Аналитическая геометрия, страница 3

смешанное произведение обозначают символом abc.

Для записи смешанного произведения в координатах лучше всего использовать форму

Если теперь представить векторное произведение в виде символического определителя и заменить первую строку на строку координат вектора а , то при разложении определителя

по первой строке, получится скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго на третий. Таким образом, для смешанного произведения в координатной форме имеем

следующую формулу:

Пример. Исследовать векторы a = (3,1,−2), b = (2,−1,4) и c = (7,−1,6) на линейную зависимость.

{Так как линейная зависимость трех векторов в пространстве эквивалентна их компланарности,

вычислим их смешанное произведение: векторы линейно зависимы}

Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве.

§1. Декартова система координат.

Определение 1. Три взаимно перпендикулярные числовые оси, имеющие общее начало отсчета и одинаковые масштабы, называются декартовой системой координат данного пространства.

Координатные оси обычно обозначают буквами x, y и z или символами OX, OY и OZ . Любая

точка М пространства находится во взаимно однозначном соответствии с множеством упорядоченных троек действительных чисел – координатами своих ортогональных проекций

на осях х, у и z, называемых координатами самой точки М: М(М_х,М_у,М_z).

В качестве базиса векторного пространства выбираются орты i, j и k, сонаправленные координатным осям x, y и z соответственно (рис.12). Рассмотрим вектор .

Вектор с началом в точке О и концом в точке М называется радиус −вектором точки М.

Пусть его координаты в данном базисе равны r_x,r_y и r_z , т.е.

z Из определения суммы векторов (§2) сразу следует, что

вектор . В свою очередь, каждое

M_z из слагаемых правой части равно проекции вектора r на

М координатную ось (§3), умноженную на соответствующий

k r базисный орт: и

О j M_y y . В силу единственности разложения

i вектора по базису (§4, Т1) имеем следующий результат:

М_х

x рис.1

В декартовой системе координат координаты вектора в ортонормированном базисе равны

его проекциям на координатные оси.

§2. Простейшие задачи аналитической геометрии.

В этом параграфе будут рассмотрены три задачи: вычисление координат вектора по координатам точек А и В, вычисление длины отрезка и деление отрезка в данном отношении.

1. Вычисление координат вектора .

В Пусть − произвольный вектор пространства (рис.2). Точки А'

М и В' с координатами А_х и В_х − проекции точек А и В на ось ОХ.

А Координаты вектора равны его проекциям на координатные оси (§1).

Следовательно, его первая координата равна В_х − А_х (гл.I ,§3,св.3).

А' М' В' ОХ Аналогичный результат получается для остальных координатных

Рис.2 осей. Таким образом: .

2. Вычисление длины отрезка.

Так как длина отрезка АВ (|AB|) равна , то |AB| =

(гл.1, §7).

1. Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим т. (рис.2). Требуется определить число , где АМ и МВ − величины направленных отрезков , называемое отношением, в котором т. М делит

направленный отрезок . Из курса элементарной геометрии и полученных результатов имеем: . Отсюда легко получаем координаты точки М:

.

Замечания.

1. Наиболее важным частным случаем является деление отрезка пополам:

1. Полученный результат сохраняется для любого расположения точек, лежащих

на одной прямой. В случае, когда т. величина λ будет отрицательной.

§2. Аналитическая геометрия на плоскости.

В этом и нескольких последующих параграфах будут рассмотрены основные задачи аналитической геометрии на плоскости.

Пусть дана некоторая фиксированная координатная плоскость, т.е. плоскость, на которой

задана декартова система координат XOY и ортонормированный базис {i, j}, орты которого сонаправлены координатным осям х и у соответственно.

Любая точка плоскости определяется двумя координатами – координатами своих ортогональных проекций на эти оси: М(х, у).

Любой вектор плоскости так же определяется двумя координатами – коэффициентами разложения по базису или, что то же самое, своими проекциями на координатные оси: а = (а_х , а_у).

Линия на плоскости определяется как геометрическое место точек плоскости (гмт), удовлетворяющих некоторому геометрическому или аналитическому условию. Геометрическое условие необходимо перевести в аналитическое (геометрия – аналитическая!), а у аналитического

− выяснить геометрический смысл (аналитическая геометрия). Аналитическим заданием линии является уравнение с двумя переменными: F(x, y) = 0, т.е. линия на плоскости определяется как

геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Иногда линия задается в параметрической форме:

Замечание. В математическом анализе уравнение F(x, y) = 0 называют неявным заданием функции

(частный случай y = f (x) называется явным заданием), т.е. используются понятия функции и аргумента. В аналитической геометрии, вообще говоря, переменные х и у считают равноправными.

§3. Прямая на плоскости.

Определим прямую l на плоскости следующим образом:

Пусть заданы произвольная фиксированная т. М₀(х₀,у₀) и произвольный фиксированный

ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, который называется

нормальным вектором прямой или просто нормалью.

Прямой, проходящей через т. М₀ , с данным нормальным вектором называется геометрическое место концов векторов на плоскости, имеющих начало в т. М₀ и ортогональных вектору (рис.3).

Используя данное определение, легко написать аналитическое задание или уравнение этой прямой.

у Пусть т. М(х,у) − произвольная точка прямой.

Из условия сразу следует:

М₀

М х Итак, − уравнение прямой, проходящей

Рис.3 через точку (х₀,у₀) и перпендикулярной вектору

Если обозначить выражение − Ах₀ − Ву₀ через С , то получим

общее уравнение прямой на плоскости:

§4. Специальные виды уравнения прямой.

1. Уравнение с угловым коэффициентом.

Хорошо известное уравнение y = k x + b, где k = tgφ − тангенс угла наклона прямой к оси ОХ ,

а b − величина отрезка от начала координат до точки пересечения прямой с осью OY .

II. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Так как прямая полностью определяется двумя точками, естественно написать соответствующее уравнение. Пусть даны две различные точки, принадлежащие прямой l:

. В этом случае . Отсюда :

− уравнение прямой через две точки.

III. Каноническое и параметрические уравнения прямой.

Любой вектор, коллинеарный прямой l называется направляющим вектором прямой.

(В частности, вектор (пункт II) − направляющий) Если дана точка на

прямой и направляющий вектор , то последнее уравнение можно переписать в виде:

− каноническое уравнения прямой. Если полученную пропорцию приравнять

к параметру t , то получим параметрические уравнения прямой: .

IV. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть известны точки пересечения прямой с осями координат: .

Отсюда : уравнение прямой в отрезках.

§5. Основные задачи, связанные с прямой.

1. Угол между прямыми.

Рассмотрим две прямые l₁ и l₂ . Если эти прямые заданы своими общими уравнениями, то

косинус угла между ними может быть найден как косинус угла между их нормалями или направляющими векторами с помощью скалярного произведения: .

Замечание. Направляющий вектор из нормального (и наоборот) легко получить следующим образом:

В случае задания прямых уравнениями с угловым коэффициентом, имеем соотношение:

1. Условия параллельности и ортогональности двух прямых.

1. Расстояние от точки до прямой.

Вычислим расстояние от произвольной точки плоскости M^*(x^*, y^*) до прямой l: Ax+By+C = 0.

Пусть М(х,у) − произвольная точка прямой, − нормаль (рис.4).

Расстояние от т.M^* до прямой, очевидно, равно модулю проекции

•М^* вектора на вектор нормали:

М

Т.к. точка , то Ах + Ву = − С и окончательно получаем:

Рис.4

Замечание. Знак выражения Ах^*+Ву^*+С меняется при переходе точки через прямую.

§6. Алгебраические линии на плоскости.

Линии, описываемые алгебраическим уравнением n −го порядка от двух переменных, называют линиями или кривыми n −го порядка на плоскости.

Линии 1 – го порядка описываются уравнением Ах + Ву + С = 0 ( ) представляют собой прямые.

Уравнения 2 – го порядка : ,( ) называют

кривыми 2 – го порядка и представляют собой целое семейство плоских кривых.

§7. Окружность.

Определение. Окружность − геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от

заданной фиксированной точки плоскости, называемой центром окружности. Расстояние от

точек окружности до центра – радиус окружности.

Если центр окружности находится в т. М₀(х₀,у₀), а радиус равен r, то уравнение окружности может быть написано в следующем виде:

§8. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.