Учебно-методическое пособие (очно-заочники)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИМОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТМатематический анализ2 семестрУчебно-методическое пособиеДля студентов очно-заочной и заочной форм обученияИнституты РТС, ИТ, ЭлектроникиМоскваМИРЭА20162Составители: Т.Р. Игонина, О.А. Малыгина, И.Н.

Руденская, Н.С. ЧекалкинВведениеПособие разработано коллективом преподавателей кафедры высшейматематики-2 Московского технологического университета (МИРЭА) длястудентов очно-заочной и заочной форм обучения институтов РТС,Информационных технологий и Электроники. Пособие содержит списоктеоретических вопросов для подготовки к сдаче экзамена (зачета) по курсуматематического анализа 2-го семестра, перечень рекомендуемой литературы.Приведены примерные варианты контрольных работ по курсу, образец билета,а также типовой расчет.

Решение заданий типового расчета обеспечитстуденту полноценное усвоение содержания курса.Методические указанияСодержание курса математического анализа 2-го семестра отражено впредлагаемом списке теоретических вопросов.Теоретические вопросы по курсу1. Определение первообразной функции. Теорема о множествепервообразных. Неопределенный интеграл. Свойство линейности интеграла.Таблица основных интегралов.2. Методы интегрирования функций (замена переменной, интегрированиепо частям). Интегрирование рациональных функций, тригонометрическихвыражений, иррациональностей.

Примеры.3. Определение определенного интеграла. Формулировка теоремы осуществовании определенного интеграла от кусочно-непрерывной функции.Свойстваопределенногоинтеграла(линейность,аддитивность,интегрирование неравенств, оценка интеграла и др.).4. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование почастям в определенном интеграле. Приложения (вычисление площади плоскойфигуры, объема тела вращения и др.). Примеры.5. Определение несобственных интегралов от функций на бесконечноминтервале и от неограниченных функций.

Основные свойства, аналогформулы Ньютона-Лейбница. Понятие сходимости. Примеры.6. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл. Свойстваинтеграла (линейность, аддитивность, интегрирование неравенств и др.).Сведение двойного интеграла к повторному интегрированию.7. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложения двойногоинтеграла. Примеры.38. Определение тройного интеграла, его свойства, вычисление вдекартовых координатах. Примеры.9. Цилиндрические и сферические координаты. Тройной интеграл всферических и цилиндрических координатах. Приложения тройногоинтеграла. Примеры.10. Определение криволинейного интеграла по длине дуги, его свойства,приложения.11.

Определение криволинейного интеграла по координатам, его свойства.Формула Грина.12. Скалярное поле, его производная по направлению. Градиент скалярногополя, его свойства. Применение градиента для вычисления вектора единичнойнормали к поверхности.13. Дивергенция и ротор векторного поля, их свойства.14.* Задача о количестве жидкости, протекающей через поверхность заединицу времени. Определение потока векторного поля. ТеоремаОстроградского, ее векторная запись.15.* Линейный интеграл и циркуляция векторного поля, теорема Стокса, еевекторная запись. Примеры.Для успешного усвоения содержания курса математического анализа 2го семестра рекомендуется выполнить типовые задания, представленные внастоящем пособии.Для очно-заочной формы обучения по курсу рекомендуется проведение2-х контрольных работ:- контрольная работа №1 «Методы интегрирования.

Определенныйинтеграл»,- контрольная работа №2 «Несобственный интеграл, двойной интеграл,тройной интеграл».Для заочной формы обучения по курсу рекомендуется проведениеконтрольной работы №1.По курсу выполняется типовой расчет. Преподаватель назначаеткаждому студенту группы номер варианта. Студент в соответствии с номеромварианта выполняет задания из пособия в отдельной тетради.

Решение каждойзадачи должно быть подробным с указанием использованных теоретическихположений. Содержание типового расчета (номера задач) указываютсяпреподавателем из приведенного ниже списка основных задач курса.Выполнение типового расчета – обязательное условие допускастудента на экзамен (зачет).4Приведем типовые образцы контрольныхэкзаменационных (зачетных) билетов.работпокурсуиПримерный образец контрольной работы по теме«Методы интегрирования. Определенный интеграл»Вычислить интегралы:1)(arcsin x)31 x22) dx ;13x5)  xe dx ; 6)03x1 x2dx ;ln x  3  xdx ;x4) arctgx dx(6 x 2  5 x  2)dx; 8)x 4 (sin5 x  cos 2 x) dx3)(7 x  5)dx x2  5x  6 ; 7)2Примерный образец контрольной работы по теме«Несобственный интеграл, двойной интеграл, тройной интеграл»1.Исследовать несобственный интеграл на сходимость.

Если интегралсходится, то вычислить его: xe9 xdx .02. Расставить пределы интегрирования и изменить порядок интегрирования вдвойном интеграле D f ( x, y)dxdy ,где область D ограничена кривыми:y  1 x , y  4, y  x .3. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y   x и параболойy  2 x  x 2 , с помощью двойного интеграла.4. Вычислитьобъем пирамиды с помощью тройного интеграла:x  2 y  z  4, y  0, x  0 , z  0 .Примерный вариант экзаменационного (зачетного) билета1. Вычислить:(arcctgx ) 5  x  3dx ;а) 1 x2б) ln xdx ; в)4x  7 (1  x)( x  3)dx ; г)2.

Исследовать несобственный интегралx2dx 5  3 cos x .e 6 x dx на сходимость. Если0интеграл сходится, то вычислить его.3. Вычислить площадь области, ограниченной параболой и прямой:y  x 2  2x , y  x  2 .54.С помощью тройного интеграла найти объем пирамиды, ограниченнойплоскостями: x  0 , y  0 , z  0 , x  2 y  3z  12 .36 75. Найти градиент скалярного поля U  arcsin 5x  xy z  2 z .6.Формула Грина. Вычислить с помощью формулы Грина:22L  AB  BC  CA , AB : y  x , 0  x  1 , 3xyd x  5x dy , гдеLBC : y  1 ,CA : x  0 .2axiyjzk7.* Вычислить поток векторного полячерез внешнюю22сторону замкнутой поверхности σ: 2 z  4  x  y , x  0 , y  0 , z  0(первый октант).Замечание: по усмотрению преподавателяконтрольной работы или билета может быть изменено.количествозадачСписок рекомендуемой литературы1.

Бугров Я.С, Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике.М., 2001.2. Ильин В.А, Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.: Издво физ.-мат. лит., 2002.3. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Шикин Е.В., ЗаляпинВ.И. Вся высшая математика. Том 1- 4. М.: URSS, 2005.4. Кудрявцев Л.Д.

Курс математического анализа. Т.1 и 2. М.: Дрофа,2004.5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Г., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборникзадач по математическому анализу. М.: Физматлит, 2003.6. Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Лань, 2005.7.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: АйрисПресс, 2004.9. Аксененкова И.М., Игонина Т.Р., Малыгина О.А., др.Математический анализ (2 семестр). Учебно-методическое пособие.

МИРЭА,2014.10. Гущина Е.Н., Игонина Т.Р., Евсеева О.А., Кольцова Е.В., КузнецоваЕ.Ю., Малыгина О.А., Морозова Т.А., Немировская-Дутчак О.Э., НовиковаА.И., Приходько В.Ю., Руденская И.Н., Татаринцев А.В., Унучек С.А.,Фаркова Н.А., Чекалкин Н.С. Календарно-тематические планы для очнозаочного и заочного отделений факультетов РТС, Электроники,Информационных технологий. М.: МИРЭА. 2014. 64 с. // электронноеиздание. Рег. Свидетельство № 35184.6Основные типы задач по курсу математического анализа2-ой семестрМатериал данного раздела содержит две части:- часть 1 «Неопределенный интеграл.

Методы интегрирования.Определенный интеграл и его приложения»;- часть 2 «Несобственные интегралы. Двойной и тройной интегралы,приложения. Элементы теории поля».Часть 1Неопределенный интеграл. Методы интегрированияОпределенный интеграл и его приложенияЗадачи части 1 составляют основу контрольной работы №1. Дляуспешной сдачи контрольной работы рекомендуется прорешать все задачичасти 1. Задачи, идентичные задачам этой части, включены вэкзаменационный (зачетный) билет.Задачи по теме «Неопределенный интеграл.

Методы интегрирования»Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл с помощью таблицыинтегралов и свойства линейности. Сделать проверку с помощьюдифференцирования.46 dx1.2   5 x 3 22cosxx 9 11.1   9 x 7  17e x  2dx9 x  16 1.3  3xx  13 cos x 1  dx8  2x 2  1927 x  x 3 4  x 2 2 5 dx1.4   81.75x 4  15 cos x  2x  7 x11.4   3 6 sin x dxx3  x2 x2  6123  dx 21.6   5 2sin x x  4  x dx9x 2  4 3 3  2 x  2  3 x 1542  2 xx sin1.9 dxx 11.11   9 x 7  e x  4  2dx9 x  25  x2  91217  dx 21.13   12 2cos x x  4  x 17 x 6  21  dx 9e x  21.8  2x9x48  dxx1 1.12  13x x  3 sin x  dx9  2x 2 1.101723  cos x   x7 6 x  17 x11.14   15 x  16 cos x dx3x9  x2 1172 18  15  5   dx1.15  2xx cos x Задача 2. Вычислить неопределенные интегралы методом заменыпеременной. Сделать проверку с помощью дифференцирования.6x2.1  e dx2.22.4  sin(3x  16)dx2.56dx2.7 3x  7ln 6 xdx2.8 xarctg 5 (3x)dx2.10 9x 2  1sin xsin 2 xdx2.11 edx2.13  2cos x6tgx  5 e dx tgxdx2.148 xdx x sin(15x)dx3.7  x arcsin xdx3.10  e sin(5 x)dx3.422 x3.13 arctg xdx2.9x  arctgx dx1 x22 6 x 7xarccos x1  x22.12 2.15x3xdx24dx63  ln x dx.xнеопределенные интегралы методомСделатьпроверкуспомощью x e dx3.5  ln(7 x)dx3.8  5x arccos( 4 x)dx3.11  x ln( 2 x)dx3.14  e ln 1  2e dx3.2 ctg (8x)dx2.62Задача 3.Вычислитьинтегрированияпочастям.дифференцирования.3.1  xe2.3  cos(9 x)dx8 x 9x3.3  x cos(9 x)dx arcctg (6 x)dx3.9  e cos(7 x)dx3.12  ( x  17)e dx3.65x23.15 x ln12x2xdx .8Задача 4.Вычислить неопределенные интегралы от дробнорациональных функций.4.1 5dx3x 124.214 (3x  5)85 dx4.4 4 x  15dxx  5x  84.5 ( x  3)( x  4)dx4.8 4 x  19dx( x  x  1) x( x  2)25x 2  2dx4.7 ( x  5)( x  1) 34.10 24.63x  4 ( x 2  2 x  3)dx4x  7 ( x  5)( x  3) x( x  2)dx4.9 x6dx( x  x  1)( x 2  1)23x  7dx4.12 4.11dxx  x  2x  2322 x 2  3x  1 x 3  1 dxx 3 dx4.14  3x  27dx3x 84.