86075 (Три задачи по теории чисел)

Три задачи по теории чисел

Задача 1

Утверждение 1

Пусть р₁, р₂ и р₃ являются ненулевыми рациональными числами, причем р₁ + р₂ = р_3. Тогда произведение р₁* р₂ * р₃ не является точным кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть р₁* р₂ * р₃ ≠ R³, где R – некоторое рациональное число (R ≠ 0).

Доказательство

Положим

и

Очевидно, что а (а≠0) и b - рациональные числа, так как рациональными являются числа р₁ и р₂ .

(Если а=0, т.е. р₁ = - р_{2, то} р₁ + р₂ = р₃ = 0, что противоречит нашему утверждению (р₃ 0).

Если b=0, т.е. р₁ = р_{2, то} р₃ = 2 р₁ р₁* р₂ * р₃ = р₁* р₁ * 2р₁ =2р , т.е. р₁* р₂ * р₃ = 2р ≠ R³ и противоречие с нашим утверждением отсутствует.)

Тогда имеем:

Теперь нетрудно выразить старые переменные через новые:

(1)

Таким образом, замена р₁ и р₂ на a и b является обратимой (число Р₃ в обоих случаях является зависимой переменной).

Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число является точным кубом (R³) некоторого рационального числа R (R ≠ 0) .

Обозначим (2), где r 0, т.к. при r = 0 либо р₁=0, либо р₂=0, либо р₃=0_.

где q 0 (пояснение ниже).

Числа r и q являются рациональными числами, если рациональны числа a и b. Далее имеем:

Пояснение

При q=0 , где r₀ 0 - рациональное число (т.к. r 0).

Из (2) следует , откуда R не является рациональным числом, что противоречит условию. Следовательно, q 0.

Отсюда число является кубом некоторого ненулевого рационального числа , обозначим это число через (3), где С 0 (С > 0).

Обозначим: , тогда:

(с учетом (2) и (3)) (4)

Так как r, q – рациональные числа, то и числа A, B, (CR) -также рациональны числа.

Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3^й степени, которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Примечание. А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р₁, р₂, р_3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.

Если В = r – q = 0, то r = q.

Отсюда, учитывая

имеем ) = 0

откуда следует не только из

r = q (что ожидаемо), но и r = 0 r = q = 0 R=0, что противоречит условию нашего «Утверждения», ч.т.д.

Для А = r + q = 0 рассуждения аналогичные.

Теперь сформулируем некоторое обобщение нашего Утверждения 1 на рациональные функции. Напомним, что рациональной функцией называется выражение вида , где p(x) и q(x) – некоторые многочлены. Заметим, что и многочлены и даже числа являются частным случаем рациональных функций при соответствующем выборе коэффициентов многочленов p(x) и q(x).

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причём для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть
либо , где R – рациональное число (R ≠ 0);
либо , где R(x) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформулировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z,…, причем для всех x, y, z,….

Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z,… не является кубом никакого (отличного от нуля) рационального числа, то есть либо:

где R - рациональное число (R ≠ 0);

либо

где R(x,y,z,…) – рациональная функция, которая при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… является рациональным числом.

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z,… мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа неразрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры:

1. - куб рациональной функции R(x) = 3x², которая при рациональном x является рациональным числом. Следовательно, уравнение неразрешимо в рациональных числах.

1. - куб рациональной функции R(x) = неразрешимо в рациональных числах.

1. - куб рационального числа 3, отсюда неразрешимо в рациональных числах

1. - куб рациональной функции R(x,y) = не разрешимо в рациональных числах

1. - куб рациональной функции R(x) = х³⁷ => уравнение не разрешимо в рациональных числах.

Следовательно, система уравнений неразрешима в ненулевых рациональных числах x, y, z , где R – рациональное число (R≠0).

Задача 2

Утверждение 1

Пусть р₁, р₂, р₃ и р₄ являются рациональными ненулевыми числами, причем (1). Тогда произведение не может равным ни , то есть не может выполняться соотношение

(2)

где = 1;2;3;4 и если - рациональное число.

Доказательство

Положим . Очевидно, x, y и z – это рациональные ненулевые числа, так как рациональными ненулевыми числами являются р₁, р₂, р₃ . Так как р₁, р₂, р₃ в (1) и (2) равноправны, то за в (2) мы можем принять любое из них, т.е. = 1;2;3. Пусть для определенности (3), тогда р₄ на основании (1) принимает вид:

(4)

Таким образом, замена р₁, р₂, р₃ на x, y и z является обратимой (число р₄ в обоих случаях является зависимой переменной).

Предположим теперь, что Утверждение 1 неверно, и число

Тогда имеем:

(5)

где x, y и z – ненулевые рациональные числа, а (5) равносильно

(6)

Действительно, можно из уравнения (6) получить (5):

, (6)

, ,

,

(5), что и требовалось доказать.

Обозначим . Тогда (6) примет вид: . Так как x, y и z - рациональные числа, то и числа A, B и C также рациональные числа. Но тогда они будут рациональными решениями уравнения Ферма 3-й степени , которое, как хорошо известно, неразрешимо в рациональных числах.

Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Примечание:

1). Легко понять, что суммой P₄ в (1) может быть являться любое из слагаемых (например: ), а произведение новых членов остается прежним, то есть

,

где i может принимать и значение 4, тогда в произведении

2). . А если А = 0, или В = 0? Ведь в этом случае могут, наверно, появиться и ненулевые рациональные числа р₁, р₂, р_3, R, удовлетворяющие условию нашего Утверждения! Покажем, что они не появятся.

Случаи, когда А=0, или В=0, противоречат нашему утверждению.

Действительно, если, например,

то из В = С

= x = 0 x = 0 х=0, что противоречит нашему утверждению.

Аналогичные рассуждения и для В=0.

Утверждение 2

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами, причем для всех x. Тогда функция ни в одной рациональной точке x не может быть равной ни , то есть не может выполняться соотношение .

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x мы получаем утверждение для рациональных чисел, которое сформировано в предыдущем Утверждении 1, что и требовалось доказать.

Утверждение 3.

Пусть являются рациональными функциями с рациональными коэффициентами от нескольких переменных x, y, z , …, причем для всех x, y, z, …. Тогда функция ни в одной из рациональных точек x, y, z, … не может быть равной ни

то есть не может выполняться соотношение

где i=1;2;3;4

Доказательство

Действительно, при каждом фиксированном рациональном x, y, z, … мы получаем утверждение для рациональных чисел, то есть Утверждение 1, что и требовалось доказать.

Где и как можно использовать вышеприведенные утверждения?

Для анализа разрешимости некоторых уравнений в рациональных числах практически по внешнему виду.

Примеры

1.

где x² – второе слагаемое, которое при рациональном x является рациональным числом => уравнение не разрешимо в рациональных числах.

2.

где x – второе слагаемое, которое при рациональном x – рациональное число. не разрешимо в рациональных числах.

3.

где y – третье слагаемое, которое при рациональном y – рациональное число не разрешимо в рациональных числах.

Следствие

Система уравнений

неразрешима в рациональных числах, где - переменные (не равные 0).

Задача 3

Утверждение (n=3) Уравнение

a³ = b² + cd² (1)

где с = const, имеет следующее решение:

a = α² + cβ² b = α³ - 3cαβ² d = 3α²β - cβ³

где α и β - произвольные числа.

Доказательство

Рассмотрим тождество