Литература - Методы построения эпюр (Всякие мелочи), страница 7

Рассмотрим элемент dz, находящийся только под действием продольных сил N (рис.21,б). Если его левое сечение считать неподвижным, то правое сечение под влиянием продольной силы переместится вправо на величину . На этом перемещении сила N совершит работу:

(2.5)

Рис. 21

Если неподвижно закрепить левое сечение элемента dz, находящегося под действием только изгибающих моментов М (рис.22,а), то взаимный угол поворота торцевых сечений элемента будет равен углу поворота его правого сечения:

.

На этом перемещении момент М совершит работу:

(2.6)

Рис. 22

Закрепим левое сечение элемента dz, находящегося под действием только поперечных сил Q (рис.22,б,в), а к правому приложим касательные усилия , равнодействующей которых является поперечная сила Q. Предположим, что касательные напряжения равномерно распределены по всей площади А поперечного сечения, то есть , тогда перемещение определяется в виде:

,

а работа силы Q на этом перемещении будет:

(2.7)

В действительности касательные напряжения распределены по площади поперечного сечения неравномерно, что учитывается введением в (2.7) поправочного коэффициента .

Суммируя (2.5) – (2.7), получим полное значение работы:

(2.8)

Интегрируя выражение в пределах длины L каждого участка всех стержней и суммируя результаты, получим:

(2.9)

Из формулы (2.9) следует, что работа внешних сил на вызванных ими перемещениях всегда положительна.

На основании закона сохранения энергии работа внешних сил переходит в потенциальную энергию деформации, то есть .

2.3 Теорема о взаимности работ

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В каждом из этих состояний на систему действует некоторая статическая нагрузка (рис.23,а). Обозначим перемещения по направлениям сил F₁ и F₂ через , где индекс “i” показывает направление перемещения, а индекс “j” – вызвавшую его причину.

Рис. 23

Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F₁) на перемещениях первого состояния через А₁₁, а работу силы F₂ на вызванных ею перемещениях – А₂₂:

.

Используя (2.9), работы А₁₁ и А₂₂ можно выразить через внутренние силовые факторы:

(2.10)

Рассмотрим случай статического нагружения той же системы (рис.23,а) в такой последовательности. Сначала к системе прикладывается статически возрастающая сила F₁ (рис.23,б); когда процесс ее статического нарастания закончен, деформация системы и действующие в ней внутренние усилия становятся такими же, как и первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F₁ составит:

Затем на систему начинает действовать статически нарастающая сила F₂ (рис.23,б). В результате этого система получает дополнительные деформации и в ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, как и во втором состоянии (рис.23,а). В процессе нарастания силы F₂ от нуля до ее конечного значения сила F₁ , оставаясь неизменной, перемещается вниз на величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:

Сила F₂ при этом совершает работу:

Полная работа А при последовательном нагружении системы силами F₁, F₂ равна:

(2.11)

С другой стороны, в соответствии с (2.4) полную работу можно определить в виде:

(2.12)

Приравнивая друг к другу выражения (2.11) и (2.12), получим:

(2.13)

или

А₁₂=А₂₁ (2.14)

Равенство (2.14) носит название теоремы о взаимности работ, или теоремы Бетти: работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А₁₂ через изгибающие моменты, продольные и поперечные силы, возникающие в первом и втором состояниях:

(2.15)

Каждое подинтегральное выражение в правой части этого равенства можно рассматривать как произведение внутреннего усилия, возникающего в сечении стержня от сил первого состояния, на деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.

2.4 Теорема о взаимности перемещений

Пусть в первом состоянии к системе приложена сила , а во втором - (рис.24). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами ) символом . Тогда перемещение рассматриваемой системы по направлению единичной силы в первом состоянии (то есть вызванное силой ) - , а перемещение по направлению силы во втором состоянии - .

На основании теоремы о взаимности работ:

, но , поэтому , или в общем случае действия любых единичных сил:

(2.16)

Рис. 24

Полученное равенство (2.16) носит название теоремы о взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

2.5 Вычислений перемещений методом Мора

Излагаемый ниже метод является универсальным методом определения перемещений (как линейных так и угловых), возникающих в любой стержневой системе от произвольной нагрузки.

Рассмотрим два состояния системы. Пусть в первом из них (грузовое состояние) к балке приложена любая произвольная нагрузка, а во втором (единичное состояние) – сосредоточенная сила (рис.25).

Работа А₂₁ силы на перемещении , возникающем от сил первого состояния:

.

Рис.25

Используя (2.14) и (2.15), выразим А₂₁ (а, значит, и ) через внутренние силовые факторы:

(2.17)

Знак “+”, полученный при определении , означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, то обобщенная единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную в рассматриваемой точке; а если определяется угол поворота сечения, то обобщенная единичная сила – это безразмерный сосредоточенный единичный момент.

Иногда (2.17) записывается в виде:

(2.18)

где - перемещение по направлению силы , вызванное действием группы сил . Произведения, стоящие в знаменателе формулы (2.18), называются соответственно жесткостями при изгибе, растяжении (сжатии) и сдвиге; при постоянных по длине размерах сечения и одинаковом материале эти величины можно выносить за знак интеграла. Выражения (2.17) и (2.18) называются интегралами (или формулами) Мора.

Наиболее общий вид интеграл Мора имеет в том случае, когда в поперечных сечениях стержней системы возникают все шесть внутренних силовых факторов:

(2.19)

Алгоритм вычисления перемещения методом Мора состоит в следующем:

1. Определяют выражения внутренних усилий от заданной нагрузки как функций координаты Z произвольного сечения.

2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная сила (сосредоточенная сила – при вычислении линейного перемещения; сосредоточенный момент – при вычислении угла поворота).

3. Определяют выражения внутренних усилий от обобщенной единичной силы как функций координаты Z произвольного сечения.

4. Подставляют выражение внутренних усилий, найденные в п.п.1,3 в (2.18) или (2.19) и интегрированием по участкам в пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.

Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

В большинстве случаев плоской задачи используется только один член формулы (2.18). Так, если рассматриваются конструкции, работающие преимущественно на изгиб (балки, рамы, а частично и арки), то в формуле перемещений с соблюдением достаточной точности можно оставить только интеграл, зависящий от изгибающих моментов; при расчете конструкций, элементы которых работают, в основном, на центральное растяжение (сжатие), например, ферм, можно не учитывать деформации изгиба и сдвига, то есть в формуле перемещений останется только член, содержащий продольные силы.

Аналогично, в большинстве случаев пространственной задачи существенно упрощается формула Мора (2.19). Так, когда элементы системы работают преимущественно на изгиб и кручение (например, при расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней и пространственных рам) в (2.19) остаются только первые три члена; а при расчете пространственных ферм – только четвертый член.

Примеры расчетов

Пример 13. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.26,а), методом Мора.

Рассмотрим три состояния балки: первое (грузовое) – при действии заданной распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра моментов (рис.26,б). Второе состояние (единичное) – при действии сосредоточенной силы , приложенной в точке С; ему соответствует эпюра моментов