lecture1 (Перегудовские лекции по физике)

Предмет механикиМеханика изучает механическое движение тел. Механическое движение— это изменение положения тела с течением времени. Собственно механика имеет дело с такими системами, движение которых можно описатьконечным числом функций времени q1 (t), .

. . , qn (t). Число n необходимыхфункций называют числом степеней свободы системы.Замечание. Таким образом, собственно механика изучает системы с конечным числом степеней свободы. Иногда сферу действия механики расширяют, включая в неетечение жидкости и колебания упругих тел.Сами величины q1 , . . . , qn называют координатами.

Зависимость координат от времени называют законом движения. Основная задача механики состоит в определении закона движения данной механической системыпри данных начальных условиях.Основные модели механики — материальная точка и твердое тело.Материальная точка — это модель тела, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь. (Размерами тела можно пренебречь, еслиони много меньше каких-то других характерных размеров задачи. Например, если вы бросаете камень размером 5 см на расстояние 20 м, то каменьможно, очевидно, считать материальной точкой.) По самому смыслу, материальная точка имеет три степени свободы.Твердое тело — это система материальных точек и связей, таких чторасстояние между двумя любыми материальными точками остается неизменным.

Хотя твердое тело может состоять из большого или даже бесконечного (сплошное тело) числа материальных точек, наличие связей приводит к тому, что число степеней свободы конечно и равно шести.Кинематика материальной точкиСистемы координатДля описания движения материальной точки нужно ввести какую-либосистему координат. Ниже мы рассмотрим наиболее употребительные системы.Декартова система координат. Движение материальной точки описывается функциями x(t), y(t), z(t).Полярная система координат (на плоскости). Движение материальной точки описывается функциями r(t), ϕ(t).Связь с декартовыми координатамиx = r cos ϕ,y = r sin ϕ.1zzzMyyxxxy“Правая” декартова система координат“Левая” (не будем пользоваться)yMrϕxПолярная система координатЦилиндрическая система координат (в пространстве).

Движениематериальной точки описывается функциями r(t), ϕ(t), z(t).zzzMMθϕryϕxryxЦилиндрическая система координатСферическая система координатСвязь с декартовыми координатами такая же, как для полярной системы координат.2Сферическая система координат. Движение материальной точкиописывается функциями r(t), θ(t), ϕ(t).

Связь с декартовыми координатамиx = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Выбор той или иной системы координат для описания движения материальной точки диктуется соображениями удобства.Скорость и ускорениеРассмотрим сначала движение точки по прямой. Положение ее характеризуется функцией x(t).Средней скоростью на интервале [t1 , t2 ] называетсяvср =x(t2 ) − x(t1 ).t2 − t1Мгновенной скоростью (или просто скоростью) в момент времени t1называется предел средней скорости на [t1 , t2 ] при t2 → t1v(t1 ) = limt2 →t1x(t2 ) − x(t1 ).t2 − t1Немного математики. Производная.

Таблица производных. Правила дифференцирования. Как известно, такой предел называется производной функции x(t)v(t) = x (t) = ẋ(t) =dxdt(это все разные обозначения производной). Приведем тут же маленькую таблицу производных и некоторые правила дифференцирования для дальнейших ссылок.Таблица производныхфункцияxasin xcos xln xexпроизводнаяaxa−1cos x− sin x1/xexПравила дифференцирования(f + g) = f + g ;(f g)=f gg f+[g(f (x))] = g (y)|y=f (x) f (x)(cf ) = cf ,c = const;(правило Лейбница);(производная сложной функции).3Ускорение определяется аналогично скоростиa = limt2 →t1v(t2 ) − v(t1 )= v = xt2 − t1(вторая производная от координаты x, другие обозначения ẍ и d2 x/dt2 ).Немного математики.

Интегрирование. Первообразная. Определенный интеграл. Пусть дана функция f (x) и нужно найти такую функцию F (x), что F (x) =f (x). Функция F (x) называется первообразной функции f (x), а сама операция, обратнаядифференцированию, называется интегрированием и обозначаетсяF (x) =f (x) dx.Таблица первообразных и правила интегрирования следуют из таблицы производных иправил дифференцирования.Таблица интеграловфункцияxa , a = −1sin xcos x1/xexинтегралxa+1 /(a + 1) + c− cos x + csin x + cln x + cex + cСразу отметим, что интегрирование — неоднозначная операция. Функции F (x) иF (x) + c, где c = const, имеют одну и ту же производную, а потому обе являютсяпервообразными для f (x).Правила интегрирования[f (x) + g(x)] dx =f (x) dx + g(x) dx;[cf (x)] dx = c f (x) dx, c = const;f (x)g (x) dx = f (x)g(x) − g (x)f (x) dx (интегрирование по частям);g(y) dy = G(f (x)) (замена переменной в интеграле).g(f (x))f (x) dx =y=f (x)В последней формуле через G(x) обозначена первообразная функции g(x).Наряду с введенным выше так называемым неопределенным интегралом в математическом анализе используется понятие определенного интеграла.

Пусть задана функция f (x) на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] на несколько меньших отрезков, пустьих длины равны ∆x1 , ∆x2 , . . . , длину наибольшего отрезка обозначим через ∆. На каждом отрезке выберем по точке ξ1 , ξ2 , . . . и составим сумму f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + . . .Геометрически эта сумма равна площади ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] называется пределэтой суммы при измельчении разбиения bf (x) dx = lim f (ξ1 ) ∆x1 + f (ξ2 ) ∆x2 + . . .a∆→04y∆x1a ξ1∆x2ξ2∆x3ξ3 bxОпределенный интеграл(геометрически определенный интеграл равен площади под графиком функции f (x)).Оказывается, что определенный интеграл просто связан с неопределенным (или спервообразной).

Именно, имеет место формула Ньютона—Лейбницаbaf (x) dx = F (b) − F (a).В механике чаще встречается интегрирование, чем дифференцирование. Причинаэтого в том, что основной задачей является получение закона движения, то есть зависимость координат от времени, а из уравнений движения (подробнее ниже) обычноопределяется ускорение. Координаты же должны быть затем восстановлены интегрированием.Домашнее задание. Вспомнить формулы для скорости v координаты x при прямолинейном равномерном и прямолинейном равноускоренном движении.Рассмотрим теперь общий трехмерный случай.

Пусть x, y, z — декартовы координаты точки M .Вектор r = (x, y, z) называется радиус-вектором точки M .Вектор v = (x , y , z ) называется скоростью точки M (иначе записывается как v = r ).Вектор a = (x , y , z ) называется ускорением точки M (иначе записывается как a = v = r ).Немного математики. Операции над векторами. Математики, которые будут читать вам линейную алгебру, объяснят, что вектор b характеризуется своимипроекциями на оси некоторой декартовой системы координат, в нашем случае тройкой (bx , by , bz ). При замене системы координат проекции изменяются по определеннымправилам, которые следуют из геометрической интерпретации вектора.Домашнее задание.

Написать формулы преобразования проекций вектора при повороте системы координат на угол ϕ вокруг оси z.5yyyyz, z cMxxbϕaxxПоворот системы координатВекторное произведениеДля векторов определены умножение на число, сложение, скалярное и векторноепроизведения.Вектор c называется произведением вектора b на число a, еслиcx = abx ,cy = aby ,cz = abz(записывается c = ab).Вектор c называется суммой векторов a и b, еслиcx = ax + bx ,cy = ay + by ,cz = az + bz(записывается c = a + b).Число c называется скалярным произведением векторов a и b, еслиc = ax bx + ay by + az bz(записывается c = ab, иногда применяются обозначения c = a·b или c = (a, b)).

Как васучили в школе, величина скалярного произведения равна произведению модулей векторов на косинус угла между ними. В частности, скалярное произведение двух взаимноперпендикулярных векторов равно нулю.Вектор c называется векторным произведением векторов a и b, еслиcx = ay bz − az by ,cy = az bx − ax bz ,cz = ax by − ay bx(записывается c = a×b, иногда встречается обозначение c = [a, b] или даже c = [a×b]).Правила расстановки индексов в этих на первый взгляд сложных формулах на самомделе просты. Первые три индекса (индекс в левой части и индексы в первом произведении в правой части) всегда идут в порядке x → y → z → x. Индексы во второмпроизведении в правой части получаются перестановкой индексов в первом произведении.

Отметим, что эти формулы справедливы только для “правой” системы координат(“левые” мы уже договорились не использовать). Геометрически вектор c перпендикулярен векторам a и b, а его направление определяется правилом правого винта: есликрутить винт от вектора a к вектору b, то он будет ввинчиваться по направлению вектора c. Абсолютная же величина вектора c равна произведению модулей векторов a и bна синус угла между ними. В частности, векторное произведение двух параллельныхвекторов равно нулю.6Движение по окружностиЕстественно воспользоваться полярными координатами. Тогдаx = R cos ϕ,y = R sin ϕ,причем от времени зависит только ϕ.yvMaϕaτanRrxДвижение по окружностиЧтобы найти скорость, продифференцируем координаты по времениvx = −ϕ̇R sin ϕ,vy = ϕ̇R cos ϕ.Величина ϕ̇ = ω называется угловой скоростью движения материальнойточки.

С помощью прямого вычисления убеждаемся, что rv = 0, то естьскорость перпендикулярна радиус-вектору, следовательно, она направленапо касательной к окружности. Модуль скорости|v|2 = vx2 + vy2 = R2 ω 2 .Таким образом линейная скорость связана с угловой равенствомv = ωR.7Для определения ускорения дифференцируем дальшеax = −ϕ̇2 R cos ϕ − ϕ̈R sin ϕ,ay = −ϕ̇2 R sin ϕ + ϕ̈R cos ϕ.Величину ϕ̈ = ω̇ = ε называют угловым ускорением движения материальной точки. (Иногда угловое ускорение обозначают буквой β.) Для анализаудобно разбить ускорение на две части a = an + aτ , гдеan = (−Rω 2 cos ϕ, −Rω 2 sin ϕ) = −ω 2 rназывается нормальным ускорением (оно сонаправлено с r, а потому перпендикулярно к скорости), аaτ = (−Rε sin ϕ, Rε cos ϕ)называется тангенциальным ускорением (оно сонаправлено со скоростью).Абсолютная величина нормального ускорения может быть выраженачерез ω или van = ω 2 R = v 2/R.Используя уже полученное равенство v = ωR, найдем dv/dt = εR, послечего проекция тангенциального ускорения на направление скорости такжеможет быть выражена двумя способамиaτ = εR = dv/dt(подчеркнем, что в этой формуле стоит производная абсолютной величиныскорости).