183742 (Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления)
Описание файла
Документ из архива "Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "экономико-математическое моделирование" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "экономико-математическое моделирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "183742"
Текст из документа "183742"
СОДЕРЖАНИЕ
1. Анализ объекта управления
1.1 Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
1.2.1 Матрица Фробениуса
1.2.2 Метод параллельной декомпозиции
2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом
3. Оптимальная l – проблема моментов
3.1 Оптимальная l – проблема моментов в пространстве «вход-выход»
3.2 Оптимальная l – проблема моментов в пространстве состояний
4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий – минимизация энергии)
5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (акор)
5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени
5.1.1 Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации
5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния
5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени
5.3 Задача акор – стабилизации для компенсации известного возмущающего воздействия.
5.4 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. i подход
5.5 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. ii подход (линейный сервомеханизм)
5.6 Задача акор – слежения со скользящими интервалами.
6. Синтез наблюдателя полного порядка
Литература
Приложение
PlotTimeFrHaract.m
ProstranstvoSostoyanii.m
SimplexMetod2.m
Optimal_L_problem_moments.m
Gramian_Uprav.m
AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m
AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m
Sravnenie_stabilizacii.m
AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m
AKOR_slegenie_na_konech_interval_I_podxod.m
AKOR_slegenie_na_konech_interval_II_podxod.m
AKOR_slegenie_so_skolz_intervalami_Modern.m
Sintez_nablyud_polnogo_poryadka.m
Solve_Riccati_Method_Diag.m
Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m
Vozmyshyayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers.m
Zadayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers_Modern.m
-
Анализ объекта управления
-
Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
Передаточная функция данного объекта имеет вид:
,
где:
, ;
, , , , , .
или
.
Нули передаточной функции:
Полюса передаточной функции (полученные стандартными функциями среды Matlab 7.4):
Рис.1. График расположения нулей и полюсов передаточной функции объекта на комплексной плоскости.
Найдем временные характеристики объекта управления.
К временным характеристикам относятся и .
– переходная характеристика;
– импульсная переходная функция;
Для нахождения и воспользуемся пакетом Matlab 7.4.
,
Аналитическое выражение для :
В этом случае имеет вид
Рис.2. График переходной характеристики .
Рис.3. График переходной характеристики на интервале (увеличенное).
,
Аналитическое выражение для :
.
В этом случае имеет вид
Рис.4. График импульсной переходной характеристики .
Рис.5. График импульсной переходной характеристики на интервале (увеличенное).
Найдем частотные характеристики объекта управления.
К частотным характеристикам относятся:
амплитудно – частотная характеристика (АЧХ),
фазо – частотная характеристика (ФЧХ),
амплитудно – фазовая частотная характеристика (АФЧХ),
Аналитическое выражение для АЧХ:
.
В этом случае АЧХ имеет вид
Рис.6. График АЧХ
Рис.7. График АЧХ на интервале (увеличенное). Аналитическое выражение для ФЧХ:
В этом случае ФЧХ имеет вид
Рис.8. График ФЧХ .
Рис.9. График ФЧХ на интервале (увеличенное).
Рис.10. График АФЧХ.
Рис.11. График АФЧХ (увеличенное).
Аналитическое выражение для ЛАЧХ:
.
В этом случае ЛАЧХ имеет вид
Рис.12. График ЛАЧХ.
Аналитическое выражение для ЛФЧХ:
В этом случае ЛФЧХ имеет вид
Рис.13. График ЛФЧХ.
1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
Передаточная функция данного объекта имеет вид:
,
где:
, ;
, , , , , .
или
Описание системы в пространстве состояний имеет следующий вид:
Переходя в область изображений описание системы в пространстве состояний будет иметь следующий вид:
1.2.1 Матрица Фробениуса
Получим выражения, которые определяют вектор состояний и выход заданного объекта в общем виде:
.
.
Тогда получим:
(1)
(2)
Числитель передаточной функции имеет вид: .
Знаменатель передаточной функции:
.
Тогда согласно равенству (1) и (2) имеем
,
.
Перейдем из области изображений в область оригиналов
,
и затем перейдем к нормальной форме Коши
.
Запишем матрицы состояний
, ,
Численное значение матриц состояний:
, ,
1.2.2 Метод параллельной декомпозиции
Запишем передаточную функцию объекта в другом виде, а именно:
или
.
Согласно формуле получим
Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности согласно принципу параллельной декомпозиции.
-
,
.
-
,
.
-
,
,
,
-
,
Получим выход системы:
Запишем матрицы состояний
, ,
Вычисление коэффициентов разложения дробной рациональной функции на сумму элементарных дробей и проверка правильности получения матриц состояния сделано с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт ProstranstvoSostoyanii.m)
Получены следующие результаты:Матрица СЛАУ:
, ,
,
Численное значение матриц состояний:
, ,
.
2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом
Дана система:
(3)
1. Проверим управляемость данной системы.
Запишем систему ДУ в матричном виде:
,
где .
Данная система является стационарной, её порядок , поэтому матрица управляемости имеет вид:
Найдем матрицу управляемости:
Ранг матрицы управляемости равен порядку системы, следовательно, данная система является управляемой.
следовательно .
Собственные числа матрицы найдем из уравнения :
Действительные части собственных значений матрицы являются неположительными, следовательно, все условия управляемости выполнены.
2. Ссылаясь на решение задачи быстродействия из ДЗ№2 по СУЛА «Решение задачи быстродействия» имеем:
Запишем зависимости , , полученные при решении систем дифференциальных уравнений:
:
:
:
:
Перейдем к дискретной модели заданной системы. Имеем
(4)
где шаг дискретизации и соответствующие матрицы
(5)
Пусть управление ограничено интервальным ограничением
(6)
Тогда на шаге имеем
(7)
Известны начальная и конечная точки
где – оптимальное число шагов в задаче быстродействия.
Решается задача быстродействия
а) Формирование задачи быстродействия как задачи линейного программирования
Конечная точка в дискретной модели представлена в виде
(8)
Получаем – равенств
(9)
Для приведения ограничений (9) к канонической форме сделаем необходимое преобразование в правой и левой частях, чтобы правые части были неотрицательными (если правая часть меньше нуля, то домножаем на (-1) левую и правую части). Отметим проведенные изменения точкой в правом верхнем углу соответствующих векторов
. (10)
Для того чтобы получить необходимый допустимый базис для задачи линейного программирования, добавим формально остаточные искусственные переменные ( ). Таким образом, уравнения (10) представляются в виде
(11)
Так как текущее управление – управление имеет любой знак, то сделаем необходимую замену
Тогда уравнения (11) примут вид
(12)
Введем остаточные переменные в ограничения на управление
(13)
При объединении выражений (12) и (13) получаем ограничений.
Начальный допустимый базис состоит из остаточных и остаточных искусственных переменных
Формируем целевую функцию (по второму методу выбора начального допустимого базиса)
(14)
б) Решение задачи быстродействия
Предположим, что , где – оптимальное число шагов. Так как значение нам неизвестно (но известно точно), выбираем некоторое начальное и решаем задачу линейного программирования (12)-(14).
При этом
Общее число столбцов в симплекс-таблице:
Число базисных переменных:
Сформируем строку. Имеем
Выразим из уравнения (12) начальные базисные переменные
и подставим в целевую функцию. Получим – строку
(15)
Решаем задачу (12) – (14) симплекс-методом.
В случае,
если , – малое число
иначе
1) если увеличить и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования;
2) если (не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить , вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования.
Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m):
Рис. 14. График фазовой координаты .
Рис. 15. График фазовой координаты .