Учебно-методическое пособие (очно-заочники), страница 2

13 8x  34.3x  4 x 2  4 x  16( x 6  5 x 2  3)dx4.15 x2  43Задача 5. Вычислить неопределенные интегралы от тригонометрическихфункций. sin 7 x cos5.1  sin 8x cos 9 xdx5.285.4  6 sin xdx5.5  (sin x  5)dx5.8 cos x sin xcos 5 xdx5.10 1  sin 5 x5.13 5.3  sin 4 x cos 3 xdx3xdxsin 2 x5.6  8 dxcos x345dx5.7 25.118dx2 sin x  cos 2 x1dx4 sin x3dx cos x3tgx 12sin 5 xdx5.12 1  2 cos xsin xdxcos 2 x5.14  325.9sin xdx3  2 cos x5.15dx 2 sin x  cos x  2 .Задача 6. Вычислить неопределенные интегралы от выражений, содержащихиррациональности.6.1 dx1 3 x 16.2dxx  6  3 x  626.3x2  1 x31 xdx96.4  x  4 x6.7 x2dxx24x  1 dx46.536.8 6.10  6 x 1  x 2 dx6.13 8dxx2x 12x  5dx1x5x x33x36.9dxx2  9dxx26.11x 13x2x  4x  5x  1 dxx24  x 2 dx.dx6.15 26x 2  25dxx6.12dx6.14 dx36.6 x  x 12Задачи по теме «Определенный интеграл и его приложения»Задача 7.

Вычислить определенный интеграл.7.147.4 04 cos3 xdx3sin x7.2 027.6  4  x dx207.5 01cos xdx5  4 cos x207.727  tgxdx2(sin x  2 cos x)22637.3 0cos3 x sin 2 xdxsin 4 x cos 4 xdxxdx2  2x  12x e cos xdx7.8021  x2dx2x17.9 27.10 cos ln xdx12ex 1dxxe 3ln 5 x7.12e20e1xdx7.13 0 x 2  3x  217.11 xdx01x41017.14arctgxe dx7.152x0 1 e0236  tgx9 sin 2 x  4 cos 2 xdxЗадача 8. Вычислить с помощью определенного интеграла площадьплоской фигуры, ограниченной кривыми.1y  cos x sin x, y  0,0  x 3y532x, y  0, x  122y1, y  0, x  1, x  e3x 1  ln x4y  arccos x, y  0, x  0y  xarctgx, y  0, x  36y  ln x, ось OX u x  e9x22yи y  4  x233y  ln x и y  ln 2 xx28 yи y221 x10 y  e x и y  e  x , x  111  5(1  cos  ) ,  [0,2 ]12 13x2  y2  R214 x 2  4 y 2  415  4 sin 2  ,  [0, ]7x  1221 x  1  sin t, y  1  cos tt [0,2 ]Задача 9.

Вычислить с помощью определенного интеграла:- длину дуги кривой (для вариантов 1-12);- объем тела, образованного вращениемy  f x  вокруг осиOX (для вариантов 13-20);- площадь поверхности, образованнойвращением y  f  x вокруг оси OX (для вариантов 21-26).y  1  ln sin x,3y  2  e x , ln 3  x  ln 83x12y  1  x 2  arccos x,2489 x  5t  sin t ,0  t  y1cost0 x115 x  10 cos3 t,3y10sint0t 7962  21  cos ,23  2 ,0   4 83 3e 4,0   310   2 sin  ,0   6y  arccos x  x  x 2  4,1110 x21213y  xe , x  1, y  015y  5 cos x, y  cos x, x  0, x 17y  sin x, x  0, x x2 x  et cos t  sin t ,tyecostsint0  t y  ln x 2  1 ,2  x  3x2x3y ,y28y  e1 x , y  0,16x  0, x  1142y  e x , y  0,18x  0, x  1219 y  32  3x  0, x  321y  x 3 , x  0, x 232512x  y  420  y  3 x y022y  sin x,0  x x2  y2  R224x2  4 y 2  4 x  a cos3 t3 y  a sin t x  t2(петли кривой)t 226 yt332Задача 10.

Вычислить с помощью определенного интеграла:- статические моменты M x и M y кривой L относительно осейOx и Oy (линейная плотность   1 ). Найти координаты центратяжести кривой L (для вариантов 1-10).- моменты инерции I x и I y кривой L (линейная плотность   1 )относительно осей Ox и Oy (для вариантов 11-14).12- статические моменты M x и M y пластины D относительноосей Ox и Oy (плотность   1 ). Найти координаты центра тяжестипластины D (для вариантов 15-24).113x y  1, x  0, y  03 255779911132x 2  y 2  R 2 , x  0, y  03y  x2 , 0  y  3668L : дуга экспонентыy  e2 x , 0  x  2x  3 y  3, x  0, y  0D : треугольник,1ограниченный прямымиx  2 y  2, x  0, y  0y  sin x, y  0, x  0, x  51921D : треугольник,7ограниченный прямымиx  y  2, x  2, y  2923182022D: половина круга радиуса Rx  y R , x0222L : дуга цепной линииy1 x(e  e  x ), 1  x  124L : окружностьx2  y 2  R2( x  1) 2  y 2  1,D : прямоугольник,2ограниченный прямымиx  2, x  0, y  0, y  3D : фигура, ограниченнаяэллипсоми осями координат4D: круг радиуса Rx2  y 2  R23x  y 2 , 0  x  3L : окружность14D : фигура, ограниченнаяоднойаркой синусоиды117L : парабола21216L : полуокружностьx  2 y  2, x  0, y  010L : полуокружность23L : треугольник, сторонами8которого являются прямые1L : отрезок прямой23x2  y 2  R2 , x  04L : параболаL : дуга астроидыx  y  1, x  0, y  04L : четверть окружностиx2  y 2  R2 , y  0132L : полуокружностьx2  y 2  R2 , y  0315L : отрезок прямойx2 y2 1, x  0, y  094D : фигура, ограниченная6параболамиy 2  4 x  4, y 2  4  2 xD : фигура, ограниченная8параболой и осью Oyy 2  1  x, x  0124D: четверть круга радиуса Rx 2  y 2  R 2 , x  0,  x  y  x13Часть 2Несобственные интегралы.Двойной и тройной интегралы, их приложения.Криволинейные интегралы.

Элементы теории поляРешение задач части 2 позволяет успешно подготовиться кконтрольной работе №2. Часть 2 содержит задачи типового расчета.Задачи, идентичные задачам этой части, включены в экзаменационный(зачетный) билет.Типовой расчетЗадачи по теме «Несобственные интегралы»Задача 11. Исследовать на сходимость несобственные интегралы.dx11.1.  20 x 411. 5.0x  7 dx1 x 2  8x  111. 8.04dx11.10. ( x  1)(3 x  10dx11.11. 211.13.

 dx2x  ln xcos 2 x0 1  x 2 dxxx0x2dx12dx x 2  4 x  9 30.511. 3.11.4.  cos 2 xdx11.7.dx11. 2.  31 x 511.6.(3x 2  5)dx1 4 x 7  4 x  92  xdx211.9. 0x 2  5x  612xdx11.12.  sin23x  x0e11.15.  x1 dxe 111.14  tgx  dx01Задача 12. Вычислить несобственный интеграл.12.1.1ln xx2dx12.2.dx x1  ln x 3112.3.log 2 e1x21e x dx14e12.4.xsin 8 xdx12.5.21 4 x  16 x  15112.8.12.

10.  ln xdx12.11.0112.13.030x ln 2 x12.14.x5  3 xx4  1116  x 40e12.9.dx112. 12.  ln xdx20x 2 dx2xxcos xdxx1xdxln 2 54dx4dx12112.6.x2  121edx12.7. 241 1  x arctg xdxdx12.15.064  x 6Задачи по теме «Двойной, тройной и криволинейный интегралы»Задача 13.

Изменить порядок интегрирования в двойном интегралеb xa x dx  f x, y dy .№ab x  x 1021 x2 4201 2  x24  x22 x30240 2x  x 2x2 25026017018032912 1  x22x 2x10-112x1 x21  x21101x4  x212-11 1  x222x  x2x2 x3  x22x3  2x1 x6 x1  x215132414-62151414x  x2x 2 4 1x8x2 x4xЗадача 14. Вычислить с помощью двойного интеграла площадьфигуры D , ограниченной заданными линиями.21. D : y  x  4 x; y  2  3x2. D :y  x  1;y  2 x  2; x  03. D :y  x 2  1;y  4  2x4.D:5.

D :y  e x ;y  x  1;y  4  x2 ;x  1; 0  x  1y  x2  4D : y  2  x ; y  2 x  4; x  06.7. D : y  ln x; y  1  x; x  22D:yx 2 x;8.9.y  5x  4D : y   x  1;D:10.D:11.y  3x  3; x  0y  1  x2 ;y  ex ;y  x 1y   x  1;y  x2 ;x  1; 0  x  1y  x2  212.D:13.D : y  x  1;y  2  2 x; x  2D : y   ln x;y  2; x  214.2D:y2xx;15.y  3x  2Задача 15. С помощью тройного интеграла вычислить объем пирамидыV, ограниченной плоскостью  и координатными плоскостями x  0 ,y  0 , z  0 . Проверить ответ с помощью геометрической формулынахождения объема пирамиды.Варианты задания плоскости  :1.3. : 4x  2 y  z  8 : 4 x  y  3z  242.4. : x  2 y  5z  20 : 5x  y  3z  3016 : 2 x  5 y  3z  607  : x  5 y  3z  459.  : 6 x  7 y  3z  4211.

 : 12 x  y  3z  3613.  : 15x  y  3z  12015.  : 9 x  y  3z  605.L : 9 x  y  3z  548.  : 9 x  y  2 z  1810.  : x  9 y  3z  2712.  : x  8 y  5z  4014.  : 5x  6 y  3z  3016.  : 7 x  2 y  3z  426.Задача 16.

Вычислить криволинейный интегралP( x, y)dx  Q( x, y)dy по замкнутому контуру L (обход контура L противчасовой стрелки) двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.№ABCLP(x,y)Q(x,y)x  y 21A1,1 B2,2 C 1,32 x2  y 22x2 4  y 2 9  1xy  x  yxy  x  y3x 2  y 2  2xxy  1xy  x  y4x2  y2  45xy2x y6x2 9  y 2 4  1y  sin x, y  0,0  x   x2 yx y7ex yexx2 4  y2  1x3 y8y  x2 , y  1x2 yx2 1x y9x  y 2  x  y 210y  3x 2 , y  2 xABCA0,0 B2,4 C 0,43x 2 yx3  2x11y  2x 2 , y  2x 2  2 xyy 2  2 xy12x2  y2  4x2  y13y  x2 4, y  x 2y2  x2 xy14x  2 y 2 ,2 y  x2 xyx2  y215x2  y2  9x  y2x  y2 x217Задачи по теме «Элементы теории поля»Задача 17. Найти градиент скалярного поля u (M ) .

Найтидивергенцию и ротор векторного поля a (M ) .№Скалярное полеu(M )  F ( x, y, z)Векторное поле a (M )1u(M )  e xy  cos 2 (3z )a (M )  ( ye z )i  cos 2 xz j  ln( y 2 x)k2u(M )  xy 3  ln( z 2 )a (M )  (arccos 2 x  3z 2 y)i  ln 2 z j  ( z 2 y 2 x)k3u(M )  x8  x sin(3z )a (M )  (tgx 2  yz )i  z arcsin x j  4 z 3 ( xy 2 )k4u(M )  z 2e x  arcsin( y 2 )a (M )  ( y 3e z )i  xz  tg 3 y j  (cos 2 y  4 x)k5u(M )  ln( x 2 y)  za (M )  ( x 2 y  ln z )i  (sin y  5z ) j  ( z cos x  3 y 2 )k6u(M )  cos(2 x 3 )  e yza (M )  (arcsin y  z 6 )i  (cos 2 y  tg 2 z ) j  (ln(7 x)  y 3 )k7u(M )  arcsin( xy )  z ln 2 ya (M )  ( y ln z )i  ( xz ) j  ( x ln 2 y)k8u(M )  x 2 yz  ytg 2 ( z )a (M )  ( x sin y)i  3 x j  ( y 8 z )k9u(M )  ln 2 ( z)  sin( x 3 y)a (M )  cos(6 z )i  x 2 ln( z ) j  x 3 arccos y k10u(M )  3ze5 x  3 ya (M )  e zy i  3 xy cos z j  (ln 2 x  5 y  2 z )k11u(M )  xy cos z  z 2a (M )  (e y z )i  ( z arccos y) j  4 y  x 2 k312u(M )  2 y  z  arccos( x3 )a (M )  (ln(cos z )  5xy )i  (4 z 6  tg 3x) j  (cos 2 y  e x )k31813u(M )  tg (5 y )  xyz 2a (M )  (tg 3 z  3 x )i  (2 x arcsin y  5z ) j  (sin 6 x)k14u(M )  e x y  z  5 y2a (M )  ( xe y  ze y )i  (cos 6 x  8z 2 ) j  (ln x  3 y 9 )k15u(M )  xe yz  4 z 5a (M )  (ln(sin x)  tg 3 z )i  ( x 7 z  6 y) j  (8x5  3 yz ))kЗадача 18.