Электротехника Лекции, страница 10

напряжение треугольной формы (см. рис 4.2,а)

напряжение прямоугольной формы (см. рис. 4.2,б)

В практических расчетах цепей с несинусоидальными ЭДС, токами и напряжениями их мгновенные значения приближенно отображают конечным рядом Фурье (3—7 членов ряда). Число членов ряда определяется необходимой точностью расчета.

Характеристика несинусоидальных величин, представленных рядом Фурье, может быть осуществлена графически с по­мощью диаграмм амплитудно-частотного (рис. 4.3), фазо-частотного (рис. 4.2) спектров.

Данные диаграммы характеризуют форму несинусоидальных кривых, причем первая диаграмма показывает спектральный состав по амплитудам, т. е. представ­ляет зависимость амплитуд гармоник в относительных еди­ницах от частоты, вторая диаграмма выражает зависимость начальных фаз гармоник от частоты.

Периодические несинусоидальные ЭДС, напряжения и токи могут быть представлены так же эквивалентными синусоидами (см. параграф 4.5.)

4.3 Основные соотношения для несинусоидальных величин.

4.3.1. Максимальные значения несинусоидальных величин.

Под максимальными значениями несинусоидальных ЭДС, то­ков или напряжений подразумевается их наибольшее мгновен­ное значение (см. рис.4.1, 4.2).

4.3.2 Действующие значения несинусоидальных величин.

Под действующими значениями несинусоидальных ЭДС, токов и напряжений, как и для синусоидального тока, понимается их среднеквадратичное значение за период. Так, действующее зна­чение несинусоидального тока:

(4.1)

где

После интегрирования получаем:

где I₁, I₂, I_k — действующие значения токов первой, второй, k-й гармоник, т.е.

; ;

Следовательно, действующее значение несинусоидального тока практически определяется как корень квадратный из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех последующих гармоник. Аналогично действую­щие значения ЭДС и напряжений

.

Действующие значения несинусоидальных напряжений и то­ков измеряются приборами электродинамической, электромаг­нитной и электростатической систем.

Пример 4.1. Определить действующее значение несинусоидального напряжения Решение.

4.3.3. Средние значения несинусоидальных величин.

Существуют следующие понятия средних значений несинусоидальных токов, ЭДС и напряжений.

Среднее значение несинусоидального тока за период, которое рав­но его постоянной составляющей:

Среднее значение по модулю несинусоидального тока за период:

Таким же образом может быть осуществлена запись средних зна­чений несинусоидальных ЭДС, напряжений.

Средние значения несинусоидальных напряжений и токов изме­ряются магнитоэлектрическими приборами без выпрямителя, средние значения по модулю — магнитоэлектрическими приборами, с выпрями­телем.

4.3.4 Коэффициенты, характеризующие несинусоидальные вели­чины.

Формы периодических несинусоидальных кривых могут характе­ризовать следующие коэффициенты (в скобках приведены значения коэффициентов для синусоидальных токов).

1. Коэффициент амплитуды

2. Коэффициент формы

3. Коэффициент гармоник

4. Коэффициент среднего значения

5. Коэффициент искажения

6. Коэффициент пульсации

Коэффициенты К_а и К_ф характеризуют форму периодических кривых, т. е. их отличие от синусоиды, и используются в силовой элек­тротехнике, радиотехнике и т. д. Коэффициенты К_г и К_и являются пока­зателями качества электрической энергии энергосистем. В энергетиче­ской электронике при оценке результатов преобразования переменного синусоидального тока в постоянный используются коэффициенты К_ср и К_п .

4.4. Понятие о расчете активной и полной мощности линейных электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах.

Для электрических цепей при несинусоидальных напряжениях и токах мгновенная мощность определяется как: p(t)=u(t)^.i(t). Активная мощность, как и для синусоидального то­ка, есть среднее значение мгновенной мощности за период:

После подстановки значений u(t) и i(t), имеющих одина­ковый гармонический состав, получим:

Следовательно, активная мощность при несинусоидальных на­пряжениях и токах равна сумме активной мощности по­стоянных составляющих и активных мощностей всех гармони­ческих составляющих тока и напряжения. Полная мощность:

S=UI

где U и I — действующие значения несинусоидальных напряже­ния и тока.

Пример 4.2. Определить активную и полную мощности линейной электрической цепи при несинусоидальных напряжении u(t) и токе i(t) :

Решение: Активная мощность

P = U₀I₀ + U₁I₁coṣφ₁ + U₃I₃cosφ₃ = 30*10 + 25,9/√2*3/√2*cos[-11˚40 ́-(-40˚)] ++ 6/√2*0,9√2/√2*cos(53˚50 ́ – 125˚) ≈ 336 Вт

Полная мощность:

S = UI

Действующие значения напряжения и тока

;

Следовательно, S = 35,3 • 10,3 = 363,6 В • А.

4.5 Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.

Известно, что к линейным электрическим цепям применим метод наложения. В соответствии с этим запись периодическо­го несинусоидального напряжения источника энергии рядом Фурье дает возможность представить его несколькими после­довательно соединенными и одновременно действующими ис­точниками ЭДС или напряжений и осуществлять анализ элек­трического состояний цепей на основе метода наложения.

Например, рассмотрим электрическую цепь (рис. 4.5 а), в кото­рой к источнику с несинусоидальной ЭДС подключены последовательно резистивный, индуктивный и ем­костной элементы.

С учетом вышесказанного, в рассматриваемой электриче­ской цепи ЭДС e(t) может быть представлена тремя ЭДС (рис. 4.5.б).

Графики E_o(t), а также e₁(t) и e₂(t) изображены на рис. 4.6. В соответствии с методом наложения данная электри­ческая цепь рассчитывается как цепь, в которой действуют три независимые ЭДС. При этом определение тока и напряжений от ЭДС Е_о осуществляется, как при расчете цепей постоянного тока, а от ЭДС e₁(t) и e₂(t) — как при расчете цепей синусоидально­го тока.

П

ри расчете цепи от ЭДС e₂(t) и ЭДС более высших гар­моник необходимо производить пересчет значений X_l и X_c, так как они зависят от частоты

X_Lk= kωL; X_Ck= 1/kωC

В анализируемой электрической цепи постоянная соста­вляющая ЭДС не вызывает установившегося тока, так как сопротивление емкостного элемента при постоянном токе рав­но бесконечности.

Определяем ток и напряжение в электрической цепи с ЭДС e₁(t) и e₂(t).

Для первой гармоники

,

где ;

В общем случае , тогда ,

а для первой гармоники ;

Для второй гармоники ;

Где ;

;

;

Напряжение U_r, резистивного элемента совпадает по фазе с током цепи и в общем случае:

, а так как , то т.е. ,

где

Аналогично могут быть определены значения u_L и u_C :

;

.

Определение гармонических составляющих токов i₁ и i₂, а также напряжений U_r, U_L и U_C можно также осуществить с ис­пользованием комплексных чисел.

Пример 4.3. Несинусоидальная ЭДС - е(t) линейной электрической цепи рис. 4.6.а, изменяется по закону е(t)= 200 + 180sin(ωt - 30˚) + 120sin3ωt. Параметры цепи: r = 6 Ом, X_L=ωL= 2 Ом, X_С= 1/ωC=18 Ом. Определить мгновенное, действующее значение тока в цепи и действующее значение напряжения на участке цепи ab.

Решение. По отношению к постоянной составляющей ЭДС Е₀ = 200В сопротивление конденсатора равно бесконечности, т.е. X_C= 1/ωC = 1/ 0∙C= ∞. Следовательно, постоянная составляющая тока I_a= 0,

Расчет первой гармоники:

полное сопротивление цепи

угол сдвига фаз между ЭДС e₁ и током

20΄

так как , то

20΄

амплитуда и действующее значение первой гармоники тока

мгновенное значение тока

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет третьей гармоники:

полное сопротивление цепи

т. е. для данной гармоники наблюдается резонанс напряжений, а, сле­довательно, угол сдвига фаз между ЭДС е₃ и током:

амплитуда и действующее значение тока

мгновенное значение тока

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет общего тока:

мгновенное значение тока в цепи

действующие значения тока в цепи и напряжения на участке аb

В ряде случаев при проведении практических расчетов пе­риодические несинусоидальные ЭДС и напряжения представляют эквивалентными синусоидами. Подобная замена осуществляется так, чтобы действующее значение экви­валентной синусоиды ЭДС или напряжения равнялось действующему значению несинусоидальной величины.

4.6. Влияние резистивного, индуктивного и емкостного элементов цепи на форму кривой тока. Резонансные явления.

При резистивной нагрузке токи всех гармоник совпадают по фазе с соответствующими гармониками напряжений и форма кривой несинусоидального тока аналогична форме кривой напряжения u(t).

В цепи с индуктивным элементом амплитуда тока основной гармоники определяется как , а амплитуды токов всех после­дующих гармонических составляющих .