УТС6.5 (Лекционный курс)

6.5. Частотный критерий Найквиста.

Для определения устойчивости САР с использованием критериев Гурвица и Михайлова необходимо иметь (знать) аналитическое выражение соответствующего характеристического полинома ( - для замкнутой САР; - для разомкнутой САР), что далеко не всегда известно.

Если, например, передаточная функция САР неизвестна, - она может быть определена экспериментально на основании измерения амплитудных фазочастотных характеристик, т.е. сначала экспериментально, например, определяются и , а затем «подбирается» соответствующее выражение для (или для ), обеспечивающее точно такие же амплитудные и фазовые характеристики  схема эксперимента 

САР

Определение b_m, a_n в выражении

Расчет

  

где b_m – коэффициент полинома N(s);

a_n - коэффициенты полинома D(S) (или L(s) для разомкнутой САР).

Вышеописанный способ нахождения выражения для D(S) (или для W(s)) называется идентификацией, т.е. по каким-то отдельным характеристикам САР (например, «восстанавливается» (определяется) аналитическое выражение линейной передаточной функции в виде с помощью которого можно определить и другие характеристики САР – например, переходной процесс (переходную и весовую функций).

С другой стороны можно не определяя аналитического выражения , а используя частотные свойства разомкнутой САР сделать вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой САР, поскольку как было показано выше, частотные свойства замкнутой САР полностью определяются частотными свойствами разомкнутой САР, т.е. зная можно легко рассчитать .

«Идеальным инструментом» для реализации вышеописанного алгоритма является частотный критерий Найквиста, который позволяет по известным частотным свойствам разомкнутой САР сделать вывод об устойчивости замкнутой САР.

Необходимо дополнить, что если аналитическое выражение известно, то критерий Найквиста применим «напрямую», т.е. без предварительного расчета на основании результатов экспериментов  поясним

W(s)

Известна неизвестна

эксперимент

построение годографа расчет

построение построение

Важной особенностью частотного критерия Найквиста является возможность определить не только состояние замкнутой САР (устойчива или неустойчива), но определить и запасы устойчивости, т.е. определить «как далеко» САР находится от границы устойчивости.

Рассмотрение критерия Найквиста выполним для различных состояний разомкнутой САР, а именно:

• разомкнутая САР устойчива;

• разомкнутая САР неустойчива;

• разомкнутая САР находится на апериодической границе;

• разомкнутая САР находится на колебательной границе;

6.5.1. Критерий Найквиста для замкнутых САР, устойчивых в разомкнутом состоянии.

Рассмотрим замкнутую САР, структурная схема которой имеет следующий вид:

W(s)

x(t) y(t)

Причем разомкнутая САР – устойчива  т.е. все полюса расположены в левой полуплоскости.

Требуется определить условия устойчивости замкнутой САР, используя частотные свойства разомкнутой САР.  пусть , где полиномы N(s) и L(s) имеют свободные члены =1.

Введем новую вспомогательную функцию 

(6.5.1)

где D(s) - характеристический полином замкнутой САР;

L(s) - характеристический полином разомкнутой САР.

Подставляя вместо «s» в выражение «i » 

() (6.5.2)

• т.е. годограф «смещен» на комплексной плоскости относительно годографа вправо на 1.

Поскольку разомкнутая система устойчива, то согласно критерия Михайлова (см. подраздел 6.4.) следует ,что изменение аргумента при изменении  от 0 до  равно . 

(6.5.3)

где n – порядок полинома L(s), т.е. порядок системы управления .

С другой стороны, если замкнутая САР – устойчива, то должно выполняться условие:

(6.5.4)

т.к. порядок D(s) равен порядку многочлена L(s).

Учитывая это, получаем, что для изменения аргумента должно выполняться:



(6.5.5)

Выражение (6.5.5) показывает, что если замкнутая САР устойчива (т.е. ), то годограф не должен «охватывать» начало координат. 

IIm iIm



=0   = 0

1 (k+1) Re или 1 k+1 Re

рис.6.5 а рис.6.5 б

Учитывая выражение (), т.е.  получаем, что годограф получается смещением графика влево на 1, или смещением оси ординаты вправо на 1 

iIm iIm

  Re   Re

k=1

рис.6.5 в 6.5 г

Следовательно, годограф не должен охватывать точку (-1;0i).

Определение: Если разомкнутая САР устойчива, то для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой САР не охватывала точку (-1;0i).

Необходимо отметить, что для разомкнутой САР, имеющей годограф , похожий на рис. 6.5.в, устойчивость системы (замкнутой) нарушится только с увеличением общего коэффициента усиления К.

Для САР, имеющих годограф , похожий на рис.6.5.г, устойчивость САР нарушится как при увеличении К, так и при уменьшении общего коэффициента усиления К.

Соответствующие годографы принимают вид:

Примеры годографов ,при которых замкнутая САР – неустойчивы.

Критерий Найквиста может быть представлен и в другом виде. А именно, с использованием логарифмических амплитудных и фазовых характеристик разомкнутой САР  Так как АФЧХ разомкнутой САР не должна охватывать точку (-1;0i)  это означает, что:

(6.5.6)

Тогда в зависимости от вида годографа соответствующие графики и (в случае устойчивости замкнутой САР) должны иметь вид:

В этом случае необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САР является требование  чтобы частота среза  _ср (т.е. частота, при которой лежала левее частоты, при которой сдвиг фазы .

Если это требование не выполняется (см.рис.6.5.д), то замкнутая САР – неустойчива.

Если годограф имеет вид типа рис.6.5.г 

Область обозначенная соответствует «клюкообразной» форме в годографе . В этом случае необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой САР является требование, чтобы последний переход через линию графика проходил правее частоты  _среза , а также требование, чтобы общее количество переходов через линию - левее частоты  _ср было обязательно ЧЕТНЫМ.

6.5.2. Критерий Найквиста для замкнутых САР, неустойчивых в разомкнутом состоянии.

Рассматривается САР, охваченная обратной связью 

x(t) y(t)

W(s)

Причем разомкнутая САР – неустойчивая, .те. часть полюсов W(s) лежат в правой полуплоскости 

iv()

u

(n-l) полюсов l полюсов

рис. 6.5.2.1

Хотя разомкнутая САР и неустойчива, это не означает, что замкнутая САР неустойчива  Замыкание цепи обратной связи может сделать замкнутую САР устойчивой.

Используем те же вспомогательную передаточную функцию (см. подраздел 6.5.1) 

если  изменяется от 0 до  ,изменение аргумента 

(6.5.7)

Пусть - неустойчива, причем l полюсов расположено в правой полуплоскости (см. рисунок) 

 (6.5.8)

см. критерий Михайлова.

Предположим, что замкнутая САР – устойчива  Тогда 

(6.5.9)

• подставляя (6.58) и (6.5.9) в (6.5.7), получаем:

(6.5.10)

Соотношение (6.5.10) означает, что при изменении  от 0 до  вектор должен повернуться против часовой стрелки на угол, равный , где l – количество полюсов, расположенных в правой полуплоскости.

Определение: Это означает, что для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку (-1;0i) против часовой стрелки на угол, равный .

Графическая иллюстрация.

u()

Все эти рисунки соответствуют устойчивым замкнутым САР, хотя разомкнутые САР – неустойчивы.

Для САР – неустойчивых в разомкнутом состоянии и устойчивых в замкнутом состоянии критерий Найквиста может быть представлен в другом виде, а именно: с использованием логарифмических амплитудных и фазовых характеристик разомкнутой САР. 

Если годограф имеет вид типа рис.6.5.2.2. 

Правило гласит, что разность между числом положительных и отрицательных переходов через линию левее частоты  _среза должно равняться l/2, причем начало характеристики  (lg) при    считается за полперехода. 

В этом случае кол-во положительных и отрицательных переходов левее _среза = 0, но начало характеристики = ½  т.к. l = 1  все правильно.

Если годограф имеет вид типа рис.6.5.2.4 

Существуют две редакции правила: «упрощенная» и классическая 

«Упрощенное правило» - справедливо для САР невысокого порядка 

Если САР неустойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы последний отрицательный переход через линию на графике  проходил правее последней частоты среза. 

В данном примере  _среза   _с.