kxd3 (Вычисление однопетлевых поправок к лагранжиану)

Вычисление однопетлевых поправок к лагранжиануКХД для постоянного хромомагнитного конденсатаВ. В. Владимирский, Д. В. ПерегудовАннотацияВ теории калибровочного поля Янга-Милса с SU (2) и SU (3) симметриейопределен эффективный лагранжиан, возникающий вследствие изменения спектра глюонов и кварков в постоянном магнитном поле с постоянными потенциалами.1 ВведениеДля описания вакуумного состояния глюонного поля было предложено много моделей (см.

[1]–[22], [35]–[38]), однако, как нам кажется, недостаточно внимания былоуделено самой простой возможности: модели постоянного во времени и пространствеквазиклассического поля. Речь идет о не зависящем от координат и времени решении уравнений Янга-Милса (ЯМ) с постоянной правой частью, примером которогоможет служить полеVµa (x) = V δµa ,(1)где V — постоянная размерности массы, µ = 0,. .

. ,3, a = 1,. . . ,8. Такое решениеизвестно в литературе как конденсат неабелевой конфигурации [12], [20]–[22]. Оноудовлетворяет классическому уравнению ЯМ с внешним током Jµa = 2g 2 V δµa . В теории со спонтанным нарушением устойчивости тривиального вакуума такой конденсат может возникнуть в результате влияния квантовых поправок к лагранжиануЯМ при Jµa = 0.

В данной статье условия возникновения конденсанта не рассматриваются, она посвящена только определению однопетлевого эффективного лагранжиана при заданном поле. Вычисления проведены в калибровке фонового поля. Всвязи с тем, что для SU(2) теории в литературе имеются несовпадающие результаты расчетов, а для более реалистического SU(3) случая эффективный лагранжианне вычислялся, здесь приведены расчеты двумя различными методами: с вычислением детерминантов и с определением шпура матричного логарифма (результаты(1)совпали). При вычислении Leff мы игнорируем тахионную часть спектра глюонов,считая, что квантовые поправки определяются логарифмически расходящимся вкладом от ультрафиолетовой части спектра [19] и не чувствительны к области малыхимпульсов.12 Исходный лагранжианЛагранжиан калибровочного поля L = LY M + LGF + LF P + Jµa Vµa + Lq включаетобычный лагранжиан Янга-МилсаaFµνaaLY M = − 14 FµνFµν,= ∂µ Vνa − ∂ν Vµa + gcabc Vµb Vνc ,(2)(3)член, фиксирующий калибровку LGF , лагранжиан духов Фаддеева и Попова LF P ,член, ответственный за связь с внешними токами Jµa , и лагранжиан кварков.

Мыбудем искать решения, близкие к постоянному классическому полю Vµa → Vµa + vµa .Для лагранжиана квантовых флюктуаций vµa выбираем калибровку фонового поляc 2LGF = − 12 (∂µ vµa + gcabc Vµb vµc )2 = − 12 (∇acµ vµ ) .(4)ac+ gcabc Vµb удобноЗдесь Vµb постоянно. С помощью векторного оператора ∇acµ = ∂µ δзаписать линеаризованные уравнения движения для малых отклонений vνc от постоянного поля Vνcad dadabd b−Mµνvν = (δµν ∇acFµν )vνd = −jµa ,(5)λ ∇λ + 2gcbгде jµa — малые внешние токи, Fµν= gcbcdVµc Vνd .Формула (5) справедлива для любого фонового поля и, в частности, верна вслучае произвольных постоянных полей, вызванных постоянными токами. МатрицаaddacdMµν= Mνµсодержит два члена: δµν ∇acλ ∇λ симметричен при перестановках µν → νµbантисимметричен при таких перестановках. В связи с этимили ad → da, 2gcabd FµνadaaFµν, но и от Vµa Vµa .спектр матрицы Mµν зависит не только от инварианта F 2 = Fµν2Оказывается, однако, что в конечный ответ входит только F .Трансляционная инвариатность линеаризованных уравнений (5) дает возможность исследовать квантовые флюктуации в форме суммы плоских волн exp(−ipµ xµ ) =exp(−iωx0 + ikx).

Собственные значения импульса pµ ≡ (ω, k) определяются матриad(s), причем сумма квадратов всех собственных значений s p(s)цей Mµνµ pµ определяadac cdются следом матрицы Mµν , или, точнее, следом первого члена δµν ∇λ ∇λ , так каквторой член диагональных элементов не содержит.3 Вычисление однопетлевых поправок к лагранжиану ЯМВ калибровке постоянного фонового поля вклад от временной компоненты флюктуаций компенсирует половину вклада духов. Вычисление L(1) производится по формуле:1 d4 pDet M(1)L =±ln,(6)42 (2π)Det M (0)причем знак минус нужно брать для пространственных компонент и знак плюс дляadвремениподобных (смешанные элементы матрицы отсутствуют). Матрица M ≡ Mµνсоответствует линеаризованному уравнению движения Mv = −j и имеет структуруM = −∇2 − 2gF , а матрица M (0) просто M (0) = −∂µ2 .23.1В SU(2) теории M имеет размерность 12×12 и может быть частично диагонализована.

Временной блок 3 × 3 диагонализуется полностью, если выбрать за базис амплитуды с проекцией изоспина на направление импульса 0, ±1. Пространственный блок9 × 9 упрощается, если взять за базис амплитуды с проекциями комбинированногоспина s + j (j — обычный спин, s — изоспин), равными ±2 (два синглета), ±1 (двадублета) и 0 (триплет). Рассматриваем конденсат с постоянным полемVµa = V δµa ,(7)где V — постоянная, который иначе можно записать так: V11 = V22 = V33 = V ,остальные компоненты равны нулю.Вычисления проводятся в евклидовой метрике: квадрат 4-импульса равен p2 =k 2 + ω 2 , k — пространственный импульс, ω — частота. При интегрировании поуглам степенных рядов от переменных p, k используют равенства k 2 p−2 = 3/4,k 4 p−4 = 5/8, ω 2 p−2 = 1/4, ω 4 p−4 = 1/8.

Интегрирование по радиальной компоненте импульса проводится с заменой d4 p = π 2 p2 dp2 . Логарифм детерминанта матрицы M можно заменить суммой логарифмов детерминантов отдельных блоков, которые являются полиномами от p2 и k. Вычисления упрощаются, если объединить блоки с равными по модулю и противоположными по знаку проекциями спина.

В этомслучае остаются только четные степени k и при разложении в ряд нужно учитыватьменьшее число членов. Детерминанты являются произведениями собственных чиселλi , причем для вычисления L(1) достаточно знать только произведения i λi , а характеристические уравнения решать не нужно. Технику вычисления продемонстрируемна произведении блоков с проекцией комбинированного спина ±1.p2 + 2 ± 2k−2Det(±) =2−2p +2.Здесь импульс oбезразмерен согласно p2 → p2 /g 2V 2 . Произведение детерминантовp + 8p6 − 4k 2 p4 + 16ω 2p2 − 16k 2 после деления на p8 от матрицы M (0) приводит к8ln(1 + (8 − 4k 2 p−2 )p−2 + 16ω 2p−6 − 16k 2 p−8 ).Разлагая логарифм в степенной ряд по p−2 , получаем(8 − 4k 2 p−2 )p−2 + 16(ω 2 p−2 )p−4 − 12 (64 − 64k 2 p−2 + 16k 4 p−4 )p−4 + . . .Первый член приводит к квадратичной расходимости, которая отбрасывается.

Сохраняем только члены порядка p−4 , дающие логарифмическую расходимость. Послеинтегрирования по углам четырехмерной сферы и учитывая общий знак, имеем численный фактор перед логарифмомγ = −[4 − 12 (64 − 48 + 10)] = +9.Аналогично вычисляются вклады остальных блоков. Приведем общую таблицу чис-3ленных факторов всех блоков для SU(2) теории.m±2±10±10nγDet42 5p − 4k 24 9 p8 + 8p6 − 4k 2 p4 + 16ω 2p2 − 16k 23 7p6 + 10p4 − 4k 2 p2 + 24p2 − 8k 22 3p4 + 4ω 2 + 41 −2p2 + 212 22Здесь m — проекция комбинированного спина, n — число амплитуд в блоке, γ —численный фактор, Det — характеристический многочлен. В первых трех строчкахприведены пространственноподобные амплитуды, в следующих двух — времениподобные, в последней строке — сумма.Суммируя численные факторы всех блоков и восстанавливая обезразмеривающиефакторы, получаем для SU(2)L(1) = −11g 4V 4 V 211g 2H 2 Hln=−ln 2 ,16π 2µ248π 2µ(8)где µ — точка нормировки, H 2 = 12 F 2 — квадрат постоянного хромомагнитногополя.

Этот результат вдвое меньше величины, полученной в работе [22] и совпадаетс результатом Саввиди и др. [1, 2, 3], полученным для постоянного поля абелевоготипа.3.2Переходя к вычислениям в SU(3) теории, сначала рассмотрим обычный вариантконденсата (7), обозначенный далее Ns . Он соответствует отображению группы вращения на SU(2) подгруппу группы цвета, образованную генераторами T1 , T2 , T3 . Впределах подгруппы все особенности спектра глюонов и вклады отдельных блоков вэффективный лагранжиан в точности повторяют картину SU(2) теории. Находящиеся вне подгруппы 5 генераторов SU(3) образуют копространство из 20 амплитуд.Матрицу 20 × 20 можно разбить на блоки, пользуясь значениями комбинированногоспинаS=j+s(9)и его проекции на направлениие импульса m.

Амплитуды, образованные синглетнымпо изоспину генератором T8 , с конденсатом не взаимодействуют и вклада в L(1) недают. Генераторы T4 , T5 , T6 , T7 обладают изоспином 1/2, они дают 2 × 4 амплитудс S = 3/2 и 2 × 2 амплитуд с S = 1/2 в пространственных компонентах и 2 × 2 сS = 1/2 во временных. Проекция комбинированного спина на направление импульсаm = (Sk)/|k|(10)сохраняется всеми членами матрицы M, а квадрат (S)2 = S(S +1) сохраняется всемиadс квантовымичленами, кроме члена Vµ ∂µ .

Чтобы установить связь матрицы Mµνчислами S, m выпишем ее более подробноadMµν= δµν (∂λ ∂λ δ ad + 2V ∂i caid + V 2 caic ccid ) + 2V 2 cabd cbµν .4(11)bВ последнем члене, пропорциональном Fµν, фактор cbµν обращается в ноль, если одиниз индексов µ, ν равен нулю. Члены, содержащие V 3 , легко выразить через спиновыепеременные2cabd cbijcaic ccid = s(s + 1),= −2(js) = j(j + 1) + s(s + 1) − S(S + 1).(12)(13)Оператор 2V ∂i caid пропорционален проекции изоспина на направление, связанное симпульсом, и комбинированный спин не сохраняется: сохраняется только проекцияна импульс. В связи с этим при использовании в качестве базиса амплитуд, с определенными квантовыми числами S, m необходимо вводить подпространство амплитудс различными значениями S, совместимыми с заданным значением m, и переходитьк спиральным амплитудам с определенными значениями проекций j и s на ось квантования, пользуясь обычными правилами сложения моментов.