов устранялось влияние магнитного поля Земли.Опыт показал, что при торможении в цепи возникал кратковременный импульс тока. Его направление соответствовало движению отрицательных зарядов. В эксперименте было измереноотношение заряда к массе носителей тока, и эта величина оказалась весьма близка к известному отношению e/m для электрона.4.6.2.Основные положения классической теории электропроводностиОткуда в металлах берутся свободные электроны в металлах? При образовании кристаллической решетки валентные электроны, связь которых с атомами в металлах весьма слаба, отрываются от атомов и могут практически свободно перемещатьсяпо всему объему вещества. В результате в металле возникает такназываемый “электронный газ”.47В отсутствии электрического поля электроны, подобно молекулам газа, движутся хаотично, испытывая столкновения между собой и между ионами кристаллической решетки.В основе классической теории электропроводности металлов лежат следующие положения:• электроны рассматриваются как классический идеальныйгаз, для которого применимы известные из молекулярнойфизики законы статистики;• электроны взаимодействуют между собой только в моменты соударений, которые считаются абсолютно упругими;• соударения электронов с ионами кристаллической решетки являются абсолютно неупругими.Используя эти положения и законы статистки идеальных газов, выводятся соотношения для средней длины свободного пробега электронов λ , среднеарифметической скорости их хаотичного движения v , среднего времени между последовательнымистолкновениями.