Так как сопротивление индуктивного элемента увеличивает­ся с переходом к высшим гармоникам, то амплитуда каждой гармоники тока будет уменьшаться обратно пропорционально порядку гармоники, и высшие гармоники тока будут проявлять­ся в меньшей степени в общей кривой тока. Таким образом, кривая тока меньше отличается от синусоиды, чем кривая на­пряжения. Аналогично в цепи с емкостным элементом амплитуды токов ос­новной и высших гармоник определяются как:

;

Так как сопротивление емкостного элемента уменьшается с переходом к высшим гармоникам, то амплитуды гармоник тока будут увеличиваться пропорционально порядку гармони­ки, форма кривой тока будет искажаться еще больше в сравне­нии с кривой напряжения.

Поскольку с ростом частоты сопротивление индуктивного элемента увеличивается, а емкостного уменьшается, в электри­ческой цепи рис.4.6,а может возникнуть резонанс напряжений либо для первой, либо для одной из высших гармоник. Усло­вие возникновения резонанса напряжений для некоторой k-гармоники

kωL = 1/kωC

При этом амплитуда тока резонансной гармоники может значительно превысить амплитуды тока всех остальных гармо­ник (см. пример 4.3), а на участках электрической цепи как с ин­дуктивным, так и с емкостным элементом могут возникнуть перенапряжения.

В электрических цепях несинусоидального тока при параллельном соединении катушки и конденсатора воз­можно возникновение резонанса тока либо для первой, либо для одной из высших гармоник с присущими данному резонан­су явлениями.

Глава 5.

Переходные процессы в линейных цепях.

5.1 Введение.

В электрических цепях могут происходить включения и выключения пассивных и активных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, различного рода переключения, внезапное изменение параметров и т.д. Такие изменения, называемые коммутационными изменениями, являются причиной перехода цепи из одного установившегося состояния к другому. Если к источнику подключаться цепь, ни один участок которой не обладает сколько-нибудь заметной индуктивностью или емкостью, в цепи практически мгновенно устанавливаться тот режим, который был изучен в главе 2. Но если хоть один участок цепи обладает индуктивностью или емкостью, токи и напряжения во всех участках цепи достигают своих новых, установившихся, значений постепенно. Процесс перехода цепи из одного установившегося режима к другому, называется переходным процессом, а сопутствующие ему токи и напряжения на отдельных участках цепи - переходными напряжениями и токами. Причина этого явления заключается в том, что возникновение электрического поля в емкости и магнитного поля в индуктивности связано с накоплением в этих полях определенных количеств энергии, а это накопление не может происходить мгновенно. Так, накопление в электрическом поле конденсатора запаса энергии СU²/2 требует сообщения ему заряда q=CU. Если конденсатор должен получить этот заряд в момент коммутации мгновенно, то ток в цепи i=CdU/dt¦t=0 должен быть бесконечно велик и в цепи, всегда имеющей конечное сопротивление, не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа. При накоплении запаса энергии LI²/2 в магнитном поле индуктивного участка цепи ток должен измениться от 0 до I. Если допустить, что в такой цепи в момент коммутации изменение тока происходит мгновенно, то напряжение на индуктивности Ldi/dt¦t=0 будет равно бесконечности и в цепи не будет соблюдаться второй закон Кирхгофа. Вышеуказанное позволяет сформулировать основные законы коммутации:

1. В любой ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел до коммутации, и дальше начнет изменяться именно с этого значения

(5.1)

1. В любой ветви напряжение на емкости сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело до коммутации, и дальше начнет изменяться именно с этого значения

(5.2)

Здесь uC(0-) и iL(0-) - напряжение на емкости и ток на в индуктивности в момент времени непосредственно перед коммутацией, uC(0+) и iL(0+) - соответственно в момент времен непосредственно следующий за коммутацией.

Основой при расчете переходных процессов служат дифференциальные уравнения, составленные для конкретной электрической цепи в соответствии с законами Кирхгофа. Важно сразу отметить, что для линейных цепей с сосредоточенными параметрами, все уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Примем, что коммутирующие устройства - ключи - являются идеальными.

Решение линейных дифференциальных уравнений при заданных с исчерпывающей полнотой начальных условиях часто удобно представлять в виде суммы двух функций (принцип суперпозиций)

(5.3)

из которых первая функция f₁(t) представляет собой частное решение заданного дифференциального уравнения, а вторая f₂(t) - общее, удовлетворяет однородному уравнению (правая часть равна нулю). Частное решение выражает принужденный режим, задаваемый источником. Если источник есть постоянная величина или периодическая функция времени, тогда такой режим будет одновременно и установившемся. Общее решение выражает поведение цепи при отсутствии внешних источников. Функции, определяющие общее решение, называют свободными составляющими. Все сказанное можно с учетом (5.3) отразить в общепринятой форме запаси, например, для переходного тока i=i_Cв+i_Пр напряжения u=u_Св+u_Пр и сразу подчеркнуть, что законом коммутации должно удовлетворять только полное решение.

Переходные процессы будем исследовать классическим методом, который заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения цепи. В результате интегрирования появляться постоянные, которые определяются из начальных условий. Начальными условиями называют значения действующих токов в индуктивностях и напряжений на емкостях, т.е. те величины, которые в момент коммутации (t=0) не изменяются скачком.

Начнем изучение переходных процессов с расчета простейших цепей, содержащих резисторы и только один реактивный элемент, т.е. индуктивность или емкость.

5.2 Включение цепи r, L к источнику постоянного напряжения.

Рис 5.1

Рассмотрим включение источника постоянного напряжения u(t)=U в цепь последовательно соединенных r, L элементов (рис 5.1). Для послекоммутационного периода (t>0 и t=0), применив закон Кирхгофа, получим:

(5.4)

а затем составим дифференциальные уравнения рассматриваемой цепи

(5.5)

полагая uL=L(di/dt)

Решение этого уравнения, согласно (5.3) можно считать известным

(5.6)

Первое слагаемое i_Пр есть частное решение уравнения (5.6) и выражает принужденное (установившееся) значение равное U/r. Второе слагаемое i_Св=Aept представляет собой решение однородного уравнения, т.е. уравнения (5.5) при равенстве нулю правой части. Здесь p и A - соответственно корень характеристического уравнения и постоянная интегрирования. Для рассматриваемой цепи p= -r/L, а постоянная А определяется по начальному току в индуктивности i(0+). Так как ток в индуктивности до момента коммутации отсутствовал (нулевые начальные условия), то при t=0 для полного решения (5.6) имеет место

(5.7)

Именно здесь проявилось действие закон коммутации (5.1), распространено на полное решение. Окончательно из (5.6) находим, что

,

где - постоянная времени (5.8)

Переходное напряжение на индуктивности можно найти из формулы

Графики переходного тока и напряжения построенные по формулам (5.8) и (5.9) приведены на рис 5.2.

Чтобы оценить влияние параметров цепи на переходные процесс, свободную составляющую тока i_Св для различных моментов времени, выраженных через t.

Тогда

,

и.т.д.

Следовательно постоянная времени t равна промежутку времени в течении которого свободная составляющая тока убывает в е раз. Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается спустя t=(4..5)t.

5.3. Короткое замыкание цепи с резистором и индуктивностью.

Рассмотрим теперь цепь, питаемую от источника постоянного тока (рис 5.3), в которой после коммутации (замыкания ключа) индуктивность с током [i(0-)№0] оказывается замкнутой на резистор r2.

Рис 5.3

В образовавшемся при этом контуре благодаря энергии, запасенной в магнитном поле индуктивности, ток исчезает мгновенно: ЭДС самоиндукции, обусловленная убыванием магнитного потока, стремиться поддержать ток в контуре за счет энергии исчезающего магнитного поля. Принужденный ток в данном случае равен нулю, переходной ток в контуре являться свободным, постепенно приближающимся к нулю. Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению:

,

общее решение которого

, (5.10)

A - постоянная интегрирования, вычисляемая из начальных условий:

(5.11)

где i_Пр(0-) - ток индуктивности в момент, непосредственно предшествующей короткому замыканию. При t=0 из (5.10) имеем:

, т.е. (5.12)

На рис 5.2 изображены графики спада тока и напряжения на индуктивности

(5.13)

С

энергетической точки зрения процесс короткого замыкания цепи r, L характеризуется тем, что вся запасенная в индуктивности до коммутации энергия ее магнитного поля

в течении переходного процесса выделяется в резисторе r в виде тепла.

5.4 Включение цепи r, L к источнику гармонического напряжения.

Пусть источник с напряжением

(5.14)

включается в цепь с последовательным соединением резистора r и индуктивности L (рис 5.1).

Рис 5.1 (5.15)

Для решения дифференциального уравнения цепи для послекоммутационного периода (t=0 и t>0) следуя общему методу, находим сначала частное решение, хорошо известное из теории синусоидальных токов

(5.16)

Затем записываем уже известное решение однородного дифференциального уравнения цепи r, L содержащее постоянную интегрирования