85594 (Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма), страница 4

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

***********

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.

**********

Условие 2 (продолжение).

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b= -В, n= N, K)

с = - В (16-B),

b= С (17+C),

n= N (18),

K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.

(40´), (38´´),

, (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=>

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:

,

т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (34), получим => .

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.

«Общие свойства для с и b »:

сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:

с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.

Отсюда получаем квадратное уравнение

- 2К + С В = 0 => X_1,2 = К ,

где, например, Х₁ = -b, а Х₂ = с, то есть

Х₁ = -b = К + = + = + = + = -В => b = В,

где на основании и Х₁ = - b= -

Х₂= с = К- = - = - = - = -С => с = - С,

где на основании (40´) и Х₂ = Таким образом, мы получили случай 8:

Случай 8

с = - С (16´),

b= В (17),

n= N (18),

K (19),

где

, а - взаимно простые нечетные целые числа.

Теперь обозначим Х₁ = с, а Х₂ = - b. Тогда получим:

Х₁ = с = К+ = + = + = + = -В => с = -В,

где на основании (40´) и Х_{1 =} с = -1.

Х₂ = - b = К- = - = - = - = -С => - b= -С => b = С,

где на основании и Х₂ = -

Таким образом, мы получили случай 15:

Случай 15

с = -В (16-B),

b= С (17+C),

n= N (18),

K (19),

где

, а - взаимно простые нечетные целые числа.

Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К + С В = 0, дает одинаковые решения X_1,2 = К (X₁₍₂₎ =- Х₂₍₁) = -1) и для Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:

, а - взаимно простые нечетные целые числа.

В этом мы непосредственно и убедились.

Следовательно, «Общие свойства для с и b » (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b » мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.

*********

Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).

Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b » ( сb = const´ , с – b = const´´, с – b = const´´´ ), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.

*********

«Новый» случай 16

(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)

Случай 16. Случай 7.

с = В с = С

b= -С b= -В

n = -N n = -N

-K -K

Окончательные решения в случае 7:

(40), (38´´´),

(41´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40), (38´´´),

(41´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.

********

«Новый» случай 17

(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)

Случай 17. Случай 6.

с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19´), -K (19´).

Окончательные решения в случае 6:

(40´), (38),

(41´), (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40´), (38),

(41´), (33´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*********

«Новый» случай 18

(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)

Случай 18. Случай 5.

с = В (16+B), с = С (16),

b=- С (17-C), b= -В (17´),

n=- N (18´), n= -N (18´),

K (19), K (19).

Окончательные решения в случае 5:

(40), (38´),

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.

********

«Новый» случай 19

(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)

Случай 19. Случай 4.

с = - В (16-B), с = - С (16´),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18´), n= -N (18´),

K (19), K (19)

Окончательные решения в случае 4:

(39´´´), (38´´´),

(37´), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= -С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39´´´), (38´´´),

(37´), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

********

«Новый» случай 20

(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)

Случай 20. Случай 3.

с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b= -В (17´),

n= N (18), n= N (18),

-K (19´), -K (19´).

Окончательные решения в случае 3:

(39´´), (38´´),

, (33´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b » (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39´´), (38´´), где - взаимно простые нечетные

, (33´), целые числа.

********

«Новый» случай 21

(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)

Случай 21. Случай 2.

с = -В (16-B), с = - С (16´),