85594 (Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма), страница 9

b² = B

= К

«Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c² = ± ( ) = ± С

(13±) b² = ± ( ) = ± В

(14´±) = = ±К

(15´±) = ± N.

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) = ±N= ±( ) только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для проведено при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где ≥ 3 – нечетное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

2. 1-я часть «Утверждения3» (для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

Часть вторая (Утверждения3)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

Доказательство

Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2 «Утверждения 2»).

Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.

Итак, осталось рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.

Случай 1.

(12)

(13′)

(14)

(15) , которые также являются решениями уравнения

(11) .

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

=> .

Выразим из (17) и (16) :

=>

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (4) c² + b² = 2 β, то => .

Из (15) с учетом (20) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,

выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

, т.к. из (20) получается

(20′).

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.

Этот случай нас не интересует.

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

(28), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), => c = (30´), (29´)

(28´), => b = 1 (28´), (24´), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Случай 3.

(12)

(13′)

(14)

(15′) , которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

- => .

Выразим из (31) и (16) :

=> (32)

=> (33)

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c² + b² = 2 β, то и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

, т.е. (24´).

Т.о. , , где , т.е.

,

,

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

,т.к. из (20) получается

.

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25´)):

, т.е. (30´´).

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´), ,

(28), (24´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

(30´´´), => (30´´´), (29´´´), (28´), => b = (28´), (24), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с² = С 6. с² = - С 7. c² = C 8. c² = -C

b² = - B b² = B b² = - B b² = B

= - N = N = - N = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),

(14´),

(15) , которые также являются решениями уравнения

(11).

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):

(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

(32) => b (32), (24)

(31) => с = (31), (29´) ,

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

(31´), (29),

(32´), (24´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

*******

Случай 7.

(12),

(13´),

(14´),

(15´), которые также являются решениями уравнения

(11).

Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие решения уравнения (15):

(40), (38´´´),

(41´´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:

(31) => с = (31), (29´´´) ,

(32´´) => b (32´´), (24´), где -

взаимно простые целые нечетные числа.

*********

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.

(31´), (29´´),

, (24),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.

Таким образом, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:

а) ; b ; ; ;

б) ; ; ; .