22 (Теория к экзамену)
Описание файла
Файл "22" внутри архива находится в следующих папках: Линал Теория по билетам, Линал Теория, Билет 1. Документ из архива "Теория к экзамену", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "22"
Текст из документа "22"
Билет №22
Определение 2.5. Функцию, заданную на линейном пространстве L, которая каждому вектору x G L ставит в соответствие действительное число ||x||, называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы:
а) ||x|| ^ 0, причем равенство ||x|| = 0 возможно только при x = 0;
б) | Ax| = | A| | x| , A G R;
в) ||x + y|| ^ ||x|| + ||y|| (неравенство треугольника).
Теорема 2.2. Для любых векторов x, y евклидова пространства E справедливо неравенство Коши — Буняковского
2
(x, y) ^2 меньше или равно (x, x) (y, y). (2.3)
Ч При x = 0 обе части неравенства (2.3) равны нулю согласно свойству 2.3, значит, неравенство выполняется. Отбрасывая этот очевидный случай, будем считать, что x = 0. Для любого действительного числа A, в силу аксиомы г), выполняется неравенство
(Ax — y, Ax — y) больше или равно 0. (2.4)
Преобразуем левую часть неравенства, используя аксиомы и свойства скалярного умножения:
(Ax — y, Ax — y) = A (x, Ax — y) — (y, Ax — y) = A2 (x, x) — 2A (x, y) + (y, y).
Мы получили квадратный трехчлен относительно параметра A (коэффициент (x, x) при A2 согласно аксиоме г) ненулевой, так как x = 0), неотрицательный при всех действительных значениях параметра. Следовательно, его дискриминант равен нулю или отрицательный, т.е.
2
(x, y) — (x, x) (y, y) меньше или равно 0. ►
Неравенство треугольника
Теорема.
Каковы бы не были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.