Аналитическая геометрия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава I. Векторная алгебра.

§1. Векторы в пространстве. Основные определения.

Определение 1. Вектором в пространстве называется направленный отрезок.

Таким образом, векторы в отличие от скалярных величин имеют две характеристики: длину и направление. Будем обозначать векторы символами , или а.

(Здесь А и В – начало и конец данного вектора (рис.1)) а В

Длина вектора обозначается символом модуля: . А рис.1

Различают три вида векторов, задаваемых отношением равенства между ними:

1. Закрепленные векторы называются равными, если у них совпадают начала и концы соответственно. Примером такого вектора является вектор силы.

2. Скользящие векторы называются равными, если они расположены на одной прямой, имеют одинаковые длины и направления. Примером таких векторов является вектор скорости.

3. Свободные или геометрические векторы считаются равными, если они могут быть совмещены с помощью параллельного переноса.

В курсе аналитической геометрии рассматриваются только свободные векторы.

Определение 2. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором, или ноль –

вектором.

Очевидно, начало и конец нулевого вектора совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления или имеет любое направление.

Определение 3. Два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых называются

коллинеарными (рис.2). Обозначают: . a

b

Нулевой вектор можно считать коллинеарным любому. рис.2

Определение 4. Два коллинеарных и одинаково направленных вектора называются

сонаправленными. Обозначают: .

Теперь можно дать строгое определение равенства свободных векторов:

Определение 5. Два свободных вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют

одинаковую длину.

Определение 6. Три вектора, лежащих в одной или параллельных плоскостях называются

компланарными.

Два перпендикулярных вектора называют взаимно ортогональными: .

Нулевой вектор можно считать ортогональным любому.

Определение 7. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

Орт, сонаправленный ненулевому вектору а называют ортом вектора а : e_a .

§2. Линейные операции над векторами.

На множестве векторов определены линейные операции: сложение векторов и умножение вектора на число.

I. Сложение векторов.

Суммой 2 – х векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого, а конец с концом второго, при условии, что начало второго совпадает с концом первого.

Л егко видеть, что сумма двух векторов, определенная

таким образом (рис.3а), совпадает с суммой векторов,

построенной по правилу параллелограмма (рис.6). b

Однако, данное правило позволяет строить a

сумму любого числа векторов (рис.3б).

a+b

рис.3а

a

b a+b+c

рис.3б c

I I. Умножение вектора на число.

Произведением вектора а на число называется вектор, a

длина которого равна , сонаправленный вектору а при λ > 0 -0.7a

и противоположно направленный при λ < 0. рис.4

Вычитание векторов определяется как действие обратное сложению:

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор c = a − b, который при сложении с вектором b дает вектор a : b + c = a (рис.5).

Из рис.5 следует, что строить вектор разности удобнее, поместив

b a−b начала векторов a и b в общую точку.

Очевидно следующее равенство: a + (−1)a = a − a = 0.

a (Строгое доказательство предоставляется читателям)

рис.5

Замечание. Ноль в правой части последнего равенства есть нулевой вектор, а не число.

Равенство (−1)b = −b дает еще один способ построения разности векторов: а−b = a+(−b). Т.е. при вычислении разности можно у вычитаемого вектора изменить направление на противоположное и построить сумму полученных векторов.

Свойства линейных операций.

1. Переместительное свойство сложения (коммутативность).

a + b = b + a. {рис.6}

1. Сочетательное свойство сложения (ассоциативность).

(a + b) + c = a + (b + c). {рис.7}

3. Дистрибутивность умножения

а) (λ+μ)а = λа + μа. {Очевидно}

б) λ(a+b) = λa + λb. {Следует из подобия (рис.8)}

4. λ(μа) = (λμ)а . {Очевидно }

c

b b

a+b = b+a b+c λb λ(a+b)

a+b b

a (a+b)+c=a+(b+c) a+b

a a λa

рис.6 рис.7 рис.8

§3. Проекция вектора на ось.

Определение 1. Осью называется прямая, на которой задано положительное направление.

Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).

Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множеством действительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число 0.

Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.

Рассматривая некоторую ось u (не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единого масштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.

Определение 2. Величиной отрезка [АВ] (обозначается АВ) называется число, равное длине этого отрезка и взятое со знаком «+», если направлен по оси и со знаком «−», если − против, т.е. .

А' В' и

рис.9

Основные свойства величин отрезков (будем считать, что тт. А, В и С лежат на оси и ):

1. АВ = −ВА {Очевидно}

{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси − равенство очевидно.

Пусть точки расположены иначе, например: В, С, А → ВА = ВС + СА →

−АВ = ВС −АС → АС = АВ + ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}

1. Пусть и – числовая ось, а А_и и В_и − координаты точек А и В на этой оси. Тогда

АВ = В_и − А_и . {Очевидно}

Рассмотрим теперь произвольный вектор и ось u (рис.9).

Определение 3. Ортогональной проекцией вектора на ось и называется величина отрезка А'В', где А' и В' − ортогональные проекции точек А и В на эту ось (рис.9).

Пр_и = А'В' .

Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.

Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через φ, то для вычисления проекции имеем очевидное соотношение: Пр_и = При этом необходимо учитывать, что угол φ отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Если е_и − орт, сонаправленный оси и, то в частном случае .

Замечание. Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следует провести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней. Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться. Однако, в дальнейшем, по умолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.

Линейные свойства проекций.

I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}

II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}

Определение 3. Линейной комбинацией векторов а₁,…,а_п называется сумма следующего вида: , где все коэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, а_i − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Система векторов {a₁,…,a_n} называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ₁,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2. Система векторов {a₁,…,a_n} называется линейно независимой, если ее линейная

комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а₁,…,a_n – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: {a_k} – л.з. ): Пусть, для определенности,

, т.е. а₁ − линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a_m – л.к.): система лин. зав.}

Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0a₁ + … + 0a_n-1 + }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }

Примеры.

1) . 2) они компланарны.

Отсюда следует, что три вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

3) Четыре вектора в пространстве всегда линейно зависимы.