14 (Теория к экзамену)
Описание файла
Файл "14" внутри архива находится в следующих папках: Линал Теория по билетам, Линал Теория, Билет 14. Документ из архива "Теория к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "14"
Текст из документа "14"
Билет14
Определение 2.3. Линейное пространство E называют евклидовым пространством,
если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласно которому каждой паре векторов x, y G E поставлено в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:
а) (x, y) = (y, x);
б) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);
в) (Ax, y) = A (x, y), A G R;
г) (x, x) ^ 0, причем (x, x) = 0 лишь в случае, когда x = 0.
Пример 2.7. В линейном пространстве V3 было введено скалярное умножение согласно правилу
(x, y) = |x| • |y| cos(xy),
где хy — угол между векторами x и y, а |x|, |y| — их длины. Это умножение удовлетворяет приведенным аксиомам скалярного умножения и, следовательно, полностью согласуется с определением.
В линейном арифметическом пространстве Rn формула
(x, y) = x1y1 + ... + xnyn
вводит скалярное умножение, поскольку выполняются аксиомы скалярного умножения. Указанное скалярное умножение векторов из Rn иногда называют стандартным, а само Rn — евклидовым арифметическим пространством.
Теорема 2.3. Всякое скалярное умножение в евклидовом пространстве определяет норму согласно формуле
||x|| = (x, x)^(1/2)
(написать корень из (х,х))