lecture1 (Перегудовские лекции по физике), страница 2

Поскольку тангенциальное и нормальное ускорения перпендикулярны друг другу, то величина полного ускорения равнаa=a2n + a2τ .Замечания. Тангенциальное и нормальное ускорения имеют смысл при движениипо любой траектории, а не только по окружности. Все выведенные выше формулысохраняют силу, однако не так то просто вычислить радиус кривизны произвольнойтраектории!Введенные нами угловые характеристики (скорость и ускорение) встретятся еще разпри изучении кинематики твердого тела. Не следует смешивать эти понятия.8Законы НьютонаСобытием называют мгновенное происшествие, происходящее в данной точке пространства. (Например: материальная точка M в момент времени t проходит через точку с координатами x, y, z.) Для того чтобыописывать события, мы должны добавить к системе координат “часы” ипревратить ее в систему отсчета.Замечание.

Настоящее осознание понятий “событие” и “система отсчета” приходитв теории относительности.Первый закон Ньютона. Преобразования ГалилеяПервый закон Ньютона гласит: существуют системы отсчета, в которых всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставитего изменить это состояние.Такие системы отсчета называются инерциальными.

Равномерное прямолинейное движение тела (в отсутствие воздействия со стороны другихтел) называют движением по инерции, а первый закон Ньютона называютеще законом инерции.Оказывается, что все инерциальные системы отсчета могут быть получены из одной• сдвигом начала координат,• изменением начала отсчета времени,• поворотом осей координат,• равномерным прямолинейным движением.Одно и то же событие будет иметь разные координаты и время в разных инерциальных системах отсчета. Довольно очевидно, как пересчитываются координаты и время в первых трех (из четырех перечисленных)случаях. При равномерном прямолинейном движенииx = x + vt ,y = y,z = z,t = t .Ввиду особой важности эти формулы получили название преобразованияГалилея.Замечания.

Преобразованиями Галилея называют также всю совокупность преобразований от одной инерциальной системы отсчета к другой (включая сдвиги и повороты).9yyvx, xzzПреобразование ГалилеяВ теории относительности показано, что формулы преобразований Галилея не совсемточны. Они приближенно справедливы при малых (по сравнению со скоростью света)скоростях движения систем отсчета друг относительно друга. При больших скоростяхформулы преобразований Галилея должны быть заменены формулами преобразованийЛоренца.Второй закон НьютонакиВторой закон Ньютона утверждает, что для любой материальной точma = F.Здесь m — масса материальной точки, a — ее ускорение, F — действующая на материальную точку сила.

Поскольку и понятие массы, и понятиесилы относятся к фундаментальным (то есть к с трудом поддающимсяопределению), то нужно пояснить, в чем заключается смысл закона. Предполагается, что сила может зависеть от координат материальной точки, еескорости и от времени F(r, v, t). Таким образом, закон связывает r, r = vи r = a. Эту связь называют уравнением движения.Немного математики. Дифференциальные уравнения. Уравнения, связывающие функцию и ее производные, называются дифференциальными уравнениями.

Содержание второго закона Ньютона в том, что движение тел можно описывать такимиуравнениями. В данном случае это уравнения второго порядка, потому что в них входит вторая производная (а третья уже не входит). Математики объяснят вам, что решение дифференциального уравнения неединственно: оно содержит столько произвольныхпостоянных, каков порядок уравнения. В нашем случае их две. Чтобы определить этипостоянные и однозначно зафиксировать решение, мы должны задать начальные условияr(0) = r0 , v(0) = v0— начальные координаты и скорости в момент времени t = 0. Совокупность уравненияи начальных условийma = F(r, v, t),r(0) = r0 ,10v(0) = v0называется задачей Коши.

Решение задачи Коши уже единственно и описывает движение материальной точки под действием заданной силы при заданных начальных условиях.Домашнее задание. Пусть материальная точка движется в поле тяготения Земли.Тогда сила F = mg. Написать закон движения x(t), y(t), z(t). Указать зависимость отначальных условий.Обобщение на случай системы N материальных точек довольно очевидно.

Для каждой материальной точки нужно записать уравнение движенияmi ai = Fi ,i = 1, . . . , N.Сила Fi , действующая на i-ую материальную точку, может теперь зависеть от координат и скоростей всех материальных точекFi (r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t).Начальные условия также нужно задать для всех материальных точексистемыri (0) = ri0 , vi (0) = vi0 , i = 1, . . .

, N.Принцип относительностиВыше мы уже говорили, что во всех инерциальных системах отсчета тело, на которое не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно. Однако справедливо и более сильное утверждение: все физическиеявления протекают совершенно одинаково во всех инерциальных системахотсчета. Это утверждение называется принципом относительности.Нас сейчас интересуют механические явления. Мы уже знаем, что движение материальной точки описывается уравнением ma = F и что этоуравнение не определяет движения однозначно — нужны еще начальныеусловия. Принцип относительности нужно понимать так, что при создании одинаковых начальных условий (независимо от того, в какой системеотсчета они созданы) в одинаковых системах дальнейшее механическоедвижение будет одинаковым.Нетрудно видеть, что принцип относительности накладывает некоторые ограничения на вид функции F(r, v, t) (точнее, на функции Fi длясистемы материальных точек, но в целях упрощения обозначений мы будем писать уравнения так, будто точка всего одна).В системе отсчета (x, y, z, t) закон движения материальной точки естьрешение задачи Кошиma = F(r, v, t),v(0) = v0 .r(0) = r0 ,11В системе отсчета (x , y , z , t = t) закон движения той же материальнойточки при тех же начальных условиях есть решение задачи Кошиma = F(r , v , t ),r (0) = r0 ,v (0) = v0 .(Штрих здесь обозначает не дифференцирование, а другую систему отсчета.) Функция F в обоих случаях одна и та же, поскольку системы однаи та же.

Постоянные r0 и v0 одни и те же в соответствие с формулировкой принципа относительности. В соответствие с тем же принципомрешения двух задач должны совпадать, то есть должны совпадать функции r(t) и r (t). Это возможно, только если совпадают сами уравненияma = F(r , v , t ) и ma = F(r, v, t) (с точностью до замены штрихованных координат и времени нештрихованными). Таким образом, математическая формулировка принципа относительности состоит в инвариантности (неизменности) уравнений движения относительно преобразованийГалилея.Замечания.

Принцип относительности часто понимают неправильно. Особенно много проблем это порождает в теории относительности. Будьте бдительны!Принцип относительности, очевидно, не может применяться к системам материальных точек, которые взаимодействуют с внешними телами. В этом случае следовало бы“переносить” из одной системы отсчета в другую внешние тела, что автоматическиизменяет уравнения движения.Домашнее задание. Пусть система состоит из двух материальных точек, аF1 = −F2 = (r2 − r1 )/|r2 − r1 |3(сила тяготения Ньютона). Показать, что уравнения движения этой системы инвариантны относительно преобразований Галилея.Третий закон НьютонаТретий закон предполагает, что силу, действующую на материальнуюточку, можно представить в виде суммы, каждый член которой обусловлен действием какой-то другой материальной точки.

(На рисунке показанслучай системы из трех точек.)F1 = F12 + F13 .Третий закон утверждает, чтоF12 = −F21122F12F211F1F133Третий закон Ньютонаи аналогично для любой другой пары индексов, а также чтоF12 × (r1 − r2 ) = 0,то есть F12 r1 − r2 .Замечание. Третий закон Ньютона не является столь фундаментальным, как второй. На сегодняшний день дифференциальными уравнениями второго порядка (обыкновенными или в частных производных) описываются практически любые физическиесистемы. В то же время с точки зрения современной физики третий закон Ньютона —всего лишь досадный компромисс, другой способ записи фундаментального закона сохранения импульса, приспособленный для механики с ее дальнодействующими силами.К примеру, в электродинамике уравнение движения заряженной частицы в форме второго закона Ньютона сохраняется (с поправкой на релятивизм), а вот третьего законанет и в помине.Силы в механикеС математической точки зрения механическая система считается заданной, если заданы силы, действующие на все материальные точки системы.

Тогда можно с помощью второго закона Ньютона составить уравнениядвижения, решить их, и найти закон движения каждой материальной точки. Однако на практике силы редко бывают заданы явно. Вместо этогомеханическая системы описывается “на словах”. Мы должны уметь переводить такое “физическое” описание на язык математики. Посколькуобщих рецептов здесь нет, то мы просто перечислим те силы, с которыминам придется иметь дело.Силы делятся на “настоящие”, те для которых действительно можноуказать выражение F(r, v, t), и силы реакции связей.

Из “настоящих” силмы встретимся с силой тяжести и силой упругости.Сила тяжести. Сила тяжести — это сила взаимодействия материальной точки и Земли. В модели “плоской” ЗемлиF = mg,13MmrFF“Плоская” Земляm“Круглая” Землягде m — масса материальной точки, а g — ускорение свободного падения.В модели “круглой” ЗемлиF =GmM,r2где M — масса Земли, G — гравитационная постоянная. Это закон всемирного тяготения.Сила упругости. Сила упругости — это сила, с которой действует наматериальную точку прицепленная к ней пружина. Величина этой силыопределяется законом ГукаF = kx,где x — удлинение пружины по сравнению с недеформированным состоянием, k — жесткость пружины.Силы реакции связей. Материальные точки редко бывают предоставлены сами себе. Чаще что-то мешает им двигаться свободно. Онипривязаны нитками или лежат на плоскости.

Такие ограничения называют связями. Связи уменьшают число степеней свободы системы. Приналичии связей некоторые координаты (вообще говоря, координаты и скорости) оказываются зависимыми. Эту зависимость называют уравнениемсвязи. Например, если материальная точка лежит на столе, то она имеетне три, а две степени свободы.